第二章 几何图形的初步认识易错训练与压轴训练（2类易错+5类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第二章 几何图形的初步认识易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 1 易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 5 压轴题型一　线段上动点定值问题 9 压轴题型二　线段上动点求时间问题 13 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 20 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 25 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 30 02 易错题型 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 例题：点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】5或8 【分析】分类讨论，即点在点左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答． 【详解】解：①当点在点左边时，如图所示：    点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； ②当点在点右边时，如图所示：    点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； 故答案为：5或8． 【点睛】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键． 巩固训练 1.已知直线上有三点，且线段，，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据线段的位置，分类讨论，①如图所示，点在点的右边；②如图所示，点在点的左边；根据线段的和、差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示，点在点的右边，，，    ∴； ②如图所示，点在点的左边，，，    ∴； ∴两点之间的距离为或， 故选：． 【点睛】本题主要考查线段的和、差，掌握线段的和、差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 2．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：∵线段，为的中点， ∴当点如图1所示时， ， ； 当点如图2所示时， ∴线段的长为1cm或5cm. 故选：． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 3．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有、两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为 cm． 【答案】3或21 【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①不在上时，，②在上时，，分别代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：假设端点B和端点D重合 如图， 设较长的木条为，较短的木条为， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ①如图1，不在上时，（cm）， ②如图2，在上时，（cm）， 综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm， 故答案为：3或21． 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 4．（23·24上·聊城·阶段练习）三点在同一条直线上，分别是的中点，且，，则 ． 【答案】40或10 【分析】首先根据题意画出图形，分两种情况：当点C在点B的左侧时，当点C在点B的右侧时，再根据图形，可以求出线段的长． 【详解】解： 分别是的中点，，， ∴， 当点C在点B的左侧时，如下图，    ∴； 当点C在点B的右侧时，如下图，    ∴， 故答案为：10或40． 【点睛】此题考查了两点之间的距离，解题的关键是根据题意画出图形，要考虑各种情况． 5．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 例题：已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【答案】C 【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 巩固训练 1．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 2．已知，，平分，则等于 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：当如图所示时：    平分，，， ， 当如图所示时：    平分，，， ． 故答案为：或. 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键． 3．已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是 【答案】或/50或30 【分析】分两种情况：射线在的上方和射线在的下方，根据角平分线的定义和角的和差分别计算即可． 【详解】解：如图1，    ∵，平分， ∴， ∵射线与所形成的角度是， ∴， ∴； 如图2，    ∵，平分， ∴， ∵射线与所形成的角度是， ∴， ∴； 综上可知的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键． 03 压轴题型 压轴题型一　线段上动点定值问题 例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点． (1)若，求线段的长度． (2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，还是，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得； （2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解． 【详解】（1）解∶，，， 点是的中点，点是的中点， ， ； （2）线段的长度不发生变化． 点是的中点，点是的中点， ， ． 【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键． 巩固训练 1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．    (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，图及理由见解析 【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点， ∴， ∴ ∴线段的长为． （2）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （3）解∶ ，理由如下∶ 如图:    ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 2．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为点是的中点． 所以， 因为点是的中点． 所以， 所以； （2）∵为的中点， ∴ ∵点是的中点 ∴； （3）因为点是的中点． 所以 因为点是的中点． 所以， 所以， 所以，的长不变． 【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则____________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解； （2）根据（1）的方法即可求解； （3）根据（1）的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ，点为的中点， ． 点、分别是和的中点， ， ． 故答案为：6； （2）解：，， ． 点、分别是和的中点， ，， ； （3）解：设，则， 点、分别是和的中点， ∴， ， 不论取何值（不超过），的长不变； 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 压轴题型二　线段上动点求时间问题 例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s    (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足条件的值为4或7或 【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解； （2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）由题意可得：，， ∴当P、Q重合时，，解得：； （2）由题意可得：， ∴①当点C是线段的中点时，， 解得：； ②当点P是线段的中点时，， 解得： ③当点Q是线段的中点时，， 解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏 巩固训练 1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 【答案】3或9或1 【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可． 【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时， （秒）； （2）点P、Q都向左运动时， （秒）； （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （秒）； （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒）． ∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米． 故答案为：3或9或1． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握． 2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______； (2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______； (3)当时，求t的值． 【答案】(1)6，4 (2)3 (3)当时，t的值为4或6 【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可； （2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可； （3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴点P表示的数为， 故答案为：6，4； （2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8， ∴点P对应的有理数为， 故答案为：3； （3）解：∵， ∴当时，则， ①当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴； ②当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当时，t的值为4或6． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动． 设点的运动时间为秒． (1)线段的长为______． (2)当点与点相遇时，求的值． (3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (4) 【分析】（1）根据即可求解； （2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 故答案为：． （2）解：依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （4）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 4．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）． (1)当时， ① ； ②求线段的长度； (2)用含的代数式表示运动过程中的长； (3)当时，求的值； (4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)当时，；当时， (3)或 (4)不变， 【分析】（1）①根据即可得出结论； ②先求出的长，再根据是线段的中点即可得出的长； （2）分两种情况进行讨论即可； （3）根据时间＝路程÷速度计算即可； （4）根据中点定义即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动， ∴当时，． 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． ∴线段的长度为． （2）∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动， 当点从点出发到点时，， ∴当点沿点运动时， 这时：，； 当点沿点运动时， 这时：，； （3）当点沿点运动时，（）， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 当点沿点运动时，（）， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 综上所述，当时，求的值为或； （4）不变． ∵的中点为，是线段的中点，， ∴，， ∴ ， 即：的长为． 【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和与差，中点的定义，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨论的方法．利用线段中点的定义及线段的和差得出相应的等量关系是解题关键． 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，， (1)求的度数. (2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 【答案】(1) (2)发生变化，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解； （2）根据，则转动时同样在动，同理也在动； （3）根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴转动时同样在动， 同理同样转动； （3）不变同样35°； 解：当射线在的内部线绕点转动时， ∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键． 巩固训练 1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，平分，平分. （1）如图，当、重合时，求的值； （2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 【答案】（1）35°；（2）是定值，35° 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解； （2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得． 【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°， ∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°； （2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2， 由题意∠BOC=3t°， 则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°）， ∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°， ∴∠AOE-∠BOF的值是定值． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【答案】(1)、、； (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果； （2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵和互补， ， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， 故答案为：、、； （2）是定值， 理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系． 3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度； (2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数； ②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数； (3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值不会发生变化，，理由见解析 【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可； （2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可； （3）分别用表示出 ．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为：； （2）解：①由题意得，， ∵为的角平分线， ∴， ∴； ②由题意得，， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：的值不会发生变化，，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键． 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．    (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到； （2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． 巩固训练 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设，则，再利用，然后整理可得结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当时， ；当时，；当时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； (2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案； (3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：由(2)知，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．    (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51 (2) (3)存在，符合条件的的值为12s或33s 【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，， ， ，分别平分和， ，， 故答案为：39，51； （2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转， ， 射线平分， ， ， ， ； （3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况： 情况一：若在上方，此时， 即， 解得； 情况二：若在下方，此时， 即， 解得（不符合题意，舍去）； 情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有， 此时． 综上所述，符合条件的的值为12s或33s．    【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键． 巩固训练 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由． 【答案】(1)；平分，理由见解析 (2)的值为或 【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分； （2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可． 【详解】（1）解：旋转前, 当平分时，， 则, 解得：， 结论：平分, 理由：∵， 又∵， ∴, ∴平分； （2）解： 若平分，    则 ， ∴， ∴， 当停止时, 平分, 则有,    ∴, 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题. 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．    (1)【探索新知】 如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”． ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】(1)①是；②或或 (2)①或或；②或或 【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解； ②分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 ②∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （2）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：    ， 解得； 当时，如图所示：    ， 解得； 当时，如图所示：    ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：    ， 解得； ②当时，如图所示：    ， 解得； ③当时，如图所示：    ， 解得． ∴当t为或或时，射线是的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 几何图形的初步认识易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 1 易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 5 压轴题型一　线段上动点定值问题 9 压轴题型二　线段上动点求时间问题 13 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 20 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 25 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 30 02 易错题型 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 例题：点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 巩固训练 1.已知直线上有三点，且线段，，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm 3．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有、两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为 cm． 4．（23·24上·聊城·阶段练习）三点在同一条直线上，分别是的中点，且，，则 ． 5．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 例题：已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 巩固训练 1．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 2．已知，，平分，则等于 ． 3．已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是 03 压轴题型 压轴题型一　线段上动点定值问题 例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点． (1)若，求线段的长度． (2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 巩固训练 1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．    (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由． 2．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则____________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变． 压轴题型二　线段上动点求时间问题 例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s    (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______； (2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______； (3)当时，求t的值． 3．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动． 设点的运动时间为秒． (1)线段的长为______． (2)当点与点相遇时，求的值． (3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 4．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）． (1)当时， ① ； ②求线段的长度； (2)用含的代数式表示运动过程中的长； (3)当时，求的值； (4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，， (1)求的度数. (2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 巩固训练 1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，平分，平分. （1）如图，当、重合时，求的值； （2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度； (2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数； ②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数； (3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．    (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 巩固训练 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．    (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由． 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．    (1)【探索新知】 如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”． ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$