第2章 轴对称图形 拓展培优（一）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级上册 第2章 轴对称图形 轴对称图形拓展培优（一） 目录 一．斜边上的中线性质 1 二．含30°的直角三角形的性质及构造方法 2 三．等腰三角形的存在性问题 6 四．等腰三角形的分割问题 7 五．等腰三角形中的分类讨论 9 六．构造等腰三角形的常用方法 15 七． 轴对称有关作图题 21 一．斜边上的中线性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 1．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 3．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    二．含30°的直角三角形的性质及构造方法 4．（2023秋•启东市期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 5．（2023秋•泗阳县期末）如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（　　） A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 【类型一：连接两点构造】 6．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2022秋•江都区校级期中）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ＝4，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰三角形PCB，则PQ的最小值为 　　． 【类型二：延长线段构造】 8．（2024春•铁西区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD的长为 　　． 9．（2022秋•鼓楼区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为 　 　． 【类型三：做垂直构造】 10．（2021秋•新北区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 　 　． 11．（2021春•驿城区校级期末）如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（　　） A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm 12．（2021秋•柳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为（　　） A．16 B．4 C．6 D．8 13．（2023•虎林市校级二模）已知CD是△ABC的高，∠BAC＝2∠BCD，P是直线BC上一点． （1）当点P在BC的延长线上，且∠APC＝60°时，如图1，求证：PB+PC＝PA； （2）当点P在边BC上，且∠APC＝60°时，如图2；当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图3，请直接写出线段PB，PC，PA之间的数量关系，不需要证明． 三．等腰三角形的存在性问题 在平面内找一点C，使△ABC是等腰三角形。 解题方法：两圆一中垂 ①当AB=AC时，C在以A为圆心，以AB为半径的圆上 ②当BA=BC时，C在以B为圆心，以AB为半径的圆上 ③当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上。 14．（2023秋•河北区校级期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2023春•阜新期中）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2023秋•高港区校级月考）如图，已知线段AB和直线AC，点A在直线n上，且∠BAC≠60°，以AB为一边作等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有 　 　个． 17．（宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为　　个． 四．等腰三角形的分割问题 18．（邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 19．（2022秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，过点C画一条直线，将Rt△ABC分割成两个三角形，且其中至少有一个是等腰三角形，则这样的直线能画（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 20．（前郭县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长． 此题难度不大，注意方程思想与分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键． 21．（洪山区期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线，在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请写出∠C所有可能的度数　 　． 22．（江阴市校级月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E． （1）求证：AE是△ABC的一条特异线； （2）如图②，若△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数； （3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可）． 五．等腰三角形中的分类讨论 23．（2023秋•徐州期末）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是 　 　． 24．若等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则等腰三角形顶角的度数是（　　） A．140°或44°或80° B．140°或80° C．44°或80° D．140°或44° 25． （2021秋•建华区期末）如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 　 　． 26． （2022秋•天元区校级期中）等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为　 　． 27． （2023春•碑林区校级期末）已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长3cm，那么这个三角形的腰长为　 　cm． 28．（2023春•新泰市期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（　　） A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90° 29．（2022秋•东莞市校级期中）有一三角形纸片ABC，∠A＝78°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 　 　． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC．若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 　 　． 31．（2023秋•铜梁区校级月考）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝10cm，动点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以2cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 　 　s． 32．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　 　． 33．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC长为3，则腰AB的长为（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6 34．（2023秋•工业园区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 35．（2023秋•工业园区校级月考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线． （1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线． （2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数． 36．（2022秋•临县校级期末）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数． 六．构造等腰三角形的常用方法 【类型一：做腰或底的平行线】 37．（2012秋•海淀区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E． 求证：DE＝EF． 38．（2021秋•海丰县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明． 【类型二：角平分线+平行线构造等腰三角形】 39．（2017秋•蔡甸区期末）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 40.（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 【类型三：角平分线+垂线构造等腰三角形】 41．（2024•济南二模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 42．（2023秋•金寨县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 43．（2022秋•江汉区校级期末）已知：在△ABC中，∠B＝α， （1）如图1，当α＝30°时，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交BC于D，若AD＝4cm，则BC的长为 　12　cm； （2）如图2，当α＝45°时，AB＝AC，过点B作BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD＝2CE； （3）当0°＜α＜90°时，AB＝4，BC＝5，BE为∠ABC的角平分线，CE⊥BE于E，连AE，若S△ABC＝m，请直接写出△ACE的面积．（用含m的式子表示） 【类型四：利用截长补短构造等腰三角形】 44．（2023•霞山区校级一模）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC． 求证：∠ABC＝2∠ACB． 小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝　 　，连接DF． 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB． 请你解答小芸提出的这个问题； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC． 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【类型五：利用倍角关系构造等腰三角形】 45．（吉安期中）阅读理解：在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形： 如图①，若∠ABC＝2∠C，可作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形； 如图②，若∠ABC＝2∠C，如果延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，则 　 　是等腰三角形； 如图③，若∠B＝2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD＝　 　，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形． 解决问题：如图④，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC，求证：∠A＝90°． 7． 轴对称有关作图题 46．（2023秋•梁溪区校级期中）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） 47．（2023秋•江阴市期中）在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线l上作出一点P，使得BP⊥AC； （2）如图②，在直线l上作出所有的点Q，使得． 48．（2023秋•江阴市期中）作图：如图，△ABC中，∠A＝110°（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等； （2）在（1）的条件下，连接CP，若∠ACP＝40°，则∠PBC的度数为 　10　°． （如需画草图，请在备用图上作答） 49．（2023秋•滨湖区期中）请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．） （1）如图1，已知△ABC是等边三角形，求作点P，使点P到△ABC三边距离相等； （2）如图2，已知△ABC是一般三角形，求作点Q，使点Q到△ABC三边距离相等． 50．（2023秋•锡山区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）△ABC，l是过网格线的一条直线． （1）求△ABC的面积； （2）作△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′； （3）在边BC上找一点D，连接AD，使得∠BAD＝∠ABD．（保留作图痕迹） 51．（2023秋•江阴市期中）如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）在直线MN上找一点P，使PA+PB的长最短． 52．（2023秋•梁溪区期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形． （1）在图1中画一个格点正方形，使其面积等于5； （2）在图2中确定格点C，使△ABC为等腰三角形（如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号）； （3）在图3中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC．（不写画法，保留画图痕迹） 53．（2023秋•新吴区期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （2）△ABC的面积等于 　 　； （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短； （4）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 　 　个． 54．（2023秋•鼓楼区校级期中）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上； （2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45°，且点D在格点上； （3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上． 55．（2023秋•秦淮区期中）（1）利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O； （2）点O 　 　（填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上； （3）把顶点D向左移动8格，以上结论 　 　（填“成立”或“不成立”）； （4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点． 56．（2023秋•建邺区校级期中）如图①，△ABC是等边三角形，点D在线段AB上，且DE∥AC，交BC于点E． （1）证明：△DBE是等边三角形； （2）如图②，已知两条直线a∥b，求作等边△ABC，使得点A在直线a上，点B与点C在直线b上．（用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 57．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，A，B，C为格点，点P为线段AB上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深） （1）AB的长等于 　　； （2）在图1中，画出△ABC的角平分线BD； （3）在图2中，在线段BC上画点Q，使得BP＝BQ． 58．（2023秋•玄武区期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】（1）如图①，△ABC，△ADE共顶点A，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连BD、CE．由∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，得∠BAD＝∠CAE．又AB＝AC，AD＝AE，可以推理得到△ABD≌△ACE，进而得到BD＝　 ，∠ABD＝　 　； 【问题研究】（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE，过点E作EB⊥PE，交b于点B，在a上截取DA＝BE，连接AB．△PAB即为所要求作的等腰直角三角形．请证明小明的作法是正确的； 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图） 59．（2023秋•苏州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，请按要求用尺规作图法作图．（请在同一张图上作图，不用书写作图过程，需保留作图痕迹） （1）在边BC上求作一点Q，使∠CAQ＝∠QAB． （2）在边BC上求作一点P，使CP＝2PB． 60．（2023秋•工业园区期中）如图，已知四边形ABCD．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： （1）在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图①中作出点M； （2）若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图②中作出点N． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版八年级上册 第2章 轴对称图形 轴对称图形拓展培优（一） 目录 一．斜边上的中线性质 1 二．含30°的直角三角形的性质及构造方法 3 三．等腰三角形的存在性问题 14 四．等腰三角形的分割问题 18 五．等腰三角形中的分类讨论 23 六．构造等腰三角形的常用方法 39 七． 轴对称有关作图题 53 一．斜边上的中线性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 1．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由题意推出，在中，，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴，∴．故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【详解】解：中，，点E为的中点， ，， ，，， ，故选B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    【答案】(1)的周长为14；(2)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平角定义等． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；（2）根据平角等于，求得，根据直角三角形斜边上的中线求得，根据等腰三角形两底角相等求出，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，M为的中点，∴，， ∴的周长； （2）解：∵是等边三角形，∴， ∴，由（1）得， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，∴． 二．含30°的直角三角形的性质及构造方法 4．（2023秋•启东市期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的性质．版权所有 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AF＝AD，CE＝CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF＝，CF＝，CE＝， ∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝， 故选：C． 【点评】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2023秋•泗阳县期末）如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（　　） A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，证明△BDE≌△CDA（AAS），得出BE＝AC，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AD⊥AC， ∴∠E＝∠CAD＝90°， ∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC， 又∵∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA（AAS）， ∴BE＝AC， 又∵在Rt△BAE中，AB＝3，∠BAE＝30°， ∴， ∴AC＝1.5， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明△BDE≌△CDA（AAS）是解题的关键． 【类型一：连接两点构造】 6．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】连接AD，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠B＝∠C＝30°，再由作法得DE垂直平分AC，所以DA＝DC＝3，所以∠DAC＝∠C＝30°，从而得到∠BAD＝90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求BD的长． 【解答】解：连接AD，如图， ∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 由作法得DE垂直平分AC， ∴DA＝DC＝3， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△ABD中，∵∠B＝30°， ∴BD＝2AD＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 7．（2022秋•江都区校级期中）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ＝4，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰三角形PCB，则PQ的最小值为 　2　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；垂线段最短．版权所有 【分析】连接AP，证明△ABP≌△ACP（SSS），得∠CAP＝∠BAP＝30°，从而点P在射线AP上运动，再利用垂线段最短解决问题． 【解答】解：连接AP， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠CAB＝60°， 在△ABP和△ACP中， ， ∴△ABP≌△ACP（SSS）， ∴∠CAP＝∠BAP， ∴∠PAQ＝30°， ∴点P在射线AP上运动， ∴当QP⊥AP时，PQ的值最小， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线AP上运动是解题的关键． 【类型二：延长线段构造】 8．（2024春•铁西区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD的长为 　2　． 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】延长AB、DC交于点E，利用等角对等边得AD＝DE，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：延长AB、DC交于点E， ∵∠A＝30°，∠D＝120°， ∴∠E＝30°， ∴∠A＝∠E， ∴AD＝DE， 在Rt△BCE中，CE＝2BC＝2， ∴CD＝DE﹣CE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键． 9．（2022秋•鼓楼区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为 　7　． 【考点】等腰直角三角形．版权所有 【分析】延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，如图所示，根据题意得到△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质有AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°，再根据等腰三角形三线合一得到，设AD＝AF＝DF＝a，则，从而由AF﹣GF＝AG得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，如图所示： ∵∠BAD＝∠D＝60°， ∴AF＝DF， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°， ∵CA＝CB，CE平分∠ACB， ∴CG⊥AB，即， 设AD＝AF＝DF＝a， 在Rt△GEF中，∠AFD＝60°，EF＝DF﹣DE＝a﹣3，则， 由AF﹣GF＝AG得，， 解得a＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查三角形背景下求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、含30°的直角三角形性质等知识，熟练掌握特殊三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【类型三：做垂直构造】 10．（2021秋•新北区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 　　． 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．版权所有 【解答】解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF， 设AF＝x，则BF＝4﹣x， ∵∠B＝30°， ∴FH＝BF＝2﹣x， ∴x≥2﹣x， 解得x≥， ∴AF最小值为，BF的最大值为4﹣＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题． 11．（2021春•驿城区校级期末）如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（　　） A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD， ∵PC＝PD， ∴△PCD为等腰三角形， ∴点E为CD的中点， ∵OC＝5cm，OD＝8cm， ∴CD＝3cm， ∴OE＝6.5cm， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°， ∴OP＝2OE＝13cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握含30度角的直角三角形的性质的运用是解题的关键． 12．（2021秋•柳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为（　　） A．16 B．4 C．6 D．8 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【解答】解：过C作CD⊥AB交BA的延长线于D， ∵∠B＝∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°， ∵AC＝4，CD是AB边上的高， ∴CD＝AC＝×4＝2， ∴S△ABC＝×4×2＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 13．（2023•虎林市校级二模）已知CD是△ABC的高，∠BAC＝2∠BCD，P是直线BC上一点． （1）当点P在BC的延长线上，且∠APC＝60°时，如图1，求证：PB+PC＝PA； （2）当点P在边BC上，且∠APC＝60°时，如图2；当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图3，请直接写出线段PB，PC，PA之间的数量关系，不需要证明． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥BC，垂足为H．先证明△ABH≌△ACH可得BH＝CH，再解直角三角形可得2PH＝PA，最后根据线段的和差表示出PB，PC，最后根据线段的和差即可解答； （2）分∠APC＝60°、∠APC＝120°两种情况分别画出图形，然后根据（1）的方法即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵CD是△ABC的高， ∴∠AHB＝∠AHC＝∠BDC＝90°， ∴∠BAH+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°． ∴∠BAH＝∠BCD， ∵∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BAH． ∴∠BAH＝∠CAH． 在△ABH和△AHC中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）， ∴BH＝CH． ∵∠APC＝60°， ∴∠ACP＝90°﹣60°＝30°， ∴PA＝2PH． ∵PB＝PH﹣BH，PC＝PH+HC， ∴PB+PC＝PH﹣BH+PH+CH＝2PH＝PA． （2）解：图2：PC﹣PB＝PA．图3：PB﹣PC＝PA．理由如下： 当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图2，过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵CD是△ABC的高， ∴∠AHB＝∠AHC＝∠BDC＝90°， ∴∠BAH+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°． ∴∠BAH＝∠BCD， ∵∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BAH． ∴∠BAH＝∠CAH． 在△ABH和△AHC中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）， ∴BH＝CH． ∵∠APC＝60°， ∴∠PAH＝90°﹣60°＝30°， ∴PA＝2PH． ∴2PH＝PA． ∵PB＝BH﹣PH，PC＝PH+HC， ∴PC﹣PB＝PH+HC﹣BH+PH＝2PH＝PA，即PC﹣PB＝PA； ∴∠AHB＝∠AHC＝∠BDC＝90°， 当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图3，过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵CD是△ABC的高， ∴∠BAH+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°． ∴∠BAH＝∠BCD， ∵∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BAH． ∴∠BAH＝∠CAH． 在△ABH和△AHC中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）， ∴BH＝CH． ∵∠APC＝120° ∴∠APB＝60° ∵∠APC＝120°， ∴∠HAP＝120°﹣90°＝30°， ∴PA＝2PH． ∴2PH＝PA． ∴2PH＝PA． ∵PB＝BH+PH，PC＝HC﹣PH ∴PB﹣PC＝BH+PH﹣HC+PH＝2PH＝PA，即PB﹣PC＝PA． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、30°所对的直角边是斜边的一半等知识点，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 三．等腰三角形的存在性问题 在平面内找一点C，使△ABC是等腰三角形。 解题方法：两圆一中垂 ①当AB=AC时，C在以A为圆心，以AB为半径的圆上 ②当BA=BC时，C在以B为圆心，以AB为半径的圆上 ③当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上。 14．（2023秋•河北区校级期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个； 当AB为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 15．（2023春•阜新期中）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】矩形的性质；轴对称的性质；等腰三角形的判定．版权所有 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC． 【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P， 如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC， 如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC， 综上所述，符合条件的点P有5个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形判定与性质，矩形的性质，其关键是根据题意，结合图形，需要利用分类讨论的思想分析解答． 16．（2023秋•高港区校级月考）如图，已知线段AB和直线AC，点A在直线n上，且∠BAC≠60°，以AB为一边作等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有 　四　个． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】符合条件等腰三角形有三种①AB为底边，AC＝BC，②AB＝AC，③AB＝BC． 【解答】解：①作AB的垂直平分线，交直线m于C，符合要求的点有一个． ②以A为圆心，AB为半径画弧，交直线m于两点，所以符合要求的点有两个． ③以B为圆心，AB为半径画弧，交直线m于点C，符合要求的点有一个． 所以符合要求的点有四个． 故答案为：四． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，关键是要分类讨论，不要漏解． 17．（宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为　6　个． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB的垂直平分线，首先△ABC的外心满足，再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，AB的垂直平分线相交于两点，分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点，再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解． 【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点， ②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点， ③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点， ④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点P的个数为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观． 四．等腰三角形的分割问题 18．（邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形 【解答】解：①中作∠B的角平分线即可； ③过A点作BC的垂线即可； ④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可； 只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形． 故选：B． 【点评】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键． 19．（2022秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，过点C画一条直线，将Rt△ABC分割成两个三角形，且其中至少有一个是等腰三角形，则这样的直线能画（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质画出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示，即为符合题意的等腰三角形． 故这样的直线能画2条． 故选：B． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及应用设计与作图等知识，正确画出图形是解题关键． 20．（前郭县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，而没有说明哪部分是15cm，哪部分是6cm；所以应该分两种情况进行讨论：第一种BC+BD＝15，第二种BC+BD＝6；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去． 【解答】解：①情况一：AC+AD＝6，BC+BD＝15． ∵AD＝BD，AB＝AC， ∴2AD+AD＝6， ∴AD＝2． ∴AB＝4，BC＝13． ∵AB+AC＜BC， ∴不能构成三角形，故这种情况不成立． ②情况二：AC+AD＝15，BC+BD＝6． 同理①得AB＝10，BC＝1， ∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC， ∴能构成三角形，腰长为10，底边长为1． 故这个等腰三角形的腰和底分别为10和1． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意方程思想与分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键． 21．（洪山区期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线，在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请写出∠C所有可能的度数　20°或40°　． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值． 【解答】解：设∠c＝x°． ①当AD＝AE时， ∵2x+x＝30+30， ∴x＝20． ②当AD＝DE时， ∵30+30+2x+x＝180， ∴x＝40． 所以∠C的度数是20°或40°． 故答案20°或40°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目． 22．（江阴市校级月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E． （1）求证：AE是△ABC的一条特异线； （2）如图②，若△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数； （3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可）． 【考点】三角形综合题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可． （2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意． （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】证明：（1）如图1中， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形， ∴AE是△ABC是一条特异线． （2）如图2中， 当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°， 如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°， 如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）． 如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140° 当CD为特异线时，不合题意． ∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°， （3）如图4，在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C， 当AD是特异线， ①如果AD＝BD＝CD， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝90°， ②如果AD＝BD，AC＝CD， ∴∠BAD＝∠B，∠ADC＝∠DAC＝2∠B， ∴∠BAC＝3∠B， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝108°， 当BD是特异线，如图5， 当AD＝BD，BD＝BC， ∴∠BAD＝∠ABD，∠C＝∠BDC＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A＝36°， 当AD＝BD，CD＝BC， 同理可求：∠A＝， 综上所述：等腰三角形的顶角度数为90°，108°，36°，． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思考问题，属于中考创新题目． 五．等腰三角形中的分类讨论 23．（2023秋•徐州期末）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是 　11cm或13cm　． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】分3cm是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【解答】解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm， ∵3+3＞5， 周长＝3+3+5＝11（cm）． ∴等腰三角形的周长为11cm， ②3cm是底边时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm， 能组成三角形， 周长＝3+5+5＝13（cm）． 综上所述，这个等腰三角形的周长为11cm或13cm． 故答案为：11cm或13cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形． 24．若等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则等腰三角形顶角的度数是（　　） A．140°或44°或80° B．140°或80° C．44°或80° D．140°或44° 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，然后分①x是顶角，2x﹣20°是底角，②x是底角，2x﹣20°是顶角，③x与2x﹣20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【解答】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°， ①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝44°， 所以，顶角是44°； ②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝50°， 所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°； ③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°， 解得x＝20°， 所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 25．（2021秋•建华区期末）如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 　40°或140°或100°　． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】分三种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形，高为腰上的高时；当等腰三角形为钝角三角形，高为底上的高时；即可求出顶角∠BAC． 【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴三角形的顶角为40°； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝140° ∴三角形的顶角为140°； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图3， ∵AB＝AC，∠BAD＝50°，AD⊥BC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝100°， ∴三角形的顶角为100°． 综上，三角形的顶角为40°或140°或100°． 故答案为：40°或140°或100°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 26．（2022秋•天元区校级期中）等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为　65°或115°　． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝25°， ∴∠A＝65°， 即顶角的度数为65°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝25°， ∴∠BAD＝25°， ∴∠BAC＝115°． 故答案为65°或115°． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算． 27．（2023春•碑林区校级期末）已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长3cm，那么这个三角形的腰长为　11cm或5　cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是x cm，根据其中一部分比另一部分长3cm，即可列方程求解． 【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是x cm． 当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，即x+x﹣（x+8）＝3， 解得：x＝11， 11，11，8能够组成三角形； 当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，即8+x﹣（x+x）＝3， 解得：x＝5， 5，5，8能组成三角形． 故这个三角形的腰长为11cm或5cm． 故答案为：11cm或5cm． 【点评】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系． 28．（2023春•新泰市期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（　　） A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90° 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠AC′B＝60°． 【解答】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣∠ADB）＝×（180°﹣80°）＝50°， 当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝50°+10°＝60°， ∵CA＝CB， ∴∠AC′B＝60°， 综上所述，∠ACB的度数为60°或100°． 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 29．（2022秋•东莞市校级期中）有一三角形纸片ABC，∠A＝78°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 　39°或25.5°或12°　． 【考点】剪纸问题；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形， 对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝78°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣78°＝102°， ∴，②AB＝AD，此时， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣51°＝129°， ∴；③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×78°＝24°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣24°＝156°， ∴； 综上所述，∠C度数可以为39°或25.5°或12°， 故答案为：39°或25.5°或12°． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC．若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 　130或100或160　． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】由旋转的性质可知BD＝AB＝BC，结合△ADC为等腰三角形，分三种情况求解，①当DA＝DC时，求出m即可； ②当AD＝AC时，③当CA＝CD时，分别求出m即可． 【解答】解：由旋转的性质可知BD＝AB＝BC， ∵△ADC为等腰三角形， ∴分三种情况： ①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD＝（360°﹣∠ABC）＝130°， ∴m＝130． ②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°， ∴m＝100． ③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°， ∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°， ∴m＝160． 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160． 故答案为：130或100或160． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，掌握和理解旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 31．（2023秋•铜梁区校级月考）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝10cm，动点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以2cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 　2或10　s． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上． 【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形； 如图1所示： ∵PO＝AO﹣AP＝10﹣3t，OQ＝2t， ∴当PO＝QO时， 10﹣3t＝2t， 解得t＝2； 当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形； 如图2所示： ∵PO＝AP﹣AO＝3t﹣10，OQ＝2t； ∴当PO＝QO时，3t﹣10＝2t； 解得t＝10； 故答案为：2或10． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论． 32．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　22.5°或67.5°或45°　． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°， 分三种情况： 当A′D＝A′E时，如图： ∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°， ∵∠A′ED是△ACE的一个外角， ∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°； 当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图： ∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°， ∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°； 当DA′＝DE时， ∴∠A′＝∠DEA′＝30°， ∵∠DEA′是△ACE的一个外角， ∴∠DEA′＞30°， ∴此种情况不成立； 当ED＝EA′时，如图： ∴∠EDA′＝∠A′＝30°， ∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°， ∵∠A′ED是△ACE的一个外角， ∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°； 综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°， 故答案为：22.5°或67.5°或45°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 33．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC长为3，则腰AB的长为（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC＝3， ∴AB＝AC． 当AB＝AC＝2BC时，△ABC是“倍长三角形”； 当BC＝2AB＝2AC时，AB+AC＝BC， 根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； ∴当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC＝3，则腰AB的长为6． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 34．（2023秋•工业园区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键． 35．（2023秋•工业园区校级月考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线． （1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线． （2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数． 【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）证明△ABE、△AEC是等腰三角形即可； （2）根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当DA＝DC时，当AD＝AC时，当AC＝CD时，利用等腰三角形的性质，分别求解． 【解答】（1）证明：如图2中， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形， ∴AE是△ABC是一条等腰分割线； （2）解：∵线段AD即为所求分割线， ∴△ABD和△ACD都是等腰三角形， ①如图3，AD＝CD＝BD， ∴∠C＝∠CAD＝30°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝30°+30°＝60°， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝60°； ②如图4，AD＝BD＝AC， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠C＝30°， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°， ∴∠B＝15°； ③如图5，AD＝BD，AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°， ∠B＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝37.5°， 综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 36．（2022秋•临县校级期末）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　103.5°或126°或117°或124°或84°　； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】【定义】如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可； 【应用】（1）①如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线，③如图8，当∠B＝42°，AD为“好线”，④如图9，当∠B＝42°，CD为“好线”，如图10，当∠ABC＝42°，BD为“好线”，⑥如图11，当∠ACB＝42°，AD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），②当AD＝AE时，如图1（b），③当EA＝DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【解答】解：【定义】如图①，如图②所示， 【应用】（1）①如图④当∠B＝42°，AD为“好线”， 则BA＝BD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°； ②如图， 当∠B＝42°时，CD为“好线”， 则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°， ③如图8， 当∠B＝42°，AD为“好线”， 则AC＝AD＝BD， 故这个三角形的最大角∠C＝84°； ④如图9， 当∠B＝42°，CD为“好线”， 则AD＝CD＝BC， 故这个三角形的最大角∠ACB＝117°； ⑤如图10， 当∠ABC＝42°，BD为“好线”， 则AD＝BD，CD＝BC， 故这个三角形的最大角∠C＝124°； 综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是103.5°或126°或117°或124°或84°， 故答案为：103.5°或126°或117°或124°或84°； （2）设∠B＝x°， ①当AD＝DE时，如图1（a）， ∵AD＝CD ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠DAE＝2x°， ∴27×2+2x+x＝180， ∴x＝42， ∴∠B＝42°； ②当AD＝AE时，如图1（b）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠ADE＝2x°， ∴2x+x＝27+27， ∴x＝18， ∴∠B＝18°． ③当EA＝DE时， ∵90﹣x+27+27+x＝180， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：满足条件的x＝42°或18°． 【点评】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解． 六．构造等腰三角形的常用方法 【类型一：做腰或底的平行线】 37．（2012秋•海淀区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E． 求证：DE＝EF． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可， 【解答】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点， ∴∠ECF＝∠DGE， ∴∠DGB＝∠ACB ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠DGB， ∴DG＝BD， ∵BD＝CF， ∴DG＝CF． 由∠ECF＝∠DGE，∠DEG＝∠CEF，DG＝CF可得 △DGE≌△FCE（AAS）， ∴DE＝EF． 【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质的理解和掌握．此题的关键是过D点作AF的平行线交BC于G点，然后利用角角边定理证明△DGE≌△FCE，这是此题的关键． 38．（2021秋•海丰县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】作PF∥AC交BC于F，交BD于E．根据平行线的性质得到PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，求得∠BEP＝90°，得到∠BPE＝∠PBE＝45°，求得BE＝PE．根据全等三角形的性质得到PN＝BF；根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得PB＝PF，得到BM＝MF，于是得到结论． 【解答】解：PN＝2BM， 理由：如图，作PF∥AC交BC于F，交BD于E． ∵BD⊥AC，PF∥AC， ∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°， ∴∠BEP＝90°， ∴∠BPE＝∠PBE＝45°， ∴BE＝PE． ∵PM⊥BC， ∴∠PMB＝∠PEN＝90°， ∵∠BNM＝∠PNE， ∴∠NPE＝∠EBF， ∵∠PEN＝∠BEF＝90°， ∴△PEN≌△BEF（ASA）， ∴PN＝BF； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠PFB＝∠C， ∴PB＝PF， ∵PM⊥BF， ∴BM＝MF， ∴PN＝2BM． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【类型二：角平分线+平行线构造等腰三角形】 39．（2017秋•蔡甸区期末）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB． 【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点， ∵EG∥AC， ∴∠DEG＝∠C， 在△DEG和△DCA中， ， ∴△DEG≌△DCA（ASA）， ∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC 故EG＝AC ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EG＝EF， ∴∠G＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠BAD， ∴EF∥AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△DEG≌△DCA是解题的关键． 40.（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE． 【解答】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F， ∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C， ∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD， ∴AD＝DF，AB＝AF， ∵AE⊥BD， ∴BE＝EF＝BF， ∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF， ∴AC＝2BE． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 【类型三：角平分线+垂线构造等腰三角形】 41．（2024•济南二模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中，， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 42．（2023秋•金寨县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证． 【解答】解：延长BE交AC于M， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° ∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AB＝AM＝5， ∵BE⊥AE， ∴BM＝2BE＝6， ∵∠4是△BCM的外角， ∴∠4＝∠5+∠C， ∵∠ABC＝3∠C， ∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5， ∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C， ∴∠5＝∠C， ∴CM＝BM＝6， ∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11． 故选：B． 【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键． 43．（2022秋•江汉区校级期末）已知：在△ABC中，∠B＝α， （1）如图1，当α＝30°时，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交BC于D，若AD＝4cm，则BC的长为 　12　cm； （2）如图2，当α＝45°时，AB＝AC，过点B作BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD＝2CE； （3）当0°＜α＜90°时，AB＝4，BC＝5，BE为∠ABC的角平分线，CE⊥BE于E，连AE，若S△ABC＝m，请直接写出△ACE的面积．（用含m的式子表示） 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，则DC＝AD＝4cm，可求出答案； （2）延长CE与BA延长线交于点F，证明△BAD≌△CAF（ASA），由全等三角形的性质得出BD＝CF，证明△BEF≌△BCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝EF，则可得出结论； （3）延长CE与BA的延长线交于点F，作CM⊥AB于M，由（2）知△BEF≌△BCE，得出CE＝FE，BC＝BF＝5，求出CM＝m，根据三角形面积公式可得出答案． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∵AD＝4cm， ∴BD＝2AD＝8cm， ∵∠B+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝60°， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝4cm， ∴BC＝BD+DC＝4+8＝12（cm）， 故答案为：12； （2）证明：延长CE与BA延长线交于点F， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD， ∴∠BAC＝∠DEC， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠ABD＝∠DCE， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（ASA）， ∴BD＝CF， ∵BD平分∠ABC，CE⊥DB， ∴∠FBE＝∠CBE， 在△BEF和△BCE中， ， ∴△BEF≌△BCE（AAS）， ∴CE＝EF， ∴DB＝2CE； （3）解：延长CE与BA的延长线交于点F，作CM⊥AB于M， 由（2）知△BEF≌△BCE， ∴CE＝FE，BC＝BF＝5， ∴S△ACE＝S△AFE＝S△ACF， 又∵AB＝4， ∴AF＝1， ∵S△ABC＝m，即AB•CM＝m， ∴CM＝m， ∴S△ACF＝AF•CM＝×1×m＝m， ∴S△ACE＝S△ACF＝m． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【类型四：利用截长补短构造等腰三角形】 44．（2023•霞山区校级一模）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC． 求证：∠ABC＝2∠ACB． 小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝　BD　，连接DF． 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB． 请你解答小芸提出的这个问题； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC． 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论； （2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质证明结论； （3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明． 【解答】证明：（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF， 则∠BDF＝∠F， ∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB+BD＝AC，BF＝BD， ∴AF＝AC， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴∠ABC＝2∠ACB； （2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE， ∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB， ∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB， ∵AB+BD＝AC，AE＝AB， ∴DB＝CE， 在△ADB和△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE（SAS）， ∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED， ∴DE＝CE， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠AED＝2∠ECD， ∴∠ABD＝2∠ECD， ∴∠ABC＝2∠ACB； （3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG， 则∠BDG＝∠AGD， ∴∠ABC＝∠BDG+∠G＝2∠AGD， ∵∠ABC＝2∠ACB， ∴∠AGD＝∠ACB， ∵AB+BD＝AC，BG＝BD， ∴AG＝AC， ∴∠AGC＝∠ACG， ∴∠DGC＝∠DCG， ∴DG＝DC， 在△ADG和△ADC中， ， ∴△ADG≌△ADC（SSS）， ∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【类型五：利用倍角关系构造等腰三角形】 45．（吉安期中）阅读理解：在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形： 如图①，若∠ABC＝2∠C，可作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形； 如图②，若∠ABC＝2∠C，如果延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，则 　△ACD　是等腰三角形； 如图③，若∠B＝2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD＝　∠ACB　，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形． 解决问题：如图④，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC，求证：∠A＝90°． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】（1）先证明∠DBC＝∠C，利用“等角对等边”即可证明； （2）先应用“等边对等角”得：∠BAD＝∠D，进而可证明：∠C＝∠D，再利用“等角对等边”即可； （3）由已知可证明：∠BCD＝∠B，利用“等角对等边”即可证明； （4）如图④，在CB的延长线上截取CH＝AC，在BC上截取CE＝CA，由“SAS”可证△ABE≌△AHC，可得AE＝AC＝CE，可证△ACE是等边三角形，可求∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，可得结论． 【解答】（1）证明：如图①，∵BD平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：如图②，∵BD＝BA， ∴∠BAD＝∠D， ∵∠ABC＝∠BAD+∠D， ∴∠ABC＝2∠D， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠D， ∴AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形． 故答案为：△ACD； （3）解：如图③，在△ABC外作∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACD＝∠ACB， ∴∠BCD＝2∠ACB， ∵∠B＝2∠ACB， ∴∠BCD＝∠B， ∴DB＝DC， ∴△DBC是等腰三角形． 故答案为：∠ACB； （4）证明：如图④，在CB的延长线上截取CH＝AC，在BC上截取CE＝CA， ∵BC＝2AC， ∴BE＝CE＝AC， ∵AC＝CH， ∴∠H＝∠CAH， ∴∠ACB＝∠H+∠CAH＝2∠H，且∠ACB＝2∠ABC， ∴∠H＝∠ABC， ∴AH＝AB，且∠H＝∠ABC，BE＝EC＝AC＝CH， ∴△ABE≌△AHC（SAS） ∴AE＝AC， ∴AE＝AC＝CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质和判定；解题关键是构造等腰三角形，熟练运用等腰三角形性质和判定． 7． 轴对称有关作图题 46．（2023秋•梁溪区校级期中）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点】作图—复杂作图；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【分析】（1）作∠BAC的平分线，与BC的交点即为点D． （2）根据垂线的作图方法，过点A作BC的垂线AM，再根据作一个角等于已知角的作图方法，作∠CAM＝∠ACN，此时∠BCN＝90°，延长BA与CN交于点P，作∠BPC的平分线，与BC的交点即为点D． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求． （2）如图2，点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、翻折变换（折叠问题），熟练掌握尺规作图的基本作图方法以及翻折的性质是解答本题的关键． 47．（2023秋•江阴市期中）在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线l上作出一点P，使得BP⊥AC； （2）如图②，在直线l上作出所有的点Q，使得． 【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）以A点为圆心，AC为半径画弧交直线l于Q1，再以C点为圆心，CQ1为半径画弧交直线l于Q2，则∠CAQ2＝∠AQ1C+∠ACQ1，所以∠AQ1C＝∠ACB，易得∠AQ2C＝∠AQ1C＝∠ACB． 【解答】解：（1）如图①：点P即为所求； （2）如图②：点Q1、Q2即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 48．（2023秋•江阴市期中）作图：如图，△ABC中，∠A＝110°（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等； （2）在（1）的条件下，连接CP，若∠ACP＝40°，则∠PBC的度数为 　10　°． （如需画草图，请在备用图上作答） 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）分别作线段BC的垂直平分线以及∠ABC的平分线，交点即为点P． （2）由角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，由PB＝PC可得∠PBC＝∠PCB，则∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，进而可得3∠PBC+40°+110°＝180°，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求． （2）∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP+∠A＝180°， 即3∠PBC+40°+110°＝180°， ∴∠PBC＝10°． 故答案为：10． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 49．（2023秋•滨湖区期中）请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．） （1）如图1，已知△ABC是等边三角形，求作点P，使点P到△ABC三边距离相等； （2）如图2，已知△ABC是一般三角形，求作点Q，使点Q到△ABC三边距离相等． 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．版权所有 【分析】（1）用有刻度的直尺分别取AC的中点E，BC的中点D，连接BE，AD交于P，则P即为所求； （2）用有刻度的直尺在BC上取BF＝AB，在取AF的中点G，同理取CM＝AC，AM的中点H，连接BG，CH交于Q，则Q即为所求． 【解答】解：（1）量得AB＝BC＝2.2cm，在AC上取点E，使AE＝1.1cm，在BC上取点D，使BD＝1.1cm，连接BE，AD交于P，则点P即为所求；如图1， （2）量得AB＝2.4cm，在BC上取点F，使BF＝2.4cm，连接AF，量得AF＝1.38cm，在AF上取点G，使AG＝0.69cm， 量得AC＝1.8cm，在BC上取点M，使CM＝1.8cm，连接AM，量得AM＝1.42cm，在AM上取点H，使AH＝0.71cm， 连接BG，CH交于Q，如图2，则点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及等腰三角形的性质． 50．（2023秋•锡山区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）△ABC，l是过网格线的一条直线． （1）求△ABC的面积； （2）作△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′； （3）在边BC上找一点D，连接AD，使得∠BAD＝∠ABD．（保留作图痕迹） 【考点】作图﹣轴对称变换．版权所有 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得到△A′B′C′； （3）利用网格特点得到AB的垂直平分线与BC的交点为D点． 【解答】解：（1）△ABC的面积＝×4×5＝10； （2）如图，△A′B′C′即为所求； （3）如图，点D即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 51．（2023秋•江阴市期中）如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）在直线MN上找一点P，使PA+PB的长最短． 【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．版权所有 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画△ABC关于直线MN的对称图形； （2）根据两点之间线段最短即可在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）如图，点P即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 52．（2023秋•梁溪区期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形． （1）在图1中画一个格点正方形，使其面积等于5； （2）在图2中确定格点C，使△ABC为等腰三角形（如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号）； （3）在图3中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC．（不写画法，保留画图痕迹） 【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）画出边长为的正方形即可． （2）根据等腰三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可． （3）取格点R，连接AR，取AR的中点P，连接BP，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求． （2）如图，C1，C2，C3，C4即为所求． （3）如图，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 53．（2023秋•新吴区期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （2）△ABC的面积等于 　3　； （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短； （4）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 　4　个． 【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定；勾股定理．版权所有 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）连接B′C，与直线l的交点即为所求； （4）根据全等三角形的概念，结合网格求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求． （2）△ABC的面积等于2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3， 故答案为：3； （3）如图所示，点P即为所求； （4）如图所示，顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出4个， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 54．（2023秋•鼓楼区校级期中）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上； （2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45°，且点D在格点上； （3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上． 【考点】作图﹣轴对称变换．版权所有 【分析】（1）作一个底为2，高为3的三角形即可； （2）构造等腰直角三角形即可； （3）作等腰三角形ABE（BA＝BE）即可． 【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，∠ADB即为所求； （3）如图3中，△ABE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 55．（2023秋•秦淮区期中）（1）利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O； （2）点O 　在　（填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上； （3）把顶点D向左移动8格，以上结论 　不成立　（填“成立”或“不成立”）； （4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）由（1）作图的结果可知O在另外两边的垂直平分线上； （3）通过作图可知O不在另外两边的垂直平分线上； （4）根据垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示，点O在另外两条边的垂直平分线上； 故答案为：在； （3）如图所示， 把顶点D向左移动8格，以上结论不成立； 故答案为：不成立； （4）当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等， 所以可知四边形的四个顶点共圆， 根据圆内接四边形的性质可得，四边形对角互补， 所以，当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点． 【点评】本题考查了复杂作图，用到的知识点有垂直平分线的作法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 56．（2023秋•建邺区校级期中）如图①，△ABC是等边三角形，点D在线段AB上，且DE∥AC，交BC于点E． （1）证明：△DBE是等边三角形； （2）如图②，已知两条直线a∥b，求作等边△ABC，使得点A在直线a上，点B与点C在直线b上．（用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 【考点】作图—复杂作图；等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠B＝∠BDE＝∠BED＝60°，即可得出结论． （2）在直线b上任取两点B，D，以点B为圆心，线段BD的长为半径画弧，再以点D为圆心，线段BD的长为半径画弧，与前弧交于点E，作射线BE，交直线a于点A，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AB，AC即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A＝60°，∠DEB＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BDE＝∠BED＝60°， ∴△DBE为等边三角形． （2）解：如图②，在直线b上任取两点B，D， 以点B为圆心，线段BD的长为半径画弧， 再以点D为圆心，线段BD的长为半径画弧，与前弧交于点E， 作射线BE，交直线a于点A， 以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交直线b于点C， 连接AB，AC， 则等边△ABC即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． 57．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，A，B，C为格点，点P为线段AB上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深） （1）AB的长等于 　5　； （2）在图1中，画出△ABC的角平分线BD； （3）在图2中，在线段BC上画点Q，使得BP＝BQ． 【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．版权所有 【分析】（1）由勾股定理可得AB＝5； （2）取格点E，连接BE并延长交AC于D，BD即为所求； （3）取格点K，使BK＝BA，连接KP交BD于T，连接AT并延长交BC于Q，Q即为所求的点． 【解答】解：（1）AB＝＝5； 故答案为：5； （2）取格点E，连接BE并延长交AC于D，如图： BD即为所求； 理由：由图可知AB＝5，BE＝2，AE＝， ∴BE2+AE2＝AB2， ∴∠AEB＝90°， 过E作EF⊥AB于F， ∵2S△ABE＝AE•BE＝AB•EF， ∴EF＝＝＝2， ∴E到AB的距离等于E到BC的距离， ∴BD是△ABC的角平分线； 方法2：在BC上取点F，使BF＝5，连接AF，取AF的中点E，连接BE交AC于D，如图： BD即为所求； （3）取格点K，使BK＝BA，连接KP交BD于T，连接AT并延长交BC于Q，如图： Q即为所求的点； 理由：∵AB＝BK，∠ABT＝∠KBT，BT＝BT， ∴△ABT≌△KBT（SAS）， ∴∠BAT＝∠BKT， ∵∠ABQ＝∠KBP，AB＝BK， ∴△ABQ≌△KBP（ASA）， ∴BQ＝BP． 【点评】本题考查作图﹣应用与涉及作图，解题的关键是掌握网格的特征和全等三角形判定与性质定理． 58．（2023秋•玄武区期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】（1）如图①，△ABC，△ADE共顶点A，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连BD、CE．由∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，得∠BAD＝∠CAE．又AB＝AC，AD＝AE，可以推理得到△ABD≌△ACE，进而得到BD＝　CE　，∠ABD＝　∠ACE　； 【问题研究】（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE，过点E作EB⊥PE，交b于点B，在a上截取DA＝BE，连接AB．△PAB即为所要求作的等腰直角三角形．请证明小明的作法是正确的； 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图） 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE推导出∠BAD＝∠CAE，则AB＝AC，AD＝AE，即可证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，于是得到问题的答案； （2）由EB⊥PE，PD⊥a，得∠PEB＝∠PDA＝90°，而EB＝DA，PE＝PD，可证明△PEB≌△PDA，得PB＝PA，∠BPE＝∠APD，可证明∠APB＝∠DPE＝90°，所以△PAB即为所要求作的等腰直角三角形； （3）作PF⊥a于点F，依次在PF右侧作出等边三角形PFG和等边三角形FGH，连接PH交直线a于点I，再连接并延长IG交直线b于点B，在射线FI上取一点A，使PA＝PB，连接AB，即得到所要求作的等边△PAB，理由是：先证明△PIG≌△PIF，进而证明Rt△PBG≌Rt△PAF，得∠BPG＝∠APF，再推导出∠APB＝∠GPF＝60°，则△PAB是等边三角形． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 故答案为：CE，∠ACE． （2）证明：∵△PDE是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PE＝PD，∠DPE＝90°， ∵EB⊥PE，PD⊥a， ∴∠PEB＝∠PDA＝90°， 在△PEB和△PDA中， ， ∴△PEB≌△PDA（SAS）， ∴PB＝PA，∠BPE＝∠APD， ∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠APE+∠APD＝∠DPE＝90°， ∴△PAB即为所要求作的等腰直角三角形． （3）解：如图④， 作法：1．作PF⊥a于点F； 2．以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG； 3．以FG为边在FG上方作等边三角形FGH； 4．连接PH交直线a于点I； 5．连接并延长IG交直线b于点B； 6．在射线FI上取一点A，连接PB、PA，使PA＝PB； 7．连接AB， △PAB就是所要求作的等边三角形． 证明：由作法得△PFG和△FGH都是等边三角形，PA＝PB， ∴PG＝PF，HG＝HF， ∴点P、点H都在FG的垂直平分线上， ∴直线PH垂直平分FG， ∴IG＝IF， 在△PIG和△PIF中， ， ∴△PIG≌△PIF（SSS）， ∵PF⊥a， ∴∠PGI＝∠PFI＝90°， ∴∠PGB＝90°， 在Rt△PBG和Rt△PAF中， ， ∴Rt△PBG≌Rt△PAF（HL）， ∴∠BPG＝∠APF， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠APG+∠APF＝∠GPF＝60°， ∴△PAB就是所要求作的等边三角形． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 59．（2023秋•苏州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，请按要求用尺规作图法作图．（请在同一张图上作图，不用书写作图过程，需保留作图痕迹） （1）在边BC上求作一点Q，使∠CAQ＝∠QAB． （2）在边BC上求作一点P，使CP＝2PB． 【考点】作图—复杂作图．版权所有 【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC一点Q，点Q即为所求； （2）以C为圆心，AQ为半径作弧交BC于点P（可以证明AQ＝BQ＝2CQ），点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，点Q即为所求； （2）如图，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 60．（2023秋•工业园区期中）如图，已知四边形ABCD．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： （1）在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图①中作出点M； （2）若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图②中作出点N． 【考点】作图—复杂作图；平行线之间的距离；三角形的面积．版权所有 【分析】（1）作出BC的垂直平分线，交AC于点M，点M即为所求； （2）延长BA，CD相交于点G，作∠BGC的角平分线，交AC于点N，点N即为所求． 【解答】解：（1）如图①，以点B和点C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接EF，交AC于点M，点M即为所求； （2）如图②，延长BA，CD相交于点G，作∠BGC的角平分线，交AC于点N，点N即为所求； 过点N作NH⊥AB于点H，NI⊥CD于点I， ∵CN平分∠BGC，NH⊥AB，NI⊥CD， ∴NH＝NI， ∵AB＝CD， ∴△ABN和△CDN的面积相等． ∴点N即为所求． 【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，平行线之间的距离等知识点，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$