2.4 曲线与方程（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.4 曲线与方程 题型一 曲线与方程的概念 1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为（    ） A．方程表示的曲线是C B．方程是曲线C的方程 C．方程的曲线不一定是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上 2．已知条件甲：曲线C是方程的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程的解，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标满足方程的点有些在上，有些不在上 C．坐标满足方程的点都不在曲线上 D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程 题型二 点与曲线的位置关系 1．已知曲线的方程为，则下列各点中在曲线上的点是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·宁夏银川·月考）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 3．已知点在曲线上，则在点，，，中，也在该曲线上的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为 ． 题型三 由方程研究曲线的图形 1．方程的曲线是（    ） A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 2．（22-23高二上·广东清远·月考）方程表示的曲线是（    ） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 3．（22-23高二上·四川成都·月考）方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 4．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）由曲线围成的图形的面积为 . 题型四 由方程研究曲线的性质 1．已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）（多选）已知曲线，则（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．为的一个顶点 3．（23-24高二上·福建福州·期中）（多选）关于曲线，给出下列四个命题：（    ） ①曲线关于轴对称；②曲线关于直线对称； ③曲线关于原点对称；④曲线所围成的区域面积大于6 其中正确的为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（23-24高二上·广西河池·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的纵坐标的取值范围为 D．直线与曲线C有且仅有两个公共点 题型五 两曲线交点问题 1．曲线与交点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）给定下列四条曲线中，与直线仅有一个公共点的曲线是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·辽宁沈阳·月考）求通过圆与的交点，并且过点的圆的方程． 4．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 求平面轨迹方程 1．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽合肥·月考）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·四川遂宁·月考）已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是 4．（23-24高二上·广东汕头·月考）（1）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程； （2）在平面直角坐标系中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C. 求C的方程. 1．（23-24高二上·广东深圳·月考）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（    ） A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥ 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知曲线方程为，给出下列命题： ①曲线关于原点对称； ②曲线上任意两点的距离最大值为； ③曲线上的点的横坐标取值范围； ④曲线上的点构成的图形面积为16. 则所有真命题是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）关于曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C与直线有四个交点 C．曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于 D．曲线C不是封闭图形，且它与圆无公共点 4．（23-24高二上·吉林长春·月考）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（    ）    A．曲线有两条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D．四叶草面积小于 5．（23-24高二上·湖北·月考）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为 ． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知曲线C：，下列说法正确的有 ． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 曲线与方程 题型一 曲线与方程的概念 1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为（    ） A．方程表示的曲线是C B．方程是曲线C的方程 C．方程的曲线不一定是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上 【答案】C 【解析】因为命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”的逆否命题是: 方程的曲线不一定是C命题, 又“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题， 所以命题“方程的曲线不一定是C”是真命题，故选：C 2．已知条件甲：曲线C是方程的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程的解，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为若曲线是方程的曲线，则曲线上的点的坐标都是方程的根； 但若曲线上的点的坐标都是方程的根，曲线不一定是方程的曲线. 故甲是乙的充分不必要条件.故选：A. 3．“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】点M在曲线上，其坐标不一定满足方程， 但当点M的坐标满足方程时，点M一定在曲线上.故选：B. 4．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标满足方程的点有些在上，有些不在上 C．坐标满足方程的点都不在曲线上 D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程 【答案】D 【解析】因为命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确， 所有命题“坐标满足方程的点不都在曲线上”正确， 即“一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程，因此D正确. 故选：D. 题型二 点与曲线的位置关系 1．已知曲线的方程为，则下列各点中在曲线上的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,得, 取,得; 取,得; 取,得. 所以点在曲线上.故选：A 2．（22-23高二下·宁夏银川·月考）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时可得 所以方程表示的曲线经过的一点是， 且其它点都不满足方程，故选：C 3．已知点在曲线上，则在点，，，中，也在该曲线上的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】由在该曲线上，知：， ∴， 故，，，都在曲线上.故选：D. 4．已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为 ． 【答案】， 【解析】将代入中，，故在曲线C上； 将代入中，无意义，故不在曲线C上； 将代入中，，故在曲线C上； 将代入中，，故不在曲线C上. 故答案为：， 题型三 由方程研究曲线的图形 1．方程的曲线是（    ） A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 【答案】D 【解析】方程，化为，则或， 所以方程的曲线是直线和直线.故选：D 2．（22-23高二上·广东清远·月考）方程表示的曲线是（    ） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 【答案】D 【解析】方程可化为， 因为，所以或， 若时，则方程为； 若时，则方程为，故选：D 3．（22-23高二上·四川成都·月考）方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【答案】C 【解析】由方程， 得:或且满足， 即或且满足， 所以方程表示半个圆和一条线段，故选：C 4．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）由曲线围成的图形的面积为 . 【答案】 【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线可化为：， 表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 则第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为. 题型四 由方程研究曲线的性质 1．已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 【答案】B 【解析】曲线的方程为， 将换为不变，原方程仍为，所以曲线关于轴对称； 将换为不变，原方程变为，所以曲线不关于轴对称； 将换为换为，原方程变为，所以曲线不关于原点对称； 将换为换为，原方程变为， 所以曲线不关于直线对称．故选:B． 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）（多选）已知曲线，则（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．为的一个顶点 【答案】ACD 【解析】A：用和替换方程中的和，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确； B：用替换方程中的y，方程变为， 与原方程不同，故E不关于轴对称，故B错误； C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变， 故E关于直线对称，故C正确； D：用替换y，同时用替换x，方程不变，故E关于直线对称， 联立，解得或, 由顶点的定义知，是E的一个顶点，故D正确.故选：ACD. 3．（23-24高二上·福建福州·期中）（多选）关于曲线，给出下列四个命题：（    ） ①曲线关于轴对称；②曲线关于直线对称； ③曲线关于原点对称；④曲线所围成的区域面积大于6 其中正确的为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【解析】曲线中， 将用代替，可得，即， 则曲线关于轴对称，故①正确； 将用代替，用代替，可得，即， 则曲线关于对称，故②正确； 将用代替，用代替，可得，即， 则曲线关于原点对称，故③正确； 当时，， 即为， 表示圆心为，半径为的圆的一部分， 其面积为， 结合对称性，可知曲线所围成的区域面积为，故④错误； 故选：ABC. 4．（23-24高二上·广西河池·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的纵坐标的取值范围为 D．直线与曲线C有且仅有两个公共点 【答案】BCD 【解析】对于选项A，设曲线上任一点为，则有， 点关于x轴对称的点为，代入， 得到，不一定成立，所以选项A错误； 对于选项B，设曲线上任一点为，则有， 点关于原点对称的点为， 代入，得到，成立，所以选项B正确； 对于选项C，由，得到，看成关于的方程， 则有，整理得到，解得，所以选项C正确； 对于选项D，由，消得到，解得或， 当时，，当时，， 所以直线与曲线C有且仅有两个公共点或，所以选项D正确，故选：BCD. 题型五 两曲线交点问题 1．曲线与交点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】当时，将代入：关于x的方程有两个不等正根， 所以两个曲线有两个交点； 当时，：，无解； 当时，：，， 关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点； 当时，：，， 关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点； 综上所述：两个曲线交点个数为4.故选：D 2．（多选）给定下列四条曲线中，与直线仅有一个公共点的曲线是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由，得， 因为，所以方程组只有一组解， 所以直线与曲线只有一个公共点，所以A正确， 对于B，将直线方程代入中整理得， 方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以B正确， 对于C，将直线方程代入中整理得， 因为，所以方程组只有一组解， 所以直线与曲线只有一个公共点，所以C正确， 对于D，将直线方程代入中整理得， 因为，所以方程组有两组解， 所以直线与曲线有两个交点，所以D错误，故选：ABC 3．（22-23高二上·辽宁沈阳·月考）求通过圆与的交点，并且过点的圆的方程． 【答案】. 【解析】两圆方程联立得：，或， 设经过点，的圆的方程为：， 所以有：， 所以经过这三点的圆的方程为：. 4．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得时，，时，， 所以曲线：与曲线：必交于点， 为了使曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点， 则将代入方程，得，当时，满足题意， 因为曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点， 所以，且是方程的根， 所以，即时，方程两根异号，满足题意， 综上，的取值范围为，故选：C 题型六 求平面轨迹方程 1．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的中点为， 因为，则， 因为点P在曲线上， 所以将代入曲线， 则，即， 所以的中点的轨迹方程是.故选：C. 2．（23-24高二上·安徽合肥·月考）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大， 则， 当时，则有，即， 等式两边平方整理可得； 当时，则有，即， 等式两边平方可得. 综上所述，点的轨迹方程为或.故选：D. 3．（23-24高二上·四川遂宁·月考）已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是 【答案】直线去掉点 【解析】由题意不妨设，则，整理得， 所以点M的轨迹是直线去掉点. 故答案为：直线去掉点. 4．（23-24高二上·广东汕头·月考）（1）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程； （2）在平面直角坐标系中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C. 求C的方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）曲线与坐标轴的交点为，， 由圆的几何性质，可设圆的圆心坐标为， 则有， 解得，则圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）点P的坐标为，到轴的距离为，则， 故有，化简得， 当时，有；当时，有， 所以C的方程为或. 1．（23-24高二上·广东深圳·月考）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（    ） A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥ 【答案】B 【解析】对于①，将代入曲线方程得：， 曲线关于点对称，①正确； 对于②，将代入曲线方程得：， 曲线关于直线轴对称，②正确； 对于③，将代入曲线方程得：，与曲线方程不同， 曲线不关于直线对称，③错误； 对于④⑤⑥，由知：，，则曲线为封闭图形； 在曲线上取一点， 当时，，，即点在圆外， 曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，⑤正确，④⑥错误.故选：B. 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知曲线方程为，给出下列命题： ①曲线关于原点对称； ②曲线上任意两点的距离最大值为； ③曲线上的点的横坐标取值范围； ④曲线上的点构成的图形面积为16. 则所有真命题是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】由曲线方程为， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即， 所以曲线的图象，如图所示， 对于①中，用代入方程中的，方程不变，所以曲线关于原点对称，所以正确； 对于②中，令，解得，可得曲线上任意两点的距离最大值为，所以不正确； 对于③中，结合图象，可得曲线上的点的横坐标取值范围，所以正确； 对于④中，曲线上的点构成的图形的面积为，所以正确.故选：C. 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）关于曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C与直线有四个交点 C．曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于 D．曲线C不是封闭图形，且它与圆无公共点 【答案】ABD 【解析】A.将方程中的分别代换为得 所以曲线关于原点对称.故A正确. B.由 得，此方程最多有四个根， 设， 因为，，，， 所以方程有四个根， 所以曲线C与直线有四个交点，故B正确. C. 由可得即， 同理可得即或同时有或，故曲线不是封闭图形.故C不正确. D. 由C知曲线不是封闭图形，由得， 令则上式转化为，可知方程组无解， 因此曲线与圆无公共点,故D正确.故选：ABD 4．（23-24高二上·吉林长春·月考）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（    ）    A．曲线有两条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D．四叶草面积小于 【答案】BCD 【解析】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 取等号时，所以最大距离为，正确； 对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确； 对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确.故选：BCD. 5．（23-24高二上·湖北·月考）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】在双曲线：上任取一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点 ，即，在曲线上设点， 则有反求出，得： 因点在双曲线：上，故得： ，整理得：，故曲线的方程为 6．（23-24高二上·北京·期中）已知曲线C：，下列说法正确的有 ． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 【答案】①③④ 【解析】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：①③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$