第三章 代数式压轴训练（单元复习 5类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第三章 代数式压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　程序流程图与代数式求值 1 压轴题型二　已知式子的值，整体代入求代数式的值 6 压轴题型三　用代数式表示数字类的规律 11 压轴题型四　用代数式表示图形类的规律 16 压轴题型五　用代数式解决实际应用中的方案问题 23 02 压轴题型 压轴题型一　程序流程图与代数式求值 例题：（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是某个计算y值的程序，若输入x的值是，则输出的y值是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则输出的结果是 ．    2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明设计了如下一个计算程序．若输出y的值是，则输入x的值是 ． 3．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）如图是计算机兴趣小组设计的一个运算程序： (1)若，，求的值． (2)若，且时，输出结果的值是输入的值的2倍，求的值． 4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，是某电信公司计算每个月手机话费y（元）与通话时间x（分钟）的示意图：    (1)根据示意图填表： x/min 100 300 y/元 70 (2)写出y与x之间的关系式和x的取值范围． 5．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组与的对应值．根据图表信息解答下列问题： 输入 … 0 2 … 输出 … 2 18 … (1)直接写出： ， ， ； (2)当输入的值为时，求输出的值； (3)当输出的值为12时，求输入的值． 压轴题型二　已知式子的值，整体代入求代数式的值 例题：（23-24七年级上·山西吕梁·期末）[阅读理解] 若代数式的值为9，求代数式的值．小明采用的方法如下： 由题意得： ∴ ∴ ； ∴代数式的值为11． [方法运用] （1）若代数式的值为6，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为7，当时，求代数式的值； [拓展应用] （3）若，则的值为_________． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）洛阳某初中数学小组学完“整式的加减”章节后对一道题进行了交流，请仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小强：对于这个方程的求解，我们还没有学，常规方法不适合解决． 小丽：我知道一种“整体代换”的思想方法：将作为一个整体代入，则原式． 小强：你的方法很巧妙，值得学习． …… 任务： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）（1）【探究】若，则． 【类比】若，则的值为______． （2）【应用】当时，的值是，求当时，的值． （3）【推广】当时，的值为，则当时，的值为______（含的式子表示）． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2，得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 压轴题型三　用代数式表示数字类的规律 例题：（23-24七年级上·河北保定·期中）观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 2．（22-23六年级上·山东威海·期末）观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时，的值就减少______．类似地，请写出的值的变化规律：______． (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为． 4．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 压轴题型四　用代数式表示图形类的规律 例题：（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图6，用小棒搭正方形，仔细观察图形，可以发现：搭一个正方形需要4根小棒，搭两个正方形需要7根小棒，搭三个正方形需要10根小棒…… (1)搭四个正方形需要 根小棒． (2)按照图中方式继续搭下去，则搭个正方形（是正整数）需要小棒的根数是 （用含的代数式表示）． (3)求搭48个正方形需要多少根小棒． 2．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 3．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． 发现：如图，三棱锥中，；五棱锥中，__________，__________，__________． 猜想：①十棱锥中，； ②n棱锥中，__________，__________，__________．（用含有n的式子表示） 探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：__________； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：__________． 拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在试写出相应的等式；若不存在，请说明理由． 4．（23-24七年级上·福建泉州·期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式．请你观察图1中几种常见的多面体模型，解答下列问题．    正多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 a 4 6 正方体 8 b 12 正八面体 6 8 c 正十二面体 20 12 30 【公式发现】 （1）通过观察上面的多面体模型，写出a，b，c的值，并用等式表示顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系； 【公式应用】 （2）如图2，一个足球由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．我们可以近似把足球看成一个多面体，若正五边形有m个，求这个多面体的棱数（E）（用两个含m的不同代数式表示）． 5．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪次，共剪出_____________个小正方形； (3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次； (4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________． 压轴题型五　用代数式解决实际应用中的方案问题 例题：（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）某商场销售一种电脑和配件，电脑每台3000元，配件每套 600元．“ 国庆 ”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：方案一：买一台电脑送一套配件；方案二： 电脑和配件都按定价付款．现某公司要到该商场购买电脑 20台，配件 x套． (1)用含 x 的代数式表示该客户需付的款额； (2)若，则按哪种方案购买更省钱； (3)当 时，你能设计一个更优的购买方案吗？ 巩固训练 1．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）某校餐厅计划购买一批餐桌和餐椅．现从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元．某商店开展促销活动，可以向顾客提供两种优惠方案： 方案一：每购买一张餐桌赠送一把餐椅； 方案二：所有餐桌、餐椅均按报价的付款． 现某班级要购买餐桌20张，餐椅x把（x超过20）． (1)若学校计划方案一购买，需付款 元；若该班级按方案二购买，需付款 元（用含有x式子表示）． (2)当时，哪种方案更划算？请通过计算说明理由． (3)若两种方案可以同时使用，当时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需要付款的金额？ 2．（23-24七年级上·广东江门·期中）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋季称作“螃秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只148元，至尊公蟹每只72元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的80%付款；方案②：买1只极品母蟹送1只至尊公蟹，如果小贤要购买极品母蟹30只，至尊公蟹只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元； 按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元（用含x的式子表示） (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． (3)在（2）的条件下，若两种优惠方案可同时使用，你能给出一种更为合算的购买方案吗？辩写出你的购买方案，并说明理由． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）我国属于水资源缺乏的国家之一，节约用水，人人有责．某市为了强化公民的节水意思，合理利用水资源，采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水价格表如下： 每月用水量 单价 不超过 3元 超过不超过的部分 5元 超过的部分 8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民3月份用水，则应缴水费　　元； (2)若某户居民4月份用水，求应缴水费多少元？ (3)若某户居民8月份用水（其中x大于5），求应缴水费多少元？（用含x的式子表示） (4)若某户居民9月份用水，则应缴水费多少元？ 4．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸x张． (1)若到甲商店购买，应付_____________元；若到乙商店购买，应付_____________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　程序流程图与代数式求值 1 压轴题型二　已知式子的值，整体代入求代数式的值 6 压轴题型三　用代数式表示数字类的规律 11 压轴题型四　用代数式表示图形类的规律 16 压轴题型五　用代数式解决实际应用中的方案问题 23 02 压轴题型 压轴题型一　程序流程图与代数式求值 例题：（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是某个计算y值的程序，若输入x的值是，则输出的y值是 ． 【答案】/ 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】此题考查了代数式的值，把字母的值直接代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则输出的结果是 ．    【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中求出的值，若结果比小，则的值作为输出结果，若结果比大或相等，则把的值作为新数输入，如此反复求解即可． 【详解】解：当开始输入时，， 当第二次输入时，， ∴输出结果为， 故答案为；． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）小明设计了如下一个计算程序．若输出y的值是，则输入x的值是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 把y的值分别代入，判断是否符合题意即可解答， 【详解】把代入得 ， 解得：， ，符合题意； 把代入得 ， 解得：， ，不符合题意； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）如图是计算机兴趣小组设计的一个运算程序： (1)若，，求的值． (2)若，且时，输出结果的值是输入的值的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次方程，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）由题意得出，代入进行计算即可； （2）由题意得出，，再由，得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：由已知条件可得，， ， ， 解得， 故． 4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，是某电信公司计算每个月手机话费y（元）与通话时间x（分钟）的示意图：    (1)根据示意图填表： x/min 100 300 y/元 70 (2)写出y与x之间的关系式和x的取值范围． 【答案】(1)32，280，75 (2) 【知识点】用代数式表示式、程序流程图与代数式求值 【分析】（1）根据通话时间与话费之间的关系可得答案； （2）根据程序图求出关系式，即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时， 若，有， 解得：（舍去）； 若，有， 解得：； 当时，； 故答案为：32，280，75 （2）解：根据题意得：y与x之间的关系式为 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解程序图是解题的关键． 5．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组与的对应值．根据图表信息解答下列问题： 输入 … 0 2 … 输出 … 2 18 … (1)直接写出： ， ， ； (2)当输入的值为时，求输出的值； (3)当输出的值为12时，求输入的值． 【答案】(1)9，6；6 (2) (3)当输出的值为12时，输入的值为 【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题主要是考查了根据自变量的取值范围求相应的函数值，能够分情况考虑问题是解题的关键． （1）根据，把，代入可得的值；根据，把，代入可得的值；根据，把，代入可得的值； （2）根据，代入可得的值； （3）分或两种情况，把分别代入和，求得的值，再根据的取值范围判断可得结果． 【详解】（1）把，代入得， 解得； 把，代入得， 解得； 把，代入得， 解得． 故答案为：9，6，6； （2）当时，有； （3）当，时，，解得，不符合题意，舍去； 当时，时，，解得，符合题意． 当输出的值为12时，输入的值为． 压轴题型二　已知式子的值，整体代入求代数式的值 例题：（23-24七年级上·山西吕梁·期末）[阅读理解] 若代数式的值为9，求代数式的值．小明采用的方法如下： 由题意得： ∴ ∴ ； ∴代数式的值为11． [方法运用] （1）若代数式的值为6，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为7，当时，求代数式的值； [拓展应用] （3）若，则的值为_________． 【答案】（1）；（2）0；（3）9 【分析】本题考查代数式求值．掌握整体代入法，是解题的关键． （1）根据题意，得到，整体代入，求值即可； （2）根据题意，得到，再利用整体代入法，求值即可； （3）将多项式转化为，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：（1）∵的值为6， ∴， ∴； （2）∵当时，代数式的值为7， 即：， ∴， ∴当时，； （3）∵， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）洛阳某初中数学小组学完“整式的加减”章节后对一道题进行了交流，请仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小强：对于这个方程的求解，我们还没有学，常规方法不适合解决． 小丽：我知道一种“整体代换”的思想方法：将作为一个整体代入，则原式． 小强：你的方法很巧妙，值得学习． …… 任务： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）用整体代入法求解即可； （2）用整体代入法求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以． （2）因为，所以， 所以 ． 2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）（1）【探究】若，则． 【类比】若，则的值为______． （2）【应用】当时，的值是，求当时，的值． （3）【推广】当时，的值为，则当时，的值为______（含的式子表示）． 【答案】（1）；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值； （1）把代数式，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算的值； （2）先用已知条件得到，而当时，，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用当时，代数式的值为m得到，而当时，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）∵， ∴； 若，则； 故答案为；；；； （2）∵当时，代数式的值是， ∴， ∴， ∴当时，； （3）∵当时，代数式的值为， ∴， 即， 当时， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2，得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)200 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入法是解答本题的关键． （1）直接将整体代入中计算即可； （2）把变形为，然后把整体代入计算即可； （3）把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：，， ． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值以及整体思想： （1）先整理，再代入，即可作答； （2）先整理，把代入，即可作答； （3）先整理，再把，代入，即可作答； 正确掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，因为 所以； （2）解：依题意， ； 把代入， 得 （3）解：依题意，因为，， 所以． 压轴题型三　用代数式表示数字类的规律 例题：（23-24七年级上·河北保定·期中）观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力． （1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解； （2）第n个式子左边为：，右边为：； （3）利用所得规律即可“裂项”求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解：第n个式子为： 故答案为：； （3）解：原式 ． ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了代数式的求值，从而发现规律是解决此题的关键． （1）把，分别代入与计算即可； （2）把，分别代入与计算即可； （3）由（1）（2）总结可得，再利用规律计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ． （2）当时， ， ； （3）归纳可得：； 当时，． 2．（22-23六年级上·山东威海·期末）观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，探索规律，能够通过所给的式子找到规律是解题的关键． （1）利用题干中等式的特征解答即可； （2）根据题目中给出的已知等式得出规律，写出等式最左边的数为a时的等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：； ； ； ； ； …… ． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时，的值就减少______．类似地，请写出的值的变化规律：______． (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为． 【答案】(1)1；14 (2)2；x的值每增加1时，的值就增加3． (3)－5x＋6 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程． （1）把分别代入式子即可求解； （2）观察表格中数值的变化规律即可解答； （3）根据x的值每增加1，代数式的值就减小5，可设这个式子为，又由当时，代数式的值为，即可求得n的值，从而得到代数式． 【详解】（1）当时， ， ， 即，． 故答案为：1，14 （2）根据表中的值为9，7，5，3，1，可得x每增加1，的值就减少2； 根据表中的值为2，5，8，11，14，可得x每增加1，的值就增加3． 故答案为：2；x的值每增加1时，的值就增加3． （3）∵x的值每增加1，代数式的值就减小5， ∴设这个式子为， ∵当时，代数式的值为， ∴， 解得， ∴这个代数式为． 4．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 压轴题型四　用代数式表示图形类的规律 例题：（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 【答案】(1)23，48 (2)， 【分析】本题主要考查了根据图示寻找规律，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）依次数出，2，3，4时正方形的个数，算出图形的周长； （2）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长． 【详解】（1）解：（1）因为时，正方形有8个，即，周长是18，即， 时，正方形有13个，即，周长是28，即， 时，正方形有18个，即，周长是38，即， 时，正方形有23个，即，周长是48，即． （2）解：由（1）可知，时，正方形有个，周长是． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图6，用小棒搭正方形，仔细观察图形，可以发现：搭一个正方形需要4根小棒，搭两个正方形需要7根小棒，搭三个正方形需要10根小棒…… (1)搭四个正方形需要 根小棒． (2)按照图中方式继续搭下去，则搭个正方形（是正整数）需要小棒的根数是 （用含的代数式表示）． (3)求搭48个正方形需要多少根小棒． 【答案】(1)13 (2) (3)搭48个正方形需要145根小棒 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查图形类规律探究，列代数式，代数式求值，确定图形规律，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）根据已有图形，得到后一个图形比前一个图形多3根小棒，即可得出结果； （2）根据已有图形，得到后一个图形比前一个图形多3根小棒，列出代数式即可； （3）将代入（2）中的代数式求值即可． 【详解】（1）解：由图可知：后一个图形比前一个图形多3根小棒， ∴搭四个正方形需要根小棒； 故答案为：13； （2）搭个正方形（是正整数）需要小棒的根数是； 故答案为：； （3）当时，（根）． ∴搭48个正方形需要145根小棒． 2．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 3．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． 发现：如图，三棱锥中，；五棱锥中，__________，__________，__________． 猜想：①十棱锥中，； ②n棱锥中，__________，__________，__________．（用含有n的式子表示） 探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：__________； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：__________． 拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在试写出相应的等式；若不存在，请说明理由． 【答案】发现：6，6，10； 猜想：②； 探究：①，②； 拓展：存在，相应的等式为： 【知识点】几何体中的点、棱、面、用代数式表示数、图形的规律 【分析】发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； 猜想：根据十棱锥的特征填写即可，推写n棱锥的特征的特征填写即可； 探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系，②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系； 拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】发现：三棱锥中，，五棱锥中，， 故答案为：6，6，10； 猜想：①十棱锥中，， ②n棱锥中，， 故答案为：②，，； 探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：， ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：， 故答案为：①，②； 拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：． 【点睛】本题主要考查了立体几何的点、棱、面，熟知对应的立体图形的特征是解决本题的关键． 4．（23-24七年级上·福建泉州·期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式．请你观察图1中几种常见的多面体模型，解答下列问题．    正多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 a 4 6 正方体 8 b 12 正八面体 6 8 c 正十二面体 20 12 30 【公式发现】 （1）通过观察上面的多面体模型，写出a，b，c的值，并用等式表示顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系； 【公式应用】 （2）如图2，一个足球由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．我们可以近似把足球看成一个多面体，若正五边形有m个，求这个多面体的棱数（E）（用两个含m的不同代数式表示）． 【答案】（1）；；；；（2）或． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、几何体中的点、棱、面、用代数式表示式 【分析】本题考查的知识点是欧拉公式，规律探索，列代数式，解题的关键是熟练的掌握欧拉公式． （1）观察图形即可得出a，b，c的值；观察可得顶点数面数棱数即可得出等量关系式； （2）根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，黑皮有块，则白皮有块，直接表示出棱数；另外借助欧拉公式表示出棱数即可． 【详解】解：（1）观察图形可知，，，； 顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系为：． （2）根据题意可知，面数，黑皮有块，则白皮有块， ∵五边形的每条棱都与六边形的棱重合，六边形的三条棱与五边形重合，另外三条棱是六边形的棱和六边形的棱重合， ∴条； ∵共有顶点数为，面数， ∴根据欧拉公式可得，棱数条， 综上分析可知，或． 5．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪次，共剪出_____________个小正方形； (3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次； (4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________． 【答案】(1)4,13 (2)31， (3)33 (4) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整； （2）根据表格中的数据可以计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪次，共剪了多少个正方形； （3）根据（2）中算出的用表示的式子，令其等于100，即可算出的值，即剪了多少次； （4）根据题意可写出剪3次后小正方形的边长，进行可以求出面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13， 故答案为：4,13； （2）解：根据表格中的数据观察可知，第10次剪成的正方形的个数为：个， 第次剪成的正方形个数为：， 故答案为：31，； （3）解：根据题意得，令， 解得， 故答案为：33， （4）解：若原正方形纸片的边长为1，则剪三次后正方形的边长为， 所以小正方形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 压轴题型五　用代数式解决实际应用中的方案问题 例题：（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）某商场销售一种电脑和配件，电脑每台3000元，配件每套 600元．“ 国庆 ”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：方案一：买一台电脑送一套配件；方案二： 电脑和配件都按定价付款．现某公司要到该商场购买电脑 20台，配件 x套． (1)用含 x 的代数式表示该客户需付的款额； (2)若，则按哪种方案购买更省钱； (3)当 时，你能设计一个更优的购买方案吗？ 【答案】(1)元；元 (2)按方案一购买较合算 (3)先按方案一购买20台电脑获赠送20套配件，再按方案二购买10套配件 【分析】本题主要考查的是列代数式，求代数式的值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算； （3）根据题意考可以先按方案一购买20台电脑获赠送20套配件，再按方案二购买10套配件更合算． 【详解】（1）解：某公司要到该商场购买电脑 20台，配件 x套． 方案一费用：元； 方案二费用：元； （2）解：当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为， 所以，按方案一购买较合算． （3）解：先按方案一购买20台电脑获赠送20套配件，再按方案二购买10套配件． 则（元）． 巩固训练 1．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）某校餐厅计划购买一批餐桌和餐椅．现从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元．某商店开展促销活动，可以向顾客提供两种优惠方案： 方案一：每购买一张餐桌赠送一把餐椅； 方案二：所有餐桌、餐椅均按报价的付款． 现某班级要购买餐桌20张，餐椅x把（x超过20）． (1)若学校计划方案一购买，需付款 元；若该班级按方案二购买，需付款 元（用含有x式子表示）． (2)当时，哪种方案更划算？请通过计算说明理由． (3)若两种方案可以同时使用，当时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需要付款的金额？ 【答案】(1)； (2)方案一购买合算，理由见解析 (3)用方案一购买20张桌子和20张椅子，再用方案二购买20张椅子；4900元 【知识点】用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题的关键在于能够准确理解题意，列出相应的式子求解． （1）根据购买费用购买数量x购买单价分别表示出购买餐桌的费用和购买餐椅的费用； （2）求出时的值，比较可得； （3）结合（2）中的计算，可分别用方案一和方案二结合购买，最省钱． 【详解】（1）设该校需购买x把餐椅，由题意得： 方案一：元； 方案二：元； （2）方案一购买合算，理由如下： 当 时， 方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）， ∵， ∴方案一购买合算； （3）方案：用方案一购买20张桌子和20张椅子，再用方案二购买20张椅子， 则（元）， 即用方案一购买20张桌子和20张椅子，再用方案二购买20张椅子． 2．（23-24七年级上·广东江门·期中）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋季称作“螃秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只148元，至尊公蟹每只72元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的80%付款；方案②：买1只极品母蟹送1只至尊公蟹，如果小贤要购买极品母蟹30只，至尊公蟹只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元； 按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元（用含x的式子表示） (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． (3)在（2）的条件下，若两种优惠方案可同时使用，你能给出一种更为合算的购买方案吗？辩写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)； (2)方案② (3)先按方案②购买30只极品母蟹，再按方案①购买10只至尊公蟹较为合算 【知识点】用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．正确表达出每种方案所需付款金额是解题关键． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算． （3）先按方案②购买30只极品母蟹，再按方案①购买10只至尊公蟹即可． 【详解】（1）解：按方案①购买，需付款：元， 按方案②购买，需付款：（元）； 故答案是：；； （2）当时， 方案①购买，需付款：（元）； 方案②购买．需付款：（元）； ∵5856元元， ∴选择方案②购买更合算． （3）先按方案②购买30只极品母蟹，再按方案①购买10只至尊公蟹，需付款：（元）， ∵， ∴先按方案②购买30只极品母蟹，再按方案①购买10只至尊公蟹较为合算． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）我国属于水资源缺乏的国家之一，节约用水，人人有责．某市为了强化公民的节水意思，合理利用水资源，采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水价格表如下： 每月用水量 单价 不超过 3元 超过不超过的部分 5元 超过的部分 8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民3月份用水，则应缴水费　　元； (2)若某户居民4月份用水，求应缴水费多少元？ (3)若某户居民8月份用水（其中x大于5），求应缴水费多少元？（用含x的式子表示） (4)若某户居民9月份用水，则应缴水费多少元？ 【答案】(1)元； (2)元； (3)当时， 元，当时， 元； (4)元． 【知识点】用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用表格中的数据解答问题． （1）根据表格中的数据可以求得用水，应缴的水费； （2）根据表格中的数据可以求得某户居民4月份用水，应缴的水费； （3）根据题意可以分别写出当和时应缴的水费； （4）将代入（3）中求得的式子，即可解答本题． 【详解】（1）解：由表格可得，若某户居民3月份用水，则应缴水费为： （元）， （2）解：由表格可得，若某户居民4月份用水，应缴水费为： （元）， （3）解：由表格可得，当时，应缴水费为： 元， 当时，应缴水费为： 元； （4）解：当时，应缴水费为： （元） 4．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸x张． (1)若到甲商店购买，应付_____________元；若到乙商店购买，应付_____________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付多少元？ 【答案】(1)， (2)到甲商店购买较为合算 (3)先到甲商店购买10支毛笔，送10张宣纸，再到乙商店购买张宣纸，费用为272元 【分析】本题考查了列代数式的知识，代数式求值及有理数四则运算的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． （1）到甲商店购买的费用：10支毛笔的费用张宣纸的费用；到乙商店购买的费用：（10支毛笔的费用张宣纸的费用），把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可； （3）先到甲商店购买10支毛笔，送10张宣纸，再到乙商店购买张宣纸即可． 【详解】（1）解：到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， 到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； ， 则到甲商店购买较为合算； （3）解：当时， 先到甲商店购买10支毛笔，送10张宣纸，再到乙商店购买张宣纸， 则费用为：（元）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$