3.1.2 函数的单调性（讲义，8大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

3.1.2 函数的单调性 1、理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性； 2、会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间； 3、理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值； 4、理解斜率的含义及平均变化率的概念，掌握判断函数单调性的充要条件． 知识点 1 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点 2 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 知识点3 函数的平均变化率 1、直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在． 【注意】（1）直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度；（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2、平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间或上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． 【常用方法技巧】 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 4、利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 5、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 题型一 对函数单调性定义的理解 【例1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式1-1】（23-24高一上·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【变式1-2】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（多选）下列关于单调性的表述中，错误的是（   ） A．，若，则函数在区间上单调递增 B．且，若，则函数在区间上单调递增 C．且，若，则函数在区间上单调递增 D．，若，则函数在区间上单调递增 【变式1-3】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（多选）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 题型二 定义法讨论函数的单调性 【例2】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【变式2-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数（，），且，. (1)求，； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【变式2-2】（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【变式2-3】（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知定义在上的函数满足，且时，． (1)求的值； (2)若，求的值． (3)若当时，有恒成立，证明在上单调递减． 题型三 求函数的单调性或单调区间 【例3】（23-24高一上·河南唐河·月考）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·广东肇庆·月考）函数的增区间为 ． 【变式3-2】（22-23高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高三上·江苏南通·月考）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 题型四 利用函数的单调性求参数 【例4】（23-24高一上·江苏南京·月考）“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4-1】（23-24高一上·北京昌平·期中）已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·山东聊城·期中）若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高一上·安徽合肥·期中）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型五 利用函数的单调性比较大小 【例5】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·河北邢台·月考）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·河南新乡·月考）已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 利用函数的单调性解不等式 【例6】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23高一下·安徽阜阳·月考）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 题型七 利用函数的单调性求最值或值域 【例7】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数在上的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式7-1】（23-24高一上·重庆·月考）设函数f（x）= x -+ 1在[1，4]上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）用表示两个数中的较小值，设 ，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型八 根据函数的最值或值域求参数 【例8】（23-24高一上·福建莆田·期中）函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23高一上·北京海淀·月考）函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 函数的单调性 1、理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性； 2、会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间； 3、理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值； 4、理解斜率的含义及平均变化率的概念，掌握判断函数单调性的充要条件． 知识点 1 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点 2 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 知识点3 函数的平均变化率 1、直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在． 【注意】（1）直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度；（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2、平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间或上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． 【常用方法技巧】 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 4、利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 5、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 题型一 对函数单调性定义的理解 【例1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件.故选:B 【变式1-1】（23-24高一上·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【答案】B 【解析】若函数在区间是增函数， 即任意，使得且， 则若函数在区间不是增函数， 即存在，使得且.故选：B 【变式1-2】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（多选）下列关于单调性的表述中，错误的是（   ） A．，若，则函数在区间上单调递增 B．且，若，则函数在区间上单调递增 C．且，若，则函数在区间上单调递增 D．，若，则函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】对于A：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故错误； 对于：不满足两个自变量的任意性，故B错误； 对于C：与单调递增的定义吻合，故C正确； 对于：，得，或， 则函数在区间上单调递增，故D正确，故选:. 【变式1-3】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（多选）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 【答案】AB 【解析】对于选项A：由题意可得当时，都有恒成立， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于选项B：因为，且时，恒成立， 可得或恒成立， 即或恒成立， 所以函数在上是增函数，故B正确； 对于选项C：不能，例如时， ，且， 但函数在上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：在内单调递增， 例如如图：    满足在内单调递增，但在内不单调，故D错误；故选：AB. 题型二 定义法讨论函数的单调性 【例2】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)；(2)在区间上递增，证明见解析. 【解析】（1）由题设，则，故； （2）在区间上递增，证明如下： 令，则， 又，则，且， 所以，即在区间上递增. 【变式2-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数（，），且，. (1)求，； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析 【解析】（1）因为，，所以解得 （2）由（1）知：，在上单调递减， 证明如下：在上任取，且， ， ∵，∴，，， ∴，∴，所以在上单调递减. 【变式2-2】（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【解析】任取，令， 则， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增.故选：B. 【变式2-3】（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知定义在上的函数满足，且时，． (1)求的值； (2)若，求的值． (3)若当时，有恒成立，证明在上单调递减． 【答案】(1)0；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）令有，有. （2）令有. （3）有，即， 设，有，即， 而，有，故， 在上单调递减. 题型三 求函数的单调性或单调区间 【例3】（23-24高一上·河南唐河·月考）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为．故选：C. 【变式3-1】（23-24高一上·广东肇庆·月考）函数的增区间为 ． 【答案】 【解析】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 【变式3-2】（22-23高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断.故选：B. 【变式3-3】（23-24高三上·江苏南通·月考）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】D 【解析】不妨设，满足题意， 此时在单调递增，故A选项错误； 在单调递增，故B选项错误； 在单调递增，故C选项错误； 对于D选项，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以有， 又在单调递减，且当时，有， 所以由复合函数单调性可知，在上分别单调递增、单调递减， 不失一般性，不妨设，则，， 所以在单调递减，故D选项正确.故选：D. 题型四 利用函数的单调性求参数 【例4】（23-24高一上·江苏南京·月考）“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出； 反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出， 则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·北京昌平·期中）已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于对于任意的，且，都有， 所以在区间上单调递增， 所以.故选：B 【变式4-2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有，解得． 所以a的取值范围是.故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·山东聊城·期中）若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使在上是减函数， 需满足：，解得.故选：A. 【变式4-4】（23-24高一上·安徽合肥·期中）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上是增函数， 则需满足，解得，故选：D 题型五 利用函数的单调性比较大小 【例5】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在区间上是增函数，并且，所以， 所以D选项的正确的．故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·河北邢台·月考）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以.故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·河南新乡·月考）已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】二次函数，其图象的对称轴方程为， 而，所以，即， 当时，是单调增函数， 因为，所以，所以，即， 综上，．故选：D． 【变式5-3】已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数在区间上是增函数， 又由，可得且， 所以且，所以.故选：B. 题型六 利用函数的单调性解不等式 【例6】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得，解得，即，故选：D 【变式6-1】（22-23高一下·安徽阜阳·月考）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是定义域为的减函数，因， 故，解得，故选：C 【变式6-2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 因为对，且， 都有，即成立， 不妨设，则，故，则， 即，所以在上单调递增， 又因为，所以， 故可化为，所以由的单调性可得， 即不等式的解集为.故选：A. 【变式6-3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为，则有： 令，可得； 令，可得； 且不等式可化为：， 又因为函数为R上的单调递增函数，则， 即，解得， 所以不等式的解集为.故选：B. 题型七 利用函数的单调性求最值或值域 【例7】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数在上的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为在上单调递减， 所以当时取最小值为.故选：B． 【变式7-1】（23-24高一上·重庆·月考）设函数f（x）= x -+ 1在[1，4]上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在[1，4]上单调递增，且在[1，4]上单调递减， 根据单调性的性质可得f（x）= x -+ 1在[1，4]上单调递增， 所以由f（1）=0，f（4）=， 故值域为，故选：C 【变式7-2】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， ， ，， 函数在上单调递减， 当时，， 函数的值域为.故选：C. 【变式7-3】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）用表示两个数中的较小值，设 ，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】令，解得，故， 故当时，单调递增；当时，单调递减， 则的最大值为.故选：B. 题型八 根据函数的最值或值域求参数 【例8】（23-24高一上·福建莆田·期中）函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次函数图象的对称轴为：， 在上的值域为，，， 由图可知.故选：A. 【变式8-1】（22-23高一上·北京海淀·月考）函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，故， 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得， 故. 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得，矛盾.故选：D. 【变式8-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，， 当时，， 若函数有最小值，需或，解得.故选：B 【变式8-3】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，无最大值， 要使函数存在最大值，则且， 即，解得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$