第二十五章 图形的相似知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十五章 图形的相似知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 八、 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 九、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 03 题型归纳 题型一　判断是否成比例线段 例题：（23-24九年级上·湖南株洲·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的为（     ） A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，， 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】解：A、∵，∴四组线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四组线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； C、∵，∴四组线段1，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； D、∵，∴四组线段2，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C ． 2．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下面四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，必须将所给线段按照一定的顺序重排，通常按照从小到大即可，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，中间两条相乘，看它们的积是否相等即可确定． 【详解】解：A、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项符合题意； B、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； C、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； D、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型二　利用比例的性质求解 例题：已知，则 ． 【答案】3 【分析】设，代入计算即可． 【详解】解：∵，设， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键． 巩固训练 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：设， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 2．已知，且，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据已知条件求出，根据得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都除以2，得， 故答案为：5 【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 3．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)10 【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答； （2）利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，且， ， 的值为2； （2）解：， ， ， ， ， 的值为10． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 题型三　利用黄金分割求线段的长 例题：点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可． 【详解】解：点P是长度为 10的线段上的黄金分割点， ∴较长的线段的长度为， 则较短的线段的长度为：； 故选C． 【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是本题的关键． 巩固训练 1．在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入数据即可得出的长，进而求出的长度． 【详解】解：是线段上的一点，且满足， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 2．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，． 【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点， 令，设，则，则由，代值得，解得， ， ， 点分别是线段的黄金分割点， ，，， ，，， 将，代入求解即可得到，，， 故选：A． 【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键． 3．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 题型四　由平行判断成比例的线段 例题：如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可． 【详解】解：A．由，得，故A选项错误； B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确； C．由，得，故C选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 巩固训练 1．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：， ，，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项正确，符合题意； D、∵， ∴，选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型五　由平行截线求相关线段的长或比值 例题：如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 【答案】10 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 巩固训练 1．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．    【答案】6 【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 2．如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ． 【答案】// 【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设、交于点， ∵，平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键． 3．如图，，，，，求、的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【详解】解：， ∴ ，，， ∴，解得：， 则． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，其中掌握平行线分线段成比例定理（ 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）是关键． 题型六　补充条件使两个三角形相似 例题：如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加，可以使两个三角形相似． ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似． 故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 【答案】∠B=∠C（答案不唯一） 【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC． 【详解】解：∵∠AOB=∠DOC， ∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC， 故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 3．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或 ∴都可得相似． 故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 题型七　三角形相似的判定与性质 例题：如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上    (1)求证： (2)的的面积比为________． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据勾股定理求得两三角形三边长，按大小边顺序，求出两三角形对应三边比，根据“两三角形三边对应成比例，两三角形相似”得证． （2）根据相似三角形性质“面积比等于相似比的平方”求解． 【详解】（1）解：由图知，，，，，，， ∴，，； ∴ ∴ （2）解：∵ ∴的的面积比为，即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 巩固训练 1.如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等；相似三角形对应边成比例． 2.如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 3.如图，在中，平分，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）已知平分，可得，再由，可得，即可得，从而得； （2）作于点F，于点G，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式求得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点F，于点G，    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到角两边的距离相等”是解题的关键． 题型八　利用位似在网格中作图求解 例题：（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求图形； （2）解：根据相似比可得，， 如图，为所求； （3）解：根据题意，若M为边上的中点， ． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据点的位置，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为，    故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)14 (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图−位似变换、位似图形的性质、在网格中求三角形的面积，（1）根据题意可得，，，，再依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）利用位似图形的性质求点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵，，，它与的相似比为， ∴，，， 依次连接点、、即可； （2）解：由图可得，， 故答案为：14； （3）解：∵为内一点， ∴点M的对应点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形、画轴对称图形 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可； （3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知，， ∵翻折， ∴， ∵与的相似比为 ∴与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：，，． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度），请按下列要求画图： (1)与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标； (3)根据信息回答问题：已知的面积为，边上的高为，请直接写出的面积和边上的高的值． 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)的面积为，边上的高． 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】（）根据中心对称的性质即可得到，进而求出点的坐标； （）根据位似图形的性质，即可得到放大后的，进而求出的坐标； （）根据相似三角形的性质对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解； 本题考查了旋转变换以及位似变换即性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，找，，关于原点对称的点， ∴即为所求，； （2）如图，以原点为位似中心，相似比为，把，，放大倍的对应坐标为，，， ∴即为所求，； （3）∵的面积为，边上的高为，相似比为， ∴，边上的高与边上的高的比为， ∴的面积为，边上的高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 图形的相似知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 八、 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 九、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 03 题型归纳 题型一　判断是否成比例线段 例题：（23-24九年级上·湖南株洲·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的为（     ） A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，， 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 3．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下面四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 题型二　利用比例的性质求解 例题：已知，则 ． 巩固训练 1．已知，则 ． 2．已知，且，若，则 ． 3．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型三　利用黄金分割求线段的长 例题：点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（    ） A． B． C． D． 2．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号） 题型四　由平行判断成比例的线段 例题：如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五　由平行截线求相关线段的长或比值 例题：如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 巩固训练 1．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．    2．如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ． 3．如图，，，，，求、的长． 题型六　补充条件使两个三角形相似 例题：如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 巩固训练 1．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 2．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 3．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 题型七　三角形相似的判定与性质 例题：如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上    (1)求证： (2)的的面积比为________． 巩固训练 1.如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2.如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 3.如图，在中，平分，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型八　利用位似在网格中作图求解 例题：（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 巩固训练 1．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度），请按下列要求画图： (1)与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标； (3)根据信息回答问题：已知的面积为，边上的高为，请直接写出的面积和边上的高的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$