四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

答案第 1 页，共 4 页 2024年 9 月 绵阳南山中学 2024 年秋高 2022 级高三上 9 月月考试题 数 学 命题人：张韬 审题人：雍华 赵立信 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.） 1．若集合 { }2A x x= ∈ ≤Z ， { }2 3B x x= − ≤ ≤ ，则 A B = （ ） A．{ }0 3x x≤ ≤ B．{ }2 4x x− ≤ ≤ C．{ }0,1,2,3 D．{ }2, 1,0,1,2,3, 4− − 2．若命题 p ： x R∃ ∈ ， 2 2 2 0x x+ + ≤ ，则命题 p 的否定是（ ） A． x R∃ ∈ ， 2 2 2 0x x+ + > B． x R∀ ∈ ， 2 2 2 0x x+ + < C． x R∀ ∈ ， 2 2 2 0x x+ + > D． x R∀ ∈ ， 2 2 2 0x x+ + ≤ 3．若 0a b c< < < ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1c c a b − < − B． 2 a b ab c c + > C． 2ab c> D． ac bc> 4．记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 5 7a = ， 10 2a = ，则 14S =（ ） A．49 B．63 C．70 D．126 5．已知函数 1( ) ln(1 )f x x x b = + − 为偶函数，则b =（ ） A．0 B． 1 4 C． 1 2 D．1 6．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 1θ℃，空气的温度是 0θ ℃，则 mint 后物体的温度θ℃满足公式 ( )0 1 0 e ktθ θ θ θ −= + − （其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况 而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在 20℃空气中，冷却 2min 后牛奶的 温度是50℃，则下列说法正确的是（ ） 答案第 2 页，共 4 页 A． ln2k = B．牛奶的温度从 50℃降至35℃还需 4min C． 2ln2k = D．牛奶的温度从 50℃降至35℃还需 2min 7．根据变量Y 和 x 的成对样本数据，由一元线性回归模型 ( ) ( ) 20, Y bx a e E e D e σ = + +  = = 得到经验回归模 型  ˆy bx a= + ，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假 设的是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 22 , 0, ( ) 4 1 4, 0, x x f x x x = − + + <  若存在唯一的整数 x，使得 ( ) 1 0f x x a − < − 成立，则所有 满足条件的整数 a 的取值集合为（ ） A．{ 2, 1,0,1}− − B．{ 2, 1,0}− − C．{ 1,0,1,2}− D．{ 1,0,1}− 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A． ( ) 2 2x xf x −= − B． ( ) 1f x x = − C． ( ) 3f x x x= + D． ( ) cosf x x x= − 10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取 了 200 名高血压患者开展试验，其中 100 名患者饭前服药，另外 100 名患者饭后服药，随 后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= + + + + ，且 ( )2 6.635 0.01P χ > = ，则下列说法正确的是（ ） A．饭前服药的患者中，药效强的频率为 4 5 B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为 7 10 答案第 3 页，共 4 页 C．在犯错误的概率不超过 0.01 的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有 差异 D．在犯错误的概率不超过 0.01 的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有 差异 11．已知函数 ( )f x （ x R∈ ）是奇函数， ( )g x 是 ( )f x 的导函数（ x R∈ ）， ( )1 2f = 且有 ( )f x 满足 ( ) ( )2 2 2f x f x+ = − ，则下列说法正确的是（ ） A． (2022) 0f = B．函数 ( )g x 为偶函数 C． (1) 1g = D．函数 ( )g x 的周期为 4 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在题中的横线上.) 12．若 1cos 3 α = ， ( )0,α∈ π ，则 sin 2α = . 13．函数 1( ) 2sin ( 4 4 0)f x x x x x = − − ≤ ≤ ≠且 的所有零点的和等于 . 14．对任意的 (0, )x∈ +∞ ，不等式 ( )2ln 2 10 0xx a x axa  − + − + + ≤    恒成立，则实数 a = . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13 分） ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 5, 7a b= = . (1)若 8c = ，求 B ； (2)若 ABC 的面积为10 3 ，求 c . 16．（15 分）在数列{ }na 中， nS 是其前 n 项和，且3 64n nS a− = ． (1)求数列{ }na 的通项公式； (2)若 n +∀ ∈N ， 1 4 4nSλ λ− < ≤ + 恒成立，求λ的取值范围． 答案第 4 页，共 4 页 17．（15 分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼 苗从观察之日起，第 x天的高度为 cmy ，测得一些数据图如下表所示: 第 x天 1 2 3 4 5 高度 / cmy 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x的关系，请用相关系数加以证明； (2)求 y 关于 x的回归直线方程，并预测第 7 天这株幼苗的高度. 参考数据: ( ) 5 5 2 1 1 40, 3.06, 30.6 5.53i i i i i x y y y = = = − = ≈∑ ∑ . 参考公式:相关系数 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ，回归方程  ˆy bx a= + 中斜率和截距的最 小二乘估计公式分别为 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, n i i n i i ix x y y b a y bx x x = = − − = = − − ∑ ∑ . 18．（17 分）函数 3 2( ) 2 3 1f x x ax= − + . (1)若 a =1，求函数 ( )f x 在 1x = − 处的切线方程； (2)证明：存在实数 a 使得曲线 ( )y f x= 关于点 (1, 3)− 成中心对称图形； (3)讨论函数 ( )f x 零点的个数. 19．（17 分）已知 ( ) 21 e 4e 5 2 x xf x ax= − + − − . (1)当 3a = 时，求 ( )f x 的单调递增区间； (2)若 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x . （i）求 a 的取值范围； （ii）证明： ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x+ + + < . 绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考 数学参考答案及评分标准 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 答案C C B B D D A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 三、填空题 12、 4W2 13、0 14、0 9 四、解答题 15. (1)由余弦定理知 cos B= a2+c2-b21 2ac 2 3分 又BeQ故8- 6分 (2)由三角形的面积公式S=)absinC=10N5 2 从而sinC= 4v5 7 8分 若Ce0月.cosC=看-sin2C=7c=后+6-2 abcoC=810分 若Ce5,cosC=-smC=-7c=厅+6-2abcc=2i…2分 从而c=8或2√21 13分 16.(1)因为3S-a,=64 当n=1时，3S-4,=64,解得a=32; 2分 当n22时，3S.1-a1=64,所以3Sn-an-3Sn1+a1=0,所以an= 20-4分 答案第1页，共5页 所以(an}是以32为首项，- 为公比的等比数列， 所以a=2(厂 …6分 間 n为偶数 3 n为奇数 在R上单调递减，则y=- 在R上单调递增， 所以当n为偶数时， --6 当n为奇数时， - 10分 所以当n=1时S,取得最大值为32，当n=2时S,取得最小值为16， 因为neN,A-1<Sn≤4入+4恒成立， 2-1<16 所以 5424'解得7≤九<17，………14分 所以1的取值范围为[7,17). 15分 x=1+2+3+4+5)=3=03+1.7+2.2+2.8+3.5)=2.3 17.(1)由5 2-旷=10 …3分 ∑(x-0y-) 立-5河 所以P 2属-到空，-旷2x-2-列 40-5×3×2.35.5 5.5 ≈0.995 V10×3.06 √30.65.53 7分 因为”与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系. 答案第2页，共5页 立w-5西 (2)由题意可得：6= 2-列 =0.5.a=7-im=2.3-0.5x3=0.65,l1分 10 所以y关于x的回归直线方程为 =0.55x+0.65 …13分 当x=7时，=0.55×7+0.65=4.5， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5Cm....…15分 18.(1)f'(x)=6x2-6.r=6x(x-1) f(-1）=12,f(-1）=-42分 故f(x)在x=-1处的切线方程为y+4=12(x+1),即y=12x+8.4分 (2)f①)=3-3a,若存在这样的a,使得(1，-3)为f(x)的对称中心， 则3-3a=-3,a=2 .6分 现在只需证明当a=2时f(x)+f(2-x)=-6,事实上， f(x)+f(2-x)=2x3+6x2+1+2(2-x)3+6(2-x)2+1=02-12)x2+(24-24).x-6 于是f(x)+f(2-x)=-6.....… 8分 即存在实数a=2使得(L,f(I)是f(x)的对称中心. 4…9分 (3)f(x)=6x2-6ar=6x(x-a), 3.1)当a>0时， x∈(-o,0)(a,+o)时f'(x)>0,故f(x)在(-o,0),(a,+∞)上单调递增， x∈(0，a)时，(x)<0,f(x)单调递减， 10分 则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值， 由f(0)=1>0,而f(-1)=-1-3a<0,根据零点存在定理fx)在(-0,0)上有一个零 点： i)若0<a<1,即f(a)=1-a3>0,f(x)在(0，+o)无零点，从而f(x)在R上有1个 零点： 11分 答案第3页，共5页 i若a>1,即f(a)=1-a3<0,f(0)f(a)<0,f(x)在(0，a)有一个零点， f(4a)=16a3+1>0,f(a)f(4a)<0,故f(xr)在(a,+o)有一个零点，从而f(x)在R上 有3个零点： 12分 im若a=1,即f(a)=1-a3=0,f(x)在(0，+o)有一个零点，从而f(x)在R上有2个 零点： 13分 3.2)当a=0时，f(x)在R上单调递增，f(0)=1>0,x→-0时，f(x)→-0，从 而f(x)在R上有一个零点： …14分 3.3)当a<0时，x∈(-o,a)U(0,+o∞)时f'(x)>0,故fx)在(-o,a),(0,+o）上单调 递增，x∈(a,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减 15分 而f(a)=1-a3>0,f(0)>0,故f(x)在(a,+o)无零点，又 f(2a-1)=(2a-1)(a-2)+1,由(2a-1)2>1,a-2<-2,故f(2a-1)<0, f(2a-1)f(a)<0,从而f(x)在(-o,a)有一个零点，从而f(x)在R上有一个零点. 6分 综上：当a<1时，f(x)在R上只有1个零点：a=1时，f(x)在R上有2个零点： a>1时f(x)在R上有3个零点。 17分 19.0当a=3时，f八=e2+4e-3x-5 f'(x)=-e2+4e-3=-(e-l(e-3, …2分 当e∈(L,3),即x∈(0，ln3)时，f'(x)>0, 故∫(x)单调递增区间为(0，h3):4分 (2)f(x)=-e2r+4e-a,令t=e,即f'(x)=-2+4i-a, 令5=e,2=e,则4、马是方程2-41+a=0的两个正根，6分 答案第4页，共5页 则△=(-4-4a=16-4a>0,即a<4, 8分 有4+42=4,42=a>0,即0<a<4,… 10分 3》f)+f0)+写+6=4+4e-g-5-+4e-a属-5+写+ =G+6)+46+4)-(a-0n4+h4)-10 =-26+5-24]+46+)-a-lih4-10 =6-2a)+16-a-ha-10 =Q-(0-l)）na-2,12分 要证f(:)+f(x)+x+x2<0,即证a-(a-1)na-2<0(0<a<4), 令g(x)=x-(x-l)lnx-2(0<x<4). 则g倒1-ax+）nx 令n0<4,则=子0， 则g'(x)在(0,4)上单调递减， 又g0-hl=l,g2)-2h2<0, 做存在无山2引，使gG二n=0,即n,B分 则当x∈(0，xo)时，g'(x)>0,当x∈(，4)时，g(x)<0, 故gx)在(0，x)上单调递增，g(x)在(x,4)上单调递减， 则g国gk)=无-(k-)n无-2=-6-x上-2=6+-3，…5分 Xo 又6则气+引藏)%30， 即g(x)<0,即f(x)+f(x)++x2<0. 17分 答案第5页，共5页请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）17 第3页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）16 第2页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 班级 姓名 学校 准考证号 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 正确填涂 错误填涂 考生禁填 缺考 违规 注意事项 .答题前请将姓名、班级、考场、座 号和准考证号填写清楚。 1 .客观题答题,必须使用2B铅笔填涂, 修改时用橡皮擦干净。 2 .主观题必须使用黑色签字笔书写。3 .必须在题号对应的答题区域内作 答,超出答题区域书写无效。 4 .保持答卷清洁完整。5 (由监考老师填涂) 客观题 (共11题) 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 、   、   、   12                     13                     14                     . （13分）15 第1页 共6页 绵阳南山中学2024年秋季高2022级9月月考 数学答题卡 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）19 第5页 共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）18 第4页 共6页