第十三章 全等三角形知识归纳与题型突破（单元重点复习，12类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十三章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 二、全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 三、全等三角形 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 四、全等三角形的判定 五、全等三角形的证明思路 六、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1．证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质. 2．证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等. 3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 七、三角形的尺规作图 1.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 2.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 3.已知三角形的三条边，求作这个三角形 03 题型归纳 题型一 真假命题、逆定理 例题:（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果，那么；②若，则；③如果与是对顶角，那么． A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）命题“对顶角相等”的逆命题是 ． 3．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 题型二 全等图形识别 例题：（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D．   2．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 题型三 全等三角形的概念 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 2．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型四 全等三角形的性质 例题：（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 题型五 添加一个条件使两三角形全等 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．    巩固训练 1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点在一条直线上，已知，请你添加一个适当的条件_________使得．（要求不添加任何线段）    2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________． 题型六 用SAS证明两三角形全等 例题：（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知，，．求证：．    巩固训练 1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，． 求证：． 2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．    题型七 用ASA证明两三角形全等 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，点，点在上，，求证：．    巩固训练 1．（2023·校联考一模）如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：． 2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型八 用AAS证明两三角形全等 例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在边上，，，．求证： 巩固训练 1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，，，．    (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型九 用SSS证明两三角形全等 例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．    巩固训练 1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．    2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型十 用HL证明两直角三角形全等 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在和中，于A，于D，，与相交于点O．求证：． 巩固训练 1．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图，点A，D，B，E在同一直线上，． (1)求证：； (2)，求的度数． 2．（2023春·七年级单元测试）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)试猜想与的大小关系，并说明理由． 题型十一 三角形全等的判定与性质 例题：（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 巩固训练 1．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．    (1)求证：； (2)若，，求池塘的长度． 3．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积； (3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 题型十二 三角形的尺规作图 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）已知：线段和 求作：，使得，，． 巩固训练 1．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：线段，，，求作：，使，，． 2．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 二、全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 三、全等三角形 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 四、全等三角形的判定 五、全等三角形的证明思路 六、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1．证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质. 2．证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等. 3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 七、三角形的尺规作图 1.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 2.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 3.已知三角形的三条边，求作这个三角形 03 题型归纳 题型一 真假命题、逆定理 例题:（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果，那么；②若，则；③如果与是对顶角，那么． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，不等式的性质，绝对值的性质，对顶角的性质．根据不等式的性质，绝对值的性质，对顶角相等，逐一分析即可求解． 【详解】解：①如果，那么或，①是假命题； ②若，则，②是假命题； ③如果与是对顶角，那么，③是真命题． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】逐一判断命题，即可得到答案， 本题考查了真假命题，平行线的性质，等式的性质，乘方，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，原命题是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是真命题，不符合题意； C、根据等式的基本性质，原命题是真命题，不符合题意； D、如果，那么或，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）命题“对顶角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 3．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 【答案】1 【分析】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 【详解】解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【点睛】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型二 全等图形识别 例题：（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题考查图形全等，涉及全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形是全等图形，逐项验证即可得到答案，熟记全等图形的定义是解决问题的关键． 【详解】 解：根据全等图形的定义可知，只有这两个图形能够完全重合， 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的概念，形状和大小完全相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：根据全等图形的概念，只有B选项中的两个图形形状和大小完全相同，是全等图形， 故选：B． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等形的定义，掌握能够完全重合的图形是全等形成为解题的关键． 运用全等形的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形能够完全重合，故本选项正确 C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误． 故选D． 题型三 全等三角形的概念 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 2．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可. 【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误； B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误； C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确； D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误. 故选：C 3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 题型四 全等三角形的性质 例题：（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的大小； （2）利用全等三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ （2）∵， ∴ ∴， ∴ 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和， ． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由，得到，而，即可得到的长； （2）由，得到，由三角形外角的性质得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：解： ， ∴. （2）解： ， . 题型五 添加一个条件使两三角形全等 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．    【答案】或 【分析】由于两个三角形已经具备，，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可． 【详解】解：∵，， ∴若用“”判断，可补充的条件是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键． 巩固训练 1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点在一条直线上，已知，请你添加一个适当的条件_________使得．（要求不添加任何线段）    【答案】（答案不唯一） 【分析】由可得，再根据三角形全等的证明，可知可以添加条件为：两边及其夹角（）、两边及一边（）即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴可添加条件为：可证明或可证明． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等判定，掌握证明全等三角形的方法有：,特别是不能判定三角形全等是解题的关键． 2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 【答案】或或或（答案不唯一）． 【分析】根据，或添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 则有边角两个条件，要添加一个条件分三种情况， （1）根据“”，则可添加：， （2）根据“”，则可添加：或， （3）根据“”，则可添加：， 故答案为：或或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法． 3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________． 【答案】 （或） （或） 【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可． 【详解】解：已知，， 要使用“”， 添加的条件是直角边相等， 故答案为：（或）； 要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为： （或）． 故答案为：（或）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 题型六 用SAS证明两三角形全等 例题：（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知，，．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等． 巩固训练 1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，，得到，根据，得到，结合，则可根据判定． 【详解】证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】由得到，根据可得，又由，根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据题意找到证明全等需要的条件是解题的关键． 题型七 用ASA证明两三角形全等 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，点，点在上，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先根据平行线的性质可得，利用等式的性质可得，然后再利用判定即可． 【详解】证明：∵， ， ， ， 即， 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 巩固训练 1．（2023·校联考一模）如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，见解析 【分析】（1）根据判定即可； （2）根据和点B为中点即可求出． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ （2）解：∵，， ∴，， ∵点B为中点， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键． 题型八 用AAS证明两三角形全等 例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在边上，，，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明． 【详解】证明：， ， ，，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 巩固训练 1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，，，．    (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】（1）根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明； （2）根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键． 2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，即，从而即可证得； （2）由可得，，即可得到，从而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型九 用SSS证明两三角形全等 例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 巩固训练 1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接根据证明即可． （2）根据（1）得，然后证明即可． 【详解】（1）解： 证明：在和中，                     ∴ ． （2）解：由（1）知， ∴    ，       在和中，                ∴ ，        ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键． 题型十 用HL证明两直角三角形全等 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在和中，于A，于D，，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】由即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图，点A，D，B，E在同一直线上，． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由（1）可知，再利用平角的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解题的关键． 2．（2023春·七年级单元测试）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据可证明； （2）根据证明可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型十一 三角形全等的判定与性质 例题：（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）根据判定即可； （2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，是的外角， ． 巩固训练 1．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． （1）根据平分，可以得到，然后根据题目中的条件即可证明和全等，从而可以得到结论成立； （2）根据三角形内角和和角平分线的定义可以得到的度数，进而求解的度数． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 2．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．    (1)求证：； (2)若，，求池塘的长度． 【答案】(1)证明详见解析； (2)44m． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等． （1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案； （2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴池塘的长为． 3．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积； (3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)48 (3)猜想，证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． （1）连接，直接利用证明，可得，再证明，即可得到结论； （2）由， 可得，从而可得四边形的面积； （3）先证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）由（1）得，， ∵，， ， ∴； （3）猜想， 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型十二 三角形的尺规作图 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）已知：线段和 求作：，使得，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形，熟练掌握作三角形的尺规作图是解题关键．先作，再作，然后作，最后连接即可得． 【详解】解：即为所求． 巩固训练 1．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：线段，，，求作：，使，，． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解题的关键． 作射线，在射线上顺次截取，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； 2．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$