第四章 整式的加减压轴训练（单元复习 7类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第四章 整式的加减压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　单项式的规律题 1 压轴题型二　多项式系数、指数中字母求值 3 压轴题型三　已知同类项求指数中字母的值 5 压轴题型四　已知同类项求指数中代数式的值 6 压轴题型五　整式加减中的无关型问题 8 压轴题型六　整式加减中的新定义型问题 13 压轴题型七　整式加减的应用 19 02 压轴题型 压轴题型一　单项式的规律题 例题：（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）观察下列单项式：x，，，，，…考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ． 2．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 压轴题型二　多项式系数、指数中字母求值 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·吉林·期中）若多项式是关于的二次三项式，则的值是 ． 2．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）若是关于的三次二项式，则 ， ． 3．（23-24七年级上·河南南阳·期中）已知是关于，的四次三项式，常数项是，则的值为 ． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 压轴题型三　已知同类项求指数中字母的值 例题：（2024七年级上·上海·专题练习）若代数式与的和为0，那么 ， ． 巩固训练 1．（2024·山东临沂·模拟预测）若单项式与是同类项，则m= ． 2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）若单项式与的和仍是单项式，则 ． 3．（2024·山东济宁·一模）若单项式与是同类项，则m的值为 ． 压轴题型四　已知同类项求指数中代数式的值 例题：（23-24七年级下·重庆·阶段练习）若和是同类项，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若与的和是单项式，则的值为 ． 2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）若关于，的单项式与是同类项，则 ． 3．（23-24七年级下·广东惠州·开学考试）如果单项式与是同类项，则的值是 ． 压轴题型五　整式加减中的无关型问题 例题：（23-24七年级上·山东德州·期末）已知，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 2．（23-24七年级上·四川南充·期中）已知． (1)当时，求的值． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求的值． 4．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值； (3)如果，那么的表达式是什么？ 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 压轴题型六　整式加减中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·福建福州·期中）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中，是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)小丁说：若是“共生有理数对”，则一定是“共生有理数对”，小丁的说法是 的．（填“对”或“错”） 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“@”如下：．根据以上规定解答下列各题： (1)计算：的值； (2)若，求的值． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）对于任意式子，定义． (1)求的值； (2)先化简式子，再求当时，的值． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数． 例如：若，则称与是关于的平衡数． (1)①与______是关于的平衡数； ②与______是关于的平衡数．（用含的代数式表示） (2)若，，若与是关于的平衡数，求的值． 4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 压轴题型七　整式加减的应用 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 2．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为 ． (1)从图可知，这5块完全相同的小长方形较长边的长是 (用含的代数式表示) (2)分别计算阴影A，B的周长（用含，的代数式表示） (3)当，时，分别计算阴影A，B的面积． 3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 整式的加减压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　单项式的规律题 1 压轴题型二　多项式系数、指数中字母求值 3 压轴题型三　已知同类项求指数中字母的值 5 压轴题型四　已知同类项求指数中代数式的值 6 压轴题型五　整式加减中的无关型问题 8 压轴题型六　整式加减中的新定义型问题 13 压轴题型七　整式加减的应用 19 02 压轴题型 压轴题型一　单项式的规律题 例题：（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴系数的规律为，指数的规律为n， ∴第n个单项式为：， 当时，单项式为， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）观察下列单项式：x，，，，，…考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，即可得出结果． 【详解】解：∵一列单项式：x，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第10个数即可． 【详解】解：观察可得：第个单项式为：， ∴第10个数是； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【答案】 【分析】本题考查单项式规律的探究．观察可得：每一个式子都是分数形式，其中第奇数个式子为负，第偶数个式子为正；分母为，分子为，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，、……， 第n个式子是， ∴第6个式子是， 故答案为：；． 压轴题型二　多项式系数、指数中字母求值 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·吉林·期中）若多项式是关于的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的概念，根据二次三项式的定义可得，且，解之即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）若是关于的三次二项式，则 ， ． 【答案】 1 2 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数，根据题意是关于的三次二项式，可知最高次项是3，而且只有两项，可得，的值． 【详解】解：根据题意可得：是关于的三次二项式， ∴，， ∴，， 故答案为：1，2． 3．（23-24七年级上·河南南阳·期中）已知是关于，的四次三项式，常数项是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据题意得出，，，求出的值，再代入进行计算即可得到答案，熟练掌握几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，是解此题的关键． 【详解】解：是关于，的四次三项式，常数项是， ，，， ， ， 故答案为：． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 压轴题型三　已知同类项求指数中字母的值 例题：（2024七年级上·上海·专题练习）若代数式与的和为0，那么 ， ． 【答案】 2 5 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项，解决本题的关键是同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关． 根据同类项的定义（所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项），即可解答． 【详解】解：代数式与的和为0， 代数式与是同类项， ，， 故答案为：2，5． 巩固训练 1．（2024·山东临沂·模拟预测）若单项式与是同类项，则m= ． 【答案】6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项．解题的关键是掌握同类项的定义． 根据同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式”，求解即可． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴， 故答案为：6． 2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）若单项式与的和仍是单项式，则 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项的定义，掌握所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·山东济宁·一模）若单项式与是同类项，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，相同字母的指数也相同列方程，再求解即可． 【详解】单项式与是同类项， ， ， 故答案为：． 压轴题型四　已知同类项求指数中代数式的值 例题：（23-24七年级下·重庆·阶段练习）若和是同类项，则 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此可得，则，再代值计算即可． 【详解】解；∵和是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若与的和是单项式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项定义求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与为同类项， ∴，， 解得：，， ∴原式． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）若关于，的单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵关于，的单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东惠州·开学考试）如果单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，根据所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项得到，求出，然后代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 压轴题型五　整式加减中的无关型问题 例题：（23-24七年级上·山东德州·期末）已知，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式的加减： （1）根据去括号、合并同类项的法则，先将化简，再求值； （2）根据题意可知，的系数为． 【详解】（1） 当，时， 原式 （2） 因为的值与的取值无关，可得 ， 解得：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则，合并同类项法则将整式正确化简是解决问题的关键． （1）先化简，再把，代入化简后的结果，去括号、合并同类项化简即可； （2）因为的值与的取值无关，则的系数为0，列出方程即可得出结果． 【详解】（1），， ； （2），， ， 的值与的取值无关， ， ． 2．（23-24七年级上·四川南充·期中）已知． (1)当时，求的值． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1)11 (2)2 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则，正确的计算是解题的关键． （1）先进行加减运算，再代值计算即可； （2）将（1）中的结果合并后，令含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1） 解： ； 当时，原式； （2） 因为的值与的取值无关， 所以， 所以． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减，化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）代数式的值与x的取值无关，则，即可求解． 【详解】（1），， 原式， 当时，原式； （2），， ， 由的值与无关，得到，即， 4．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值； (3)如果，那么的表达式是什么？ 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）合并同类项可得的最简结果； （2）若的值与y的取值无关，则，即可得出答案； （3）利用整式的加减先计算出即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 当的值与的取值无关时，， 解得，所以的值为； （3）解：由题意，得， ， ， ． 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 压轴题型六　整式加减中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·福建福州·期中）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中，是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)小丁说：若是“共生有理数对”，则一定是“共生有理数对”，小丁的说法是 的．（填“对”或“错”） 【答案】(1) (2) (3)对 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法的实际应用、整式的加减运算 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义求解即可； （2）根据“共生有理数对”的定义建立方程，解方程即可得； （3）根据“共生有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得． 本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值、一元一次方程的应用，正确理解“共生有理数对”的定义是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴不是“共生有理数对”， ∵， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：； （2）解：是“共生有理数对”， ∴， ， ． （3）∵是“共生有理数对”， ∴， ∵，， ∴， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：对． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“@”如下：．根据以上规定解答下列各题： (1)计算：的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，以及整式的加减运算，解题的关键是理解新定义运算规则，掌握有理数以及整式的运算法则． （1）根据新定义运算以及有理数的运算法则求解即可； （2）根据新定义运算，以及整式加减运算进行化简，然后求解即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可得：； （2）由新定义可得： 由可得 将代入可得， 原式． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）对于任意式子，定义． (1)求的值； (2)先化简式子，再求当时，的值． 【答案】(1) (2)，13 【知识点】有理数乘法的实际应用、含乘方的有理数混合运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算求解即可； （2）首先根据新定义运算进行运算化简，然后将代求值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当时， 原式 ． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数． 例如：若，则称与是关于的平衡数． (1)①与______是关于的平衡数； ②与______是关于的平衡数．（用含的代数式表示） (2)若，，若与是关于的平衡数，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】有理数的减法运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减的应用； （1）①根据平衡数的定义列式计算即可；②根据平衡数的定义列式计算即可； （2）首先去括号，合并同类项化简a，b，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴与5是关于3的平衡数； ②∵， ∴与是关于3的平衡数； 故答案为：5，； （2）解：， ， ∴， ∵a与b是关于0的平衡数， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)①与3不是互为“友好数”，理由见解析；② (2) (3) 【知识点】相反数的定义、数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查数字规律，整式的加减： （1）①根据“友好数”的定义即可求解；②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数与互为“友好数”，与互为相反数，可知，，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3不是互为“友好数”； ②∵， ∴， ∴的“友好数”为； 故答案为： （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数从开始4次一循环， ∵， ∴的值为． 压轴题型七　整式加减的应用 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【答案】(1)米 (2)护栏的长度是米； (3)建此停车场所需的费用是23000元． 【分析】本题考查了整式的加减、列代数式和代数式求值，解题时要数形结合，该护栏的长度是由三条边组成的． （1）长方形停车场的宽=长方形停车场的长； （2）护栏的长度=2×与围墙垂直的边长+与围墙平行的一边长； （3）把a、b的值代入（2）中的代数式进行求值即可． 【详解】（1）解：依题意得长方形停车场的宽：米； （2）解：护栏的长度； 答：护栏的长度是米； （3）解：由（2）知，护栏的长度是米， 则依题意得： （元）． 答：若，每米护栏造价100元，建此停车场所需的费用是23000元． 2．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为 ． (1)从图可知，这5块完全相同的小长方形较长边的长是 (用含的代数式表示) (2)分别计算阴影A，B的周长（用含，的代数式表示） (3)当，时，分别计算阴影A，B的面积． 【答案】(1) (2)阴影A的周长为；阴影B的周长为 (3)阴影A的面积为：；阴影B的面积为： 【分析】本题主要考查了列代数式，以及代数式求值，解题的关键是数形结合，熟练掌握长方形的面积公式和周长公式． （1）根据图形用已知数据和y表示出小长方形较长边的长即可； （2）根据长方形的周长公式计算阴影A，B的周长即可； （3）根据，，结合长方形面积公式分别求出阴影A，B的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是； 故答案为：； （2）解：阴影A的周长为：， 阴影B的周长为， （3）解：当时， 阴影A的面积为： ， 阴影B的面积为： 答：阴影A的面积为：；阴影B的面积为： 3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【答案】(1)在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元，在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元 (2)在乙商场购买划算；更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费 【分析】本题考查列代数式及其求值、整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台，根据总费用=购买价+运费列出对应代数式即可求解； （2）将代入（1）代数式中求解，结合表中数据，进而比较大小可作出结论． 【详解】（1）解：设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台， 根据题意，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元； 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元； （2）解：当时，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 根据表格数据，甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，则同时在两家商场自由选择的较低费用为（元）， ∵， ∴需购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算，若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$