第十四章 实数知识归纳与题型突破（单元复习 14类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十四章 实数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 二、平方根的概念与性质 1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 2.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0． 3.平方根的性质 三、立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 3.立方根的性质： 4.立方根的应用：利用立方根的定义解方程和求解实际问题. 四、认识无理数 无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 五、实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 六、实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 03 题型归纳 题型一　算术平方根、平方根与立方根概念理解 例题：（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 巩固训练 1.（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 2.（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 3.（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；②是1的平方根；③带根号的数都是无理数；④的平方根是；⑤的算术平方根2．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二　求一个数的算术平方根、平方根、立方根 例题：（2024七年级下·云南·专题练习） ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简 ； ； ； ； 2.（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 3.（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习） 的算术平方根是7；的立方根是 ；的平方根是 ． 题型三　已知一个数的平方根或立方根，求这个数 例题1：（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 例题2：（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 2.（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 3.（23-24七年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，则的值为 ． 4.（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 5.（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 6.（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 题型四　利用算术平方根的非负性解题 例题：（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若，则 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·北京·期中）已知，则的算术平方根为 ． 2.（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 3.（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是 ． 题型五　利用平方根、立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 巩固训练 1.（23-24七年级下·河北保定·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 2.（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的的值． (1) (2) 题型六　求代数式的平方根 例题：（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 巩固训练 1.（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 2.（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 3.（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 题型七　立方根的性质 例题：（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ． 题型八　无理数的识别 例题：（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在，，，，，这六个数中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1.（23-24七年级下·四川南充·期中）在，，，，，，，，（每两个之间依次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知实数，0.16，3，，，，其中为无理数的有 个． 3.（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有 个． 题型九　实数概念理解 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 巩固训练 1.（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 2.（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十　实数的分类 例题：（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试），3，，，0.1010010001…，，0，，， (1)正数集合：{                                                 …} (2)无理数集合：{                                               …}； (3)分数集合：{                                                 …}； (4)非正整数集合：{                                             …}； 3.（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 题型十一　实数的性质 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 2.（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ，的相反数为 ，的绝对值为 ． 3.（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 题型十二　实数与数轴 例题：（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 巩固训练 1.（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 2.（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    3.（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 题型十三　实数的大小比较 例题：（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）： ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是 ． 2.（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 3.（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 题型十四　实数的混合运算 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 巩固训练 1.（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）计算：． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． 3.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) ； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 实数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 二、平方根的概念与性质 1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 2.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0． 3.平方根的性质 三、立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 3.立方根的性质： 4.立方根的应用：利用立方根的定义解方程和求解实际问题. 四、认识无理数 无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 五、实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 六、实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 03 题型归纳 题型一　算术平方根、平方根与立方根概念理解 例题：（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义并逐项进行判断即可． 【详解】解：A．64的平方根是；故本选项不符合题意； B．的立方根是，故本选项不符合题意； C．的立方根是，故本选项符合题意； D．所有实数都有立方根，故本选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1.（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C 【分析】 此题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根、平方根的定义解答即可． 【详解】 A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2.（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 、的立方根是，此选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 3.（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：①的平方根是，原说法错误； ②当时，有平方根，原说法错误； ③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误； ④负数没有平方根，说法正确； ⑤0的平方根等于本身，原说法错误； 正确的为④， 故选A． 4.（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；②是1的平方根；③带根号的数都是无理数；④的平方根是；⑤的算术平方根2．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平方根及算术平方根，根据平方根及算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：0的平方根为0，负数没有平方根，则①错误； 是1的一个平方根，则②正确； ，是有理数，则③错误； ，其平方根是，则④正确； ，其算术平方根是2，则⑤正确； 综上，正确的有3个， 故选：B． 题型二　求一个数的算术平方根、平方根、立方根 例题：（2024七年级下·云南·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题，比较简单．根据一个数的立方等于，这个数就是的立方根即可得解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简 ； ； ； ； 【答案】 3 3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根．解题的关键在于灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 【详解】解：，，，， 故答案为：3，，3，． 2.（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：的立方根是； 的平方根是． 故答案为：；． 3.（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习） 的算术平方根是7；的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 49 【分析】根据平方运算，可得平方根、算术平方根和立方根． 【详解】解：∵， ∴49的算术平方根是7； ∵， ∴的立方根是； ∵， ∴9的平方根是． 即的平方根是． 故答案为：49；；． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，平方和立方运算是求平方根和立方根的关键． 题型三　已知一个数的平方根或立方根，求这个数 例题1：（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即两者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 故答案为：1． 例题2：（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．找到立方根等于2的数即可． 【详解】解：， 这个数是8， 故答案为：8． 巩固训练 1.（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数， 所以 解得 ∴ ． 即这个数是49． 故答案为：49． 2.（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是和 ∴， ， 即这个正数的两个平方根是， ∴这个正数是， 故答案为：4． 3.（23-24七年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根据平方根，算术平方根的知识进行计算求解等知识．先根据题意得到，求出，即可求出． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3 4.（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．依据立方根和算术平方根的定义得到和，然后再求得代数式的值，最后再求得的平方根即可． 【详解】解：因为的立方根是， 所以． 因为的算术平方根是5， 所以， 所以． 所以的平方根是． 故答案为：． 6.（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 题型四　利用算术平方根的非负性解题 例题：（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若，则 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查偶次方及算术平方根的非负性，代数式求值，根据偶次方及算术平方根的非负性求出的值，代入即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24七年级下·北京·期中）已知，则的算术平方根为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性质，先利用非负性质求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ∴①，②， 由①+②得： 整理得：， 解得：， ∴的算术平方根为3． 故答案为：3． 2.（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据几个非负数的和为0，那么这几个数的值都为0得到，则，再求出的值即可根据算术平方根的定义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵0的算术平方根是0， ∴的算术平方根是0， 故答案为：0． 题型五　利用平方根、立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识， （1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可； （2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可． 【详解】（1） ； （2）， ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·河北保定·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查了平方根、立方根，关键是能准确理解并运用相关知识进行计算． （1）运用平方根知识进行求解，即可解题； （2）运用立方根知识进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 2.（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的的值． (1) (2) 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）本题考查开平方运算解方程，掌握开平方运算法则，即可解题． （2）本题考查开立方运算解方程，掌握开立方运算法则，即可解题． 【详解】（1）解： 或， 解得或； （2）解： ． 题型六　求代数式的平方根 例题：（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 巩固训练 1.（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 2.（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 3.（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 题型七　立方根的性质 例题：（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根的概念和性质是解题的关键．根据算术平方根、立方根、平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故选项不符合题意； B．，原式计算错误，故选项不符合题意； C．，原式计算错误，故选项不符合题意； D．，原式计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1.（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键. 先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可. 【详解】解：∵， ，， ∴. 故选B. 2.（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根与立方根，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据算术平方根，平方根与立方根的定义，逐项分析解题即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 4.（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的加减，绝对值，算术平方根和立方根的化简，解题的关键是熟悉掌握绝对值的性质．先利用数轴表示数的方法得到，再利用绝对值和立方根和算术平方根定义得原式，然后去括号后合并即可． 【详解】解：根据题图可知：，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型八　无理数的识别 例题：（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在，，，，，这六个数中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个之间依次增加个），（两个之间依次增加个）．直接根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，，这六个数中， 无理数有：，，共个， 故选：B． 巩固训练 1.（23-24七年级下·四川南充·期中）在，，，，，，，，（每两个之间依次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，，，，，（每两个之间依次增加一个）中，无理数有，，，（每两个之间依次增加一个），共个， 故选：． 2.（2024·陕西西安·模拟预测）已知实数，0.16，3，，，，其中为无理数的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如，等．注意解答此类问题时，常常要结合有理数概念来求解． 【详解】解：，0.16，3，是有理数，，是无理数，共2个无理数， 故答案为：2． 3.（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：3.1416，，是有理数； ，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理数． 故答案为：4． 题型九　实数概念理解 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 巩固训练 1.（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 2.（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 题型十　实数的分类 例题：（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，， 【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 巩固训练 1.（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 【答案】整数集合0，，；无理数集合，，；负实数集合， 【分析】本题主要考查了实数的分类，算术平方根，立方根，掌握整数、无理数、负实数的定义是解答本题的关键． 根据整数、无理数、负实数的定义分类即可． 【详解】， 整数集合{ 0，，}； 无理数集合{ ，，}； 负实数集合{ ，}． 故答案为：0，，；，，；，． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试），3，，，0.1010010001…，，0，，， (1)正数集合：{                                                 …} (2)无理数集合：{                                               …}； (3)分数集合：{                                                 …}； (4)非正整数集合：{                                             …}； 【答案】(1)3，0.1010010001…，， (2)0.1010010001…， (3)，，， (4)，0， 【分析】本题考查了实数的分类、化简多重符号、求绝对值，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． （1）根据正数的定义即可解答； （2）根据无理数的定义即可解答； （3）根据分数的定义即可解答； （4）根据非正整数的定义即可解答． 【详解】（1）解：，， 正数集合：{ 3，0.1010010001…，，} （2）解：无理数集合：{0.1010010001…，} （3）解：分数集合：{，，，} （4）解：非正整数集合：{，0，}． 3.（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答． 【详解】解：，， 有理数：，，，，，，，； 无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），； 正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 整数：，，，； 非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 分数：，，，， ． 题型十一　实数的性质 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：（1）的绝对值为；的相反数为； （2）的绝对值为；的相反数为． 故答案为：（1）；；（2）； 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是； 故答案为：；；． 2.（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ，的相反数为 ，的绝对值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了求一个数的平方根、立方根，实数的性质，根据平方根、立方根，以及相反数的定义，绝对值，即可求解． 【详解】解： 的平方根是，的相反数为，的绝对值为 故答案为：，，． 3.（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 题型十二　实数与数轴 例题：（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：的长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 巩固训练 1.（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 2.（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 3.（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 【答案】-3 【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题．先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为， ∴点D表示的数为， ∵A点表示，C点位于A、D两点之间， ∴， ∵m为整数， ∴； 故答案为：． 题型十三　实数的大小比较 例题：（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较、无理数的估算，先估算出，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2.（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故答案为：． 3.（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十四　实数的混合运算 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 巩固训练 1.（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算； （1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案； （2）利用平方和立方根的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是∶ （1）利用立方根、算术平方根的定义，乘方法则计算即可； （2）利用绝对值的意义，立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 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