2.4 曲线与方程（讲义，6大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.4 曲线与方程 1、结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系； 2、理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； 3、通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程． 知识点1 曲线的方程与方程的曲线 1、曲线与方程定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 【注意】（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点． （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少，即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系． 2、两条曲线的交点坐标 （1）已知曲线和曲线，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到． （2）直线与曲线交点个数判断 直线与曲线的交点问题，一般通过联立两方程消元得到关于或的方程．若是一元二次方程，则根据一元二次方程根的判别式来判断（有时也可利用数形结合来判断）： ①当时，由两个交点；②当时，无交点；③当时，有一个交点，此时直线与曲线相切． 知识点2 由曲线求它的方程 1、求动点轨迹方程的步骤 （1）设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； （2）写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； （3）化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 2、建立坐标系的基本原则 （1）让尽量多的点落在坐标轴上； （2）尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步,应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等． 知识点3 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别 （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 【常用解题技巧】 1、曲线与方程的关系判定 曲线的方程是的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程的解，并且以方程的实数解为坐标的点都在曲线上，这是识别曲线和方程关系的基本依据． 曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线与方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上及曲线上的点的坐标是否都是方程的解． 2、判断点与曲线关系的方法 （1）从点的坐标角度 若点在方程所表示的曲线C上，则；或若，则点不在方程表示的曲线C上． （2）从方程的解的角度 若，则点在方程所表示的曲线C上；或若点不在方程表示的曲线C上，则． 3、求曲线方程的常用方法 （1）直接法：建立适当的坐标系后，设动点为，根据几何条件寻求之间的关系式． （2）定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． （3）代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标满足的关系． （4）参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去,即可得到的关系式． 4、设曲线C的方程为：，一般有如下规律： ①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称； ②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称； ③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称． 例：曲线C的方程为：，则曲线C关于原点对称． 题型一 曲线与方程的概念 【例1】曲线的方程是：，那么是点在曲线上的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 题型二 点与曲线的位置关系 【例2】下列各点中，在曲线上的点是 A．（2，-2） B．（4，-3） C．（3，10） D．（-2，5） 【变式2-1】（22-23高二上·安徽·期末）方程表示的图形经过点，，， 中的（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】设曲线和的交点为P，那么曲线必定（ ） A．经过P点 B．经过原点 C．不一定经过P点 D．经过P点和原点 【变式2-3】若点在方程的曲线上，则 ． 题型三 由方程研究曲线的图形 【例3】（22-23高二下·四川南充·月考）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-1】（23-24高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【变式3-2】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则曲线围成的图形面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型四 由方程研究曲线的性质 【例4】（23-24高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 【变式4-1】（23-24高二上·广东中山·月考）（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（    ） A．曲线关于y＝x对称 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积 D．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积 【变式4-3】（22-23高二上·上海闵行·期中）关于曲线，则以下结论正确的是（    ） ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线是不封闭图形，且它与圆有四个公共点； ④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形. A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④ 题型五 两曲线交点问题 【例5】曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【变式5-3】（22-23高二上·北京海淀·月考）已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是 . 题型六 求平面轨迹方程 【例6】（23-24高二上·河南开封·期中）到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·江西上饶·）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 【变式6-2】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ． 【变式6-3】（23-24高二上·北京大兴·期中）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 曲线与方程 1、结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系； 2、理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； 3、通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程． 知识点1 曲线的方程与方程的曲线 1、曲线与方程定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 【注意】（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点． （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少，即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系． 2、两条曲线的交点坐标 （1）已知曲线和曲线，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到． （2）直线与曲线交点个数判断 直线与曲线的交点问题，一般通过联立两方程消元得到关于或的方程．若是一元二次方程，则根据一元二次方程根的判别式来判断（有时也可利用数形结合来判断）： ①当时，由两个交点；②当时，无交点；③当时，有一个交点，此时直线与曲线相切． 知识点2 由曲线求它的方程 1、求动点轨迹方程的步骤 （1）设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； （2）写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； （3）化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 2、建立坐标系的基本原则 （1）让尽量多的点落在坐标轴上； （2）尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步,应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等． 知识点3 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别 （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 【常用解题技巧】 1、曲线与方程的关系判定 曲线的方程是的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程的解，并且以方程的实数解为坐标的点都在曲线上，这是识别曲线和方程关系的基本依据． 曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线与方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上及曲线上的点的坐标是否都是方程的解． 2、判断点与曲线关系的方法 （1）从点的坐标角度 若点在方程所表示的曲线C上，则；或若，则点不在方程表示的曲线C上． （2）从方程的解的角度 若，则点在方程所表示的曲线C上；或若点不在方程表示的曲线C上，则． 3、求曲线方程的常用方法 （1）直接法：建立适当的坐标系后，设动点为，根据几何条件寻求之间的关系式． （2）定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． （3）代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标满足的关系． （4）参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去,即可得到的关系式． 4、设曲线C的方程为：，一般有如下规律： ①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称； ②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称； ③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称． 例：曲线C的方程为：，则曲线C关于原点对称． 题型一 曲线与方程的概念 【例1】曲线的方程是：，那么是点在曲线上的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据曲线与方程的关系可知，因为，所以点的坐标满足方程， 所以点在曲线上，反之，点在曲线上，则 故是点在曲线上的充要条件故选：A 【变式1-1】“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由“点M在曲线上”一定能推出“点M到两坐标轴距离相等”，故充分； 当“点M到两坐标轴距离相等”时，点M不一定在曲线上， 此时，点M也可能在曲线上，故不必要，故选：C 【变式1-2】“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若点M在曲线上，则； 当点M的坐标满足方程时，必有，即点M在曲线上， 故“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的必要不充分条件．故选：B． 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B 【解析】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上” 与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言，不满足， 但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误.故选：B. 题型二 点与曲线的位置关系 【例2】下列各点中，在曲线上的点是 A．（2，-2） B．（4，-3） C．（3，10） D．（-2，5） 【答案】C 【解析】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不正确；故选：C． 【变式2-1】（22-23高二上·安徽·期末）方程表示的图形经过点，，， 中的（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】由方程，可知，两点不符合题意； 对于点，，则有； 对于点，．故选：C． 【变式2-2】设曲线和的交点为P，那么曲线必定（ ） A．经过P点 B．经过原点 C．不一定经过P点 D．经过P点和原点 【答案】A 【解析】设曲线和的交点为P的坐标为， 因此有且，因此， 所以曲线必定经过P点，故选：A 【变式2-3】若点在方程的曲线上，则 ． 【答案】2或 【解析】将点代入方程 得，解得：或 题型三 由方程研究曲线的图形 【例3】（22-23高二下·四川南充·月考）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】A选项，中，中，所以不是相同曲线. B选项，中，中，所以不是相同曲线. C选项，，是相同曲线，C选项正确. D选项，中，中，，所以不是相同曲线.故选：C 【变式3-1】（23-24高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【解析】由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线.故选：D 【变式3-2】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应，故选：D 【变式3-3】（22-23高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则曲线围成的图形面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】当时，方程化简为，表示一条线段， 同理当时，方程化简为，表示一条线段， 同理当时，方程化简为，表示一条线段， 同理当时，方程化简为，表示一条线段. 所以方程表示的曲线是以为顶点的菱形， 如下图所示.所以菱形的面积为，故选D. 题型四 由方程研究曲线的性质 【例4】（23-24高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【解析】对于A，用换方程中的，得， 方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误； 对于B，用换方程中的，得， 方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误； 对于C，用换，换，得， 方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误； 对于D，将点代入原方程仍为， 因此曲线关于原点中心对称D正确.故选：D 【变式4-1】（23-24高二上·广东中山·月考）（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为； 对于A，，， 既关于轴对称，又关于轴对称，A正确； 对于B，，， 不关于轴对称，关于轴对称，B错误； 对于C，，， 既关于轴对称，又关于轴对称，C正确； 对于D，，， 关于轴对称，不关于轴对称，D错误.故选：AC. 【变式4-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（    ） A．曲线关于y＝x对称 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积 D．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积 【答案】D 【解析】A．在曲线上任取一点，则， 点关于直线的对称点为，且， 所以曲线关于对称，故A正确； B．在曲线上任取一点，则a4+b4＝1， 点关于原点的对称点为，则， 所以曲线关于原点对称，故B正确； C．对于等式，可得，同理可得， 当时，，当时，， 在曲线上任取一点， 则，即点在直线的下方，如下图所示． 直线交x轴于点，交y轴于点， 所以，故C正确； D．在曲线上任取一点， 因为，，则，， 则，即点在圆外，如下图所示． 圆在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为， 所以，故D错误．故选：D． 【变式4-3】（22-23高二上·上海闵行·期中）关于曲线，则以下结论正确的是（    ） ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线是不封闭图形，且它与圆有四个公共点； ④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形. A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【解析】在曲线中，以替换，以替换，方程不变， 则曲线关于原点对称，故①正确； 由，得，得，即或， 同理求得或，即，故②正确； 由求得的、的范围可得曲线不是封闭图形， 联立，得， 方程的判别式， 解得，，，， 故曲线与圆有四个公共点，故③正确； 当，时，方程化为，即且， 又是方程的一个解， 且中， 当时，，而时，， 所以在时，与有交点， 且与均关于直线对称， 所以与在上至少有2个交点； 与还关于和原点对称，所以方程组至少有8组解， 则曲线与曲线不可能有4个交点，故④错误．故答案为：B． 题型五 两曲线交点问题 【例5】曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】与联立得：， 整理得：， 其中，故两曲线有2个公共点.故选：C 【变式5-1】已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为曲线，当时，，当时，， 所以曲线与曲线必相交于， 所以为了使曲线与恰有两个不同的公共点， 将代入方程，整理得：， 当时，满足题意， 当时，因为曲线与恰有两个不同的公共点， 所以，且2为方程的根，，解得， 方程两根异号，满足题意， 综上实数的取值范围是，故选：C 【变式5-2】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得， 所以，曲线与曲线有两个公共点，它们关于y轴对称， 对于曲线，，可得， 整理可得，由可得， 即曲线为圆的下半圆， 由可得，其中， 联立可得， 若方程在时有唯一根，则， 此时方程只有唯一的实根，不合乎题意， 所以，方程在只有唯一的根， 因为二次函数在时单调递减， 只需，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（22-23高二上·北京海淀·月考）已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】曲线，用代替可得，可得曲线的图像关于轴对称. 曲线用代替可得，从而曲线的图像关于轴对称. 曲线与曲线恰好有三个不同的公共点， 则在其中一个交点在轴上，在轴上方恰好有一个交点. 曲线的方程为，所以曲线的图像与曲线的图像必相交于点， 当时，曲线的方程， 则，即在上恰好有一个实数根. ,解得 或 所以，解得 题型六 求平面轨迹方程 【例6】（23-24高二上·河南开封·期中）到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该动点为，则有，即.故选：D 【变式6-1】（23-24高二上·江西上饶·）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 【答案】C 【解析】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C. 【变式6-2】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由定点，且M是线段AB的中点， 由中点坐标公式可得，即， 又点B在圆上，故，即， 整理得， 所以线段AB中点M的轨迹方程是. 【变式6-3】（23-24高二上·北京大兴·期中）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为 ． 【答案】或除去点 【解析】设底边的另一个端点的坐标为，则， 化简可得， 因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合， 当三点共线时，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以点的轨迹方程为或除去点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$