第二章 几何图形的初步认识知识归纳与题型突破（单元复习 14类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第二章 几何图形的初步认识知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、几何体的特征与分类 1、常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球体 由一个曲面围成． 2、几何体的分类 分类标准 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏. 二、点、线、面、体之间的关系 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 三、直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 四、线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 五、射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 六、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 七、角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 八、角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 九、余角、补角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° 03 题型归纳 题型一　常见的几何体 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点． 【详解】解：A是长方体，B是圆锥体，C是球体，D是圆柱体 故选D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A．  四棱锥B．  圆柱C．  四棱柱D．  三棱锥 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一种几何体的特征是解题的关键． 【详解】解：A．  是四棱锥，故A不符合题意； B．  是圆柱，故B不符合题意； C．  是四棱柱，故C不符合题意； D．   是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列几何体中，圆锥是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查识别几何体．属于基础题型．掌握常见的几何体，是解题的关键． 【详解】解：由图可知，A选项为立方体，B选项为圆柱体，C选项为圆锥，D选项为四棱柱； 故选C． 3．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）下面的几何体中没有曲面的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了认识立体图形，熟记立体图形的特征是解题关键．根据立体图形的特征，可得答案． 【详解】解：A、圆柱的侧面是曲面，故A不符合题意； B、球的表面是曲面，故B不符合题意； C、圆锥的侧面是曲面，故C不符合题意； D、棱锥的底面是平面，侧面是平面，故D符合题意． 故选：D． 4．（23-24六年级上·山东泰安·期中）下面几何体中，是三棱锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】此题考查立体图形问题，关键是根据棱锥的概念判断．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．根据所给几何体逐个分析判断即可． 【详解】解：A．是圆柱体，故不符合题意； B．是圆锥，故不符合题意； C．是三棱锥，故符合题意； D．是球，故不符合题意； 故选：C． 题型二　几何体中的点、棱、面 例题：（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱． 【答案】 7 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查立体图形的认识，解答此题首先要理解五棱柱的概念和特性，柱体中，面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点．根据五棱柱的概念和特性即可解． 【详解】解：五棱柱如图所示：    五棱柱是由7个面围成的，有个顶点，共有条棱． 故答案为：7；10；15． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个七棱柱有 个面； 个顶点． 【答案】 9 14 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了棱柱的面，顶点，一个七棱柱是由两个七边形的底面和7个四边形的侧面组成，根据其特征进行填空即可． 【详解】解：一个七棱柱有9个面，14个顶点， 故答案为：9，14． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有________个侧面，________个底面． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)5；2． (2)． 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】（1）根据棱柱的特征回答即可； （2）根据矩形的面积公式，先算一个侧面的面积，再算所有侧面积之和． 本题考查了棱柱的特征：n棱柱有n个侧面，2个底面，每个侧面都是长方形． 【详解】（1）五棱柱有5个侧面，2个底面。 故答案为：5；2． （2）一个侧面的面积为， 侧面积之和为． 答：它的所有侧面的面积之和是． 3．（23-24六年级上·山东泰安·期中）推理猜测： (1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面． (2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面； (3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？ 【答案】(1)6，4，8，5 (2)十五，一百 (3)有，它有1013个面 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了立体图形，掌握棱锥的特征和命名规则是解题的关键． （1）根据三棱锥、四棱锥的特征，数出其棱数和面数即可； （2）总结出n棱锥条棱，个面，即可解答； （3）根据（2）中的规律，先确定这是几棱锥，再确定其面数即可． 【详解】（1）解：三棱锥有6条棱，4个面；四棱锥有8条棱，5个面． 故答案为：6，4，8，5； （2）解：根据题意可得： 三棱锥有6条棱，4个面， 四棱锥有8条棱，5个面， 五棱锥有10条棱，6个面， …… n棱锥条棱，个面， 当时， 解得， ∴十五棱锥有30条棱， 当时， 解得， ∴一百棱锥有101个面， 故答案为：十五，一百； （3）解：当时， 解得：， ∴， 即：有，它有1013个面． 4．（23-24七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)6；6； (2)12 (3) 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6； 正八面体的顶点数为6； 关系式为：； 故答案为：6；6；； （2）一个多面体的面数比顶点数小8， ， ，且， ， 解得； 故答案为：12； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么， 解得， ． 题型三　点、线、面、体四者之间的关系 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 巩固训练 1．中华武术是中国传统文化之一，是中华民族在日常生活中结合社会哲学、中医学、伦理学、兵学、美学、气功等多种传统文化思想和文化观念，注重内外兼修，诸如整体观、阴阳变化观、形神论、气论、动静说、刚柔说等，逐步形成了独具民族风貌的武术文化体系.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识点，熟练掌握点、线、面之间的关系是解题的关键； 枪挑是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，转化成数学思想即可． 【详解】由题意可得：从数学的角度可解释为点动成线，线动成面． 故选：A． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）“力箭一号”运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功．把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了 的数学事实． 【答案】点动成线 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点，线的概念，理解点动成线是解答本题的关键． 根据点动成线的概念得到答案． 【详解】解：由题意得： 把卫星看成点，把卫星在预定轨道飞行留下的痕迹看作是一条线，这就体现了点动成线的数学事实． 故答案为：点动成线 3．（23-24七年级上·河南郑州·期中）请写出生活中的一个现象，使其可解释为“点动成线”，你所写的这个现象是 . 【答案】笔尖在纸上写出汉字（答案不唯一） 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，将数学知识与实际生活的例子联系起来是解题关键．结合实际生活的例子分析得出即可． 【详解】解：笔尖在纸上写出汉字可解释为“点动成线”， 故答案为：笔尖在纸上写出汉字． 4．表的指针旋转时，会形成一个圆面，笔在纸上移动时，能画出线．一般地，点动成线， ， ． 【答案】 线动成面 面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点、线、面、体之间的联系，根据运动的观点即可解． 【详解】如果我们把笔尖看成一个点,当笔尖在纸上移动时，就能画出线，这说明点动成线；时钟的秒针旋转时,形成一个面，这说明线动成面． 故答案是：线动成面，点动成线． 题型四　平面图形旋转后所得的立体图形 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（    ）   A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体——图形的旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．图示几何体是由两个圆柱组成的，矩形旋转成圆柱，据此即可求解． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，故选项符合题意； B、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，且上圆柱有空心，故选项不符合题意． C、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下中下三个圆柱，且上下圆柱有空心，故选项不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下中下三个圆柱，故选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）以为轴旋转一周后得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了平面图形的旋转，根据矩形绕着它的一条边旋转一周得到的几何体是圆柱，再结合题目中的四个选项即可得出答案，理解平面图形的旋转是解题的关键． 【详解】 解：以为轴旋转一周后得到的立体图形是， 故选：． 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体； (2)得到的几何体的体积为或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，面动成体； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 3．（22-23七年级上·广东深圳·期中）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 题型五　直线、射线、线段的联系与区别 例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线． 巩固训练 1.下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 【答案】C 【分析】直线是无端点，向两边无限延伸，取直线上的两个点，用大写字母表示该直线；射线是有一个端点，向一边无限延伸，端点不同，射线不同；线段有两个端点，线段与线段是同一条线段，可度量长度，由此即可求解． 【详解】解：、直线与直线是同一条直线，正确，不符合题意； 、线段与线段是同一条线段，正确，不符合题意； 、射线与射线不是同一条射线，端点不同，射线不同，原选项错误，符合题意； 、射线与线段都是直线的一部分，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解题的关键． 2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可． 【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确； ②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误； ③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确； ④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误； ⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误； ⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确． 综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键． 3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．射线和射线是同一条射线 B．图中以点A为端点的射线有两条 C．直线和直线不是同一条直线 D．延长线段和延长线段的含义是相同的 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段延长线的定义依次进行判断即可得． 【详解】解：A、射线和射线是不同的射线，选项说法错误，不符合题意； B、图中以点A为端点的射线有两条，选项说法正确，符合题意； C、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； D、延长线段和延长线段，延长方向不同，含义不同，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直线，射线，延长线，解题的关键是掌握这些知识点． 题型六　画直线、射线、线段 例题：已知A，B，C，D四点．    (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)连接，并延长与射线交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据线段、射线、直线的定义分别画出即可； （2）根据连接两点即为线段得出即可； （3）根据延长线段的方法得出即可． 【详解】（1）解：线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，点F即为所求．    【点睛】此题主要考查了线段、射线、直线的定义以及其画法，熟练掌握定义是解题关键． 巩固训练 1．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，    (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)数数看，此时图中线段共有______条． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)6 【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据线段的定义，作出图形即可；③根据题意，按照要求作出图形即可； （2）根据线段的定义即可求解． 【详解】（1）如图所示：      （2）图中的线段有：共6条． 故答案为：6． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，两点之间线段最短，射线、线段的画法以及作一条线段等于已知线段．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2.如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：    (1)画线段交于点； (2)作射线； (3)取一点，使点既在直线上又在直线上； (4)在线段延长线上作线段． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4)作图见详解 【分析】（1）根据线段的概念“有两个端点，不可延伸”，由此即可求解； （2）根据射线的概念“有一个端点，向一边无限延伸”， 由此即可求解； （3）根据直线的概念“无端点，向两边无限延伸”，两直线相交，由此即可求解； （4）根据线段的特点，作线段等于已知线段的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，    （2）解：如图所示，端点为点，作射线，    （3）解：如图所示，连接向两边无限延伸，交于点，    （4）解：如图所示，连接并延长至点，使得，    【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的定义及表示，作法，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键． 3.如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)延长线段与直线相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据直线、射线、线段的定义作图即可． 【详解】（1）如图所示直线即为所求；    （2）如图所示射线即为所求； （3）如图所示线段即为所求； （4）如图所示点E即为所求． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义，解题的关键是注意射线有一个端点，另一端无限延伸；直线没有端点；线段有两个端点． 题型七　两点确定一条直线、两点之间线段最短 例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质即可得解． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“两点确定一条直线”； 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”，解题的关键是从实际应用中找到数学原理． 巩固训练 1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质解答即可． 【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 【答案】 （2） 两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可． 【详解】根据两点之间线段最短， ∴选择第（2）条路线， 故答案为：（2），两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，    【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 题型八　线段中点的有关计算 例题：如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点 (1)图中共有 条线段 (2)求线段的长 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数； （2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长． 【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条． 故答案为：10； （2）∵，M是的中点， ∴． ∵，， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键． 巩固训练 1.如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．    【答案】 【分析】先根据设，则，再利用中点的性质用x表示出的长，然后利用计算出x的值，再利用，就可以得到的长. 【详解】解：因为， 所以设，，． 因为，分别是，的中点， 所以，． 所以， 所以． 所以． 【点睛】本题考查线段的和差，中点定义，巧设未知数表示线段的长是解题的关键． 2.已知，在线段上．    (1)如图，共有________条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）； ②若，，则的长为________； (3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）． 【答案】(1)6 (2)①=；②20 (3) 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出与的长度，分析关系即可． 【详解】（1）解：图中有线段：，，，，，，共6条． （2）解：①因为，所以，即． ②因为，，所以， 因为，所以， 所以． （3）解：如图1，    当点在的延长线上， 设，则． 因为为的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 如图2，    当点在线段上时， 设，则． 因为为的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． 3．（23·24上·全国·课堂例题）（1）如图①，已知点在线段上，线段分别是的中点，求线段的长；    （2）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （3）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （4）如图②，已知点在线段的延长线上，线段分别是的中点，则线段的长为________________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分别计算和的长，求和即可； （2）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解； （3）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解； （4）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解． 【详解】解：（1）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以． （2）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以． （3）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以． （4）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，线段中点的相关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键． 题型九　角的概念及表示方法 例题：下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 【答案】D 【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可． 【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意； B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意； C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意； D、也可以表示为，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单． 巩固训练 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：与是同一个角，说法正确，故不符合题意． 也可以用表示，说法错误，故符合题意． ，说法正确，故不符合题意． 图中有三个角，说法正确，故不符合题意． 故选： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 2.如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以A，B，C，E为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：，． 故答案为：，． （2）以为顶点的角有：，，． 故答案为：，，． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是： ，，，，，，． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键． 3.根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)不正确，可表示为 (2) (3)3个，见解析 (4)见解析 (5)11个 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可． 【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为； （2）图中可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是、、； （4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角． （5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角． 【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键． 题型十　角的单位与角度制 例题：计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）把转化成即可得到答案； （2）转化成即可得到答案； （3）按照秒、分的顺序分别求和，满60进一，即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：， （2）， 故答案为： （3）， 故答案为： 【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 巩固训练 1.（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 【答案】 2 4 60 3600 75 1.5 【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可． 【详解】解：（1）1周角平角直角； （2）； （3），． 故答案为：2；4；60；3600；75；1.5． 【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握． 2.计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 题型十一　求一个角的余角、补角 例题：若，则的余角等于 ，的补角等于 ． 【答案】 【分析】两个角的和为，则这两个角互余，两个角的和为 则这两个角互为补角，根据互余与互补的定义求解即可. 【详解】解： ， ∠α的余角= ∠α的补角= 故答案为：，. 【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握“互余与互补的含义”是解本题的关键. 巩固训练 1．如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【答案】 /65度 /155度 【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两角之和是或，并能熟练运用． 2．若，则的余角为 °，的补角为 °． 【答案】 【分析】根据两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，列式计算即可． 【详解】的余角：， 的补角：， 故答案为：、． 【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算． 3．一个角的余角比它的补角的多，求这个角的余角． 【答案】这个角的余角是 【分析】设这个角的度数为x，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意可得： 解得： ∴． 答：这个角的余角是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，余角与补角的定义，熟记互为余角的和等于，互为补角的和等于是解题的关键． 题型十二　三角板中角度计算问题 例题：将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    【答案】/20度 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键． 巩固训练 1.如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）利用（1）中方法可求． 【详解】（1）解：，， ． ∵平分， ， ， ； （2）解：，， ， ∵平分， ，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． 2.如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的和差运算求解即可； （2）首先根据题意表示出，，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键． 题型十三　角平分线的有关计算 例题：已知O为直线上一点，是直角，平分．        (1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________； (2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)（1）；； (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可； （2）设，仿照（1）中方法，先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 则， 若，则， 故答案为：；；． （2）解：仍然成立，理由为： 如图2，设， ∵是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键． 巩固训练 1.如图所示，是平角，分别是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （2）根据由（1）的方法得，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：因为分别是的平分线， 所以，． 因为， 所以． 所以． （2）解：由（1）的方法得， ． ∴当度时，则． 【点睛】考查角平分线的意义、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键，等量代换是常用的方法． 2.（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数； （2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数； （3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； （2）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （3）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． 题型十四　与余角、补角、角平分线有关角的计算问题 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分． (1)求出及其补角的度数； (2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，与互补，理由见解析 【分析】（1）利用角的和差关系即可得到的度数，利用补角的定义即可得到的补角； （2）利用角平分线定义可求出和的度数，再求出的度数，即可得到与互补． 【详解】（1）解：， 的补角为． （2）∵平分平分． ∴． 与互补．理由如下： ∴． 故与互补． 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算、补角的定义、几何图形中的角度计算，数形结合和准确计算是解题的关键． 巩固训练 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 【答案】(1)直线平分，理由见详解； (2) 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件，，即可得到、，然后作差即可． 【详解】（1）直线平分，理由如下： 设的反向延长线为，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， （2）∵，， ∴、， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 2．如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【答案】(1)、、； (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果； （2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵和互补， ， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， 故答案为：、、； （2）是定值， 理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 几何图形的初步认识知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、几何体的特征与分类 1、常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球体 由一个曲面围成． 2、几何体的分类 分类标准 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏. 二、点、线、面、体之间的关系 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 三、直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 四、线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 五、射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 六、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 七、角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 八、角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 九、余角、补角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° 03 题型归纳 题型一　常见的几何体 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A．  四棱锥B．  圆柱C．  四棱柱D．  三棱锥 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列几何体中，圆锥是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）下面的几何体中没有曲面的是（    ）. A． B． C． D． 4．（23-24六年级上·山东泰安·期中）下面几何体中，是三棱锥的是（    ） A． B． C． D． 题型二　几何体中的点、棱、面 例题：（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个七棱柱有 个面； 个顶点． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有________个侧面，________个底面． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 3．（23-24六年级上·山东泰安·期中）推理猜测： (1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面． (2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面； (3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？ 4．（23-24七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 题型三　点、线、面、体四者之间的关系 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 巩固训练 1．中华武术是中国传统文化之一，是中华民族在日常生活中结合社会哲学、中医学、伦理学、兵学、美学、气功等多种传统文化思想和文化观念，注重内外兼修，诸如整体观、阴阳变化观、形神论、气论、动静说、刚柔说等，逐步形成了独具民族风貌的武术文化体系.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）“力箭一号”运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功．把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了 的数学事实． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期中）请写出生活中的一个现象，使其可解释为“点动成线”，你所写的这个现象是 . 4．表的指针旋转时，会形成一个圆面，笔在纸上移动时，能画出线．一般地，点动成线， ， ． 题型四　平面图形旋转后所得的立体图形 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（    ）   A．   B．   C．   D．   巩固训练 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）以为轴旋转一周后得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 3．（22-23七年级上·广东深圳·期中）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 题型五　直线、射线、线段的联系与区别 例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 巩固训练 1.下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．射线和射线是同一条射线 B．图中以点A为端点的射线有两条 C．直线和直线不是同一条直线 D．延长线段和延长线段的含义是相同的 题型六　画直线、射线、线段 例题：已知A，B，C，D四点．    (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)连接，并延长与射线交于点F． 巩固训练 1．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，    (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)数数看，此时图中线段共有______条． 2.如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：    (1)画线段交于点； (2)作射线； (3)取一点，使点既在直线上又在直线上； (4)在线段延长线上作线段． 3.如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)延长线段与直线相交于点E． 题型七　两点确定一条直线、两点之间线段最短 例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    巩固训练 1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，    题型八　线段中点的有关计算 例题：如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点 (1)图中共有 条线段 (2)求线段的长 巩固训练 1.如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．    2.已知，在线段上．    (1)如图，共有________条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）； ②若，，则的长为________； (3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）． 3．（23·24上·全国·课堂例题）（1）如图①，已知点在线段上，线段分别是的中点，求线段的长；    （2）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （3）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （4）如图②，已知点在线段的延长线上，线段分别是的中点，则线段的长为________________． 题型九　角的概念及表示方法 例题：下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 巩固训练 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角 2.如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 3.根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 题型十　角的单位与角度制 例题：计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 巩固训练 1.（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 2.计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 题型十一　求一个角的余角、补角 例题：若，则的余角等于 ，的补角等于 ． 巩固训练 1．如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 2．若，则的余角为 °，的补角为 °． 3．一个角的余角比它的补角的多，求这个角的余角． 题型十二　三角板中角度计算问题 例题：将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    巩固训练 1.如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 2.如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 题型十三　角平分线的有关计算 例题：已知O为直线上一点，是直角，平分．        (1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________； (2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 巩固训练 1.如图所示，是平角，分别是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 2.（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数； （2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数； （3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数 题型十四　与余角、补角、角平分线有关角的计算问题 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分． (1)求出及其补角的度数； (2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由． 巩固训练 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 2．如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$