第二十五章 图形的相似模型训练与动点训练（6大模型+5大动点）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十五章 图形的相似模型训练与动点训练 01 思维导图 目录 模型一　（双）A字型相似 1 模型二　（双）8字型相似 4 模型三　母子型相似 12 模型四　手拉手型相似 17 模型五　K字型相似 21 模型六　三角形内接矩形 25 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 29 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 32 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 37 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 42 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 49 02 易错题型 模型一　（双）A字型相似 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 巩固训练 1．如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，可得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，故A，B，C选项正确； ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明． 可得，结合，即可得到结论． 【详解】证明：，， ， ， ． ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 3．如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明． (2)，，求线段AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，即可求出的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 模型二　（双）8字型相似 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 巩固训练 1．如图，是的对角线，点在的延长线上，连接分别交，于点，，则下列式子一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相似三角形的判定和性质即可判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∴，， ∴， ， 故A错误； ∵点在的延长线上， ∴， ∴，， ∴， ， 故B错误； 由A、B选项知，，， ∴，， ， 故C正确； ∵， ∴，， ∴， ， 故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例． 2．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 3．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为 ．    【答案】5 【分析】根据，通过证明，根据相似三角形的相似比即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵边上的高等于，边上的高等于， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 4．如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．    【答案】 【分析】由正方形性质，判定、，由相似比得到，即，再由勾股定理求出长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    在正方形中，， ， ， ， ， 正方形的边长为3，， ，， ，解得， ， 在正方形中，， ， ， ， ，即， 在正方形中，，，则由勾股定理可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及正方形性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．【模型启迪】 （1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；    【模型探索】 （2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：； 【模型应用】 （3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【分析】（1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）延长至点，使，连接，利用中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明； （3）延长至点，使，连接，由可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，表示出，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ； （3）解：延长至点，使，连接，    由（2）可知，， ，， ， ， 设 ，， ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 模型三　母子型相似 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC； （2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4． （1） 证明：如图，∵AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠CBD＝∠DBA， ∴∠A＝∠CBD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC； （2） 解：如图，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°， 由（1）得 ∴∠A =∠ABD＝∠CBD， ∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°， ∴∠A＝30°， ∵BC＝2， ∴AB＝4． 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键． 巩固训练 1．如图，在中，D是AB边上的点，，，则AC的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D． 【答案】B 【分析】由，，证明，可得，代入数据，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， (负值已舍)， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质的综合应用是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 3．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：    (1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，已知，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理求解即可； （2）首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 【点睛】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 4.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②． 【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB. 又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴，即，∴AD＝ （2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°. 又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA. ∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP. ②如图，取CE的中点M，连接AM. 在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C. ∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB， ∴． 模型四　手拉手型相似 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； （3），， ， ， ， ，即， ， ， ， 即正方形的边长为． 巩固训练 1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．无法确定 【答案】B 【解答】，，，∴， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B． 2．【问题呈现】 （1）如图1，和△ADE都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值． 【拓展提升】 （3）如图3，和△ADE都是直角三角形，，且．连接．      ①求的值； ②延长交于点，交于点．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）； 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，从而得到，由证明，即可得到； （2）由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，证明，最后根据相似三角形的性质即可得到答案； （3）由是直角三角形，可得，通过证明得到，从而得到，即可推出，最后由相似三角形的性质即可得到答案；由得，，，得到，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，从而得到． 【详解】（1）证明：和△ADE都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：和△ADE都是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， （3）是直角三角形，， 令，则， ， 和都是直角三角形，，且， ， ， ， ， ， ， 由得，，， ， ， ，，， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，是解题的关键． 模型五　K字型相似 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）CD＝． 【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3， ∴EC＝BC－BE＝5－3＝2， ∵△ABE∽△ECD，∴， ∴，∴CD＝. 巩固训练 1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解； （2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴． （2）解： ∵，， ∴，且， 由（1）可知，， ∴，即，解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 2．（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°， ∴∠ADP = ∠BPC， ∴△ADP△BPC， ， ∴ADBC = APBP， （2）结论仍然成立，理由如下， ， 又， ， ， 设， ， ， ， ∴ADBC = APBP， （3）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键． 模型六　三角形内接矩形 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 例题：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：过点作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，AM==4， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥BC， ∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE， 设MN=DE=x， ∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC， ∴DG：BC=AN：AM，∴， 解得：DG=﹣x+6， ∵四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣x+6， 解得x=， ∴正方形DEFG的边长为； （2）由题意得：DN=2DE， 由（1）知：， ∴DE=． 故答案为． 巩固训练 1．如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】 【分析】设交于点，由矩形的边在．上证明，，则，得，其中，，，可以列出方程“解方程求出的值即可． 【详解】解：设交于点，    ∵矩形的边在上， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是矩形, ∴， ∵，， ∴， ∴ 解得， ∴的长为， 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键． 2．如图，在中，，垂足为D，，四边形和四边形均为正方形，且点E、F、G、N、M都在的边上，那么与四边形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】通过证明，可得，可求的长，由相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与四边形的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 03 压轴题型 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：= ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间 【答案】 / 秒或4秒 【分析】（1）根据路程=速度时间，即可表示出AQ的长度. （2）此题应分两种情况讨论．①当时；②当时．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：， （2）连接PQ， ∵∠PAQ=∠BAC， ∴当时，，即，解得 当时，，即，解得t=4． ∴运动时间为秒或4秒． 故答案为：；秒或4秒 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解． 巩固训练 1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ． 【答案】3秒或4.8秒 【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t． ①当D与B对应时，有ADE∽ABC． ∴AD：AB＝AE：AC， ∴t：6＝（12﹣2t）：12， ∴t＝3； ②当D与C对应时，有ADE∽ACB． ∴AD：AC＝AE：AB， ∴t：12＝（12﹣2t）：6， ∴t＝4.8． 故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故答案为：3秒或4.8秒． 【点睛】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键． 2．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ①当时，，， 若， ∴ 则， ∴， 解得：； 若， ∴则 ∴， 解得： ②当时，，， 同理可得或 解得：（舍去）或 综上所述，或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在中，，，，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】由勾股定理和垂直平分线的性质可知，，若是直角三角形，分或两种情况，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的垂直平分线交边于点E， ∴， 设，则 若是直角三角形， ①如图，当时，可知，则：， 即：，可得：， ∴， ①如图，当时，可知，则：， 即：，可得：， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理及垂直平分线的性质，将直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键． 巩固训练 1．（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理可得，设PD'=PD=x，则AP=12-x，△APD'’是直角三角形可以分两种情况讨论，①当∠AD'P=90°时，②当∠APD'=90°时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论． 【详解】解： 四边形ABCD是矩形， AB=8， BC=12， AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°， E是BC的中点， BE=CE=6， ， 沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处， PD'= PD， 设PD'=PD=x，则AP=12-x， 要使得△APD'是直角三角形时， ①当∠AD'P=90°时，∠AD'P=∠B=90°， AD // BC， ∠PAD'=∠AEB， ， ，即 解得 ， ； ②当∠APD'=90°时，∠APD'=∠B=90°， ∠PAE=∠AEB， ， ，即 ， 解得： ， ； 综上所述，当△APD′是直角三角形时，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解． 【详解】解：由翻折变换的性质得：， ，，， ∴ ， 设，则； 分三种情况讨论：①时，， 解得：， ； ②当时，在的垂直平分线上， 为的中点， ， ， 解得：， ； ③当时，作于，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 即， 解得： ； 综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长． 【答案】或1或4 【分析】设，利用矩形的性质得到，则根据相似三角形的判定方法，当时，∽，；当时，∽，即，然后分别解方程即可． 【详解】解：设，     ∵四边形为矩形， ， ∴当时， 即，解得； 当时， 即，解得 综上所述，的长为或1或4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．分类讨论是解题的关键. 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例题：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案． 【详解】解：由题意作出图形，如图所示：    在正方形中，，边长为6，设的长为，则， ， ，即， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴， ， 在时有最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 巩固训练 1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，，过点作，交于点H，交于点P，则，，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解． 【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D， 则垂直平分，， 由勾股定理得：， ， ，， 解得， ， 过点作，交于点H，交于点P，      则， ， ， 此时，，有最小值，最小值为， ， ， 又， ， ， 得， 解得， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P ∵四边形为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴, ∴ 又∵分别是和对应边上的高 ∴ ∴ 设,则 ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴，即 ∵ ∴点G在直线上且 ∴的最小值为点A到直线的垂线段长度 ∴ ∵ ∴ ∴当时，有最小值，则的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形的判定与性质得到点G在直线上且成为解答本题的关键． 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例题：（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)若直线与线段延长线交于点G，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由可得，用x的代数式表示、，再运用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴． 又∵， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 巩固训练 1．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为4，动点在边上从点沿向点运动（点不与点，重合），连接．过点作，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点运动到边的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)AQ= (3)当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP；理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得∠APQ+∠AQP=90°．再由PE⊥PC，可得∠APQ+∠BPC=90°，从而得到∠AQP=∠BPC，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，即可求解； （3）当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP；理由根据相似三角形的性质，先求出AQ，再根据勾股定理可得PQ，CP的长，可得到==．即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°， ∴∠APQ+∠AQP=90°． ∵PE⊥PC， ∴∠APQ+∠BPC=90°， ∴∠AQP=∠BPC， ∴△APQ∽△BCP； （2）解：∵S△APQ∶S△BCP=1∶16，△APQ∽△BCP， ∴==． 设BP=x，则AP=4-x， ∴=， 解得x=3，即BP=3， ∴AQ=； （3）解：当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP；理由如下： 如图， ∵P是AB的中点， ∴AP=BP=2． ∵△APQ∽△BCP， ∴=，即=， 解得：AQ=1， ∴PQ=，， ∴==． 又∵∠CPQ=∠B=90°， ∴△PCQ∽△BCP． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．     (1)如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则_______； (2)如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长； (3)如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长． 【答案】(1) (2) (3)或7 【分析】（1）连接CD，根据勾股定理得到AB=10，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AB=5，根据折叠的性质得到∠F=∠B，EF=EB=2，根据相似三角形的性质，即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）①如图③-a，当∠FMD=90°时，如图③b，当∠FDM=90°时，作DH⊥BC于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：连接CD， ∵在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6， ∴AB==10， ∵点D是AB边上的中点， ∴CD=BD=AB=5， ∴∠DCB=∠B， ∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE， ∴∠F=∠B，EF=EB=2， ∵∠CGD=∠FGE， ∴△CDG∽△FEG， ∴， 故答案为：； （2）解：∵∠PCD=∠BCD，∠BCD=∠B， ∴∠PCD=∠B， ∵∠CPD=∠BPC， ∴△CPD∽△BPC， ∴， 设DP=5k，CP=8k， ∵CP2=PD•PB， ∴64k2=5k（5k+5）， ∴k=， ∴PD=5k=； （3）解：①如图③-a， 当∠FMD=90°时， ∵∠F=∠B，∠FMD=∠ACB=90°， ∴△FDM∽△BAC， ∴， ∴， ∴DM=3， ∴CM=CD-DM=2， ∵∠ECM=∠B， ∴∠CME=∠ACB=90°， ∴△CEM∽△BAC， ∴， ∴， ∴CE=， ∴BE=； 如图③b， 当∠FDM=90°时， ∵∠F=∠BCD，∠FMD=∠CME， ∴∠CEM=∠FDM=90°， ∴∠FED=∠BED=45°， 作DH⊥BC于H， 则△BDH∽△BAC， ∴， ∴， ∴DH=3，BH=4， ∴EH=DH=3， ∴BE=3+4=7． 综上所述，BE=或7． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 例题：（2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】 (1)如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点， 求证： ． 【尝试应用】 (2)如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点， 使 ， 连接， 求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据相似三角形的判定证明，，得到，，整理可得，即； （2）如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F，由（1）中结论可得，，证明，，根据相似三角形的性质可得，，整理可得； （3）如图，延长交于点H，证明，，根据相似三角形的性质和可得，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用等积法求得时的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）如图，过点M作交于点P，交于点Q，交于点F， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴． （3）如图，延长交于点H， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 巩固训练 1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】② 【分析】（1）作，交的延长线于E，可证得，因此，再证，从而得出； （2）延长至T，使，连接，可证得，，进而证得，进而证得，进一步得出结果； （3）延长至Q，使，连接，作，交的延长线于D，由得出，由平分得出，不妨设，，则，由得出，进而得出． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交的延长线于E， ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如图2，      延长至T，使，连接，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，      延长至Q，使，作， ， ， 平分， ， 不妨设，， 由上知：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 2．（2023·江苏苏州·校联考三模）在中，，，于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作，交直线BC于点F． (1)[探究发现]：如图1，若，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由； (2)[数学思考]： ①如图2，若点E在线段AC上，求证：； ②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)[拓展应用]：若，，，求CE的长．（可结合题意，另行画图） 【答案】(1)DE＝DF，见解析 (2)①见解析；②成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据 得出BC＝AC ，根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，得出∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，根据CD⊥AB，DE⊥DF  ，得出∠CDE＝∠BDF  ，再证△CDE≌△BDF （AAS），得出DE＝DF即可； （2）①根据∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°，得出∠A＝∠BCD，可证∠ADE＝∠CDF，得出△ADE∽△CDF ， 利用相似三角形性质得出，根据∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B ，可证 △ADC∽△CDB ，得出，根据 ， 得出； ②仍然成立，根据∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，得出∠CDE＝∠BDF，再证△ADE∽△CDF ， 得出，根据△ADC∽△CDB，得出， 根据，可证即可； （3）根据△ADE∽△CDF，得出，可得 ，证出CF＝2AE ，根据DF＝，可得DE＝，连结EF，根据勾股定理EF＝，①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2， 列出方程CE2+ [ 2（CE－）] 2＝40 ，②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（+CE）] 2＝40 ，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（－CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（－CE）] 2＝40，解方程即可． 【详解】（1）结论为：DE＝DF 证明：∵ ∴BC＝AC ， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD， ∵CD⊥AB，DE⊥DF  ， ∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90° ∴∠CDE＝∠BDF  ， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF （AAS）， ∴DE＝DF， （2）①∵∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90° ∴∠A＝∠BCD， ∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDE+∠CDF＝90° ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF ， ∴， ∵∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B ， ∴ △ADC∽△CDB ， ∴， ∵ ， ∴； ②仍然成立， ∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°， ∴∠CDE＝∠BDF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∵∠A＝∠BCD ， ∴△ADE∽△CDF ， ∴， ∵△ADC∽△CDB，   ∴，   ∵，   ∴； （3）由（2）得△ADE∽△CDF， ∴，   ∴ ， ∴CF＝2AE ， ∵DF＝，   ∴DE＝， 连结EF， ∵∠EDF＝90°， ∴EF＝， ①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－）， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+ [ 2（CE－）] 2＝40 ， ∴CE＝或CE＝（舍去）， ∴CE＝； ②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE）， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+ [ 2（+CE）] 2＝40 ， ∴CE＝或CE＝－(舍去)， ∴CE＝； ③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（－CE）， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+ [ 2（－CE）] 2＝40， ∴CE＝或CE＝－（均不满足题意）， 综上所述，CE＝或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 图形的相似模型训练与动点训练 01 思维导图 目录 模型一　（双）A字型相似 1 模型二　（双）8字型相似 4 模型三　母子型相似 12 模型四　手拉手型相似 17 模型五　K字型相似 21 模型六　三角形内接矩形 25 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 29 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 32 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 37 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 42 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 49 02 易错题型 模型一　（双）A字型相似 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 巩固训练 1．如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：． 3．如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明． (2)，，求线段AC的长． 模型二　（双）8字型相似 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 巩固训练 1．如图，是的对角线，点在的延长线上，连接分别交，于点，，则下列式子一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 3．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为 ．    4．如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．    5．【模型启迪】 （1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；    【模型探索】 （2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：； 【模型应用】 （3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长． 模型三　母子型相似 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 巩固训练 1．如图，在中，D是AB边上的点，，，则AC的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D． 2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 3．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：    (1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，已知，，，求的度数． 4.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 模型四　手拉手型相似 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 巩固训练 1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．无法确定 2．【问题呈现】 （1）如图1，和△ADE都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和△ADE都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值． 【拓展提升】 （3）如图3，和△ADE都是直角三角形，，且．连接．      ①求的值； ②延长交于点，交于点．求的值． 模型五　K字型相似 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 巩固训练 1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 2．（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 模型六　三角形内接矩形 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 例题：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 巩固训练 1．如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    2．如图，在中，，垂足为D，，四边形和四边形均为正方形，且点E、F、G、N、M都在的边上，那么与四边形的面积比为 ． 03 压轴题型 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：= ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间 巩固训练 1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ． 2．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在中，，，，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E．若是直角三角形，则的长为 ． 巩固训练 1．（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ． 2．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长． 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例题：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 巩固训练 1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．    2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ． 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例题：（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)若直线与线段延长线交于点G，当时，求的长． 巩固训练 1．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为4，动点在边上从点沿向点运动（点不与点，重合），连接．过点作，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点运动到边的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由． 2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．     (1)如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则_______； (2)如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长； (3)如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长． 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 例题：（2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】 (1)如图1， 在中， 分别为上的点， 交 于点， 求证： ． 【尝试应用】 (2)如图2， 已知为的边上的两点， 且满足， 一条平行于的直线分别交和于点和， 求 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点是正方形的边上的一个动点， ， 延长至点， 使 ， 连接， 求的最小值． 巩固训练 1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 2．（2023·江苏苏州·校联考三模）在中，，，于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作，交直线BC于点F． (1)[探究发现]：如图1，若，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由； (2)[数学思考]： ①如图2，若点E在线段AC上，求证：； ②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)[拓展应用]：若，，，求CE的长．（可结合题意，另行画图） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$