广东省揭阳市揭东区某校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025 学年度第一学期 九年级数学科入学测试题 一、选择题 (每小题 3 分,共 30 分) 1．“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由 黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A．x2+3x+1＝x（x+3+ ） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2﹣4x+4k＝（x+2）（x﹣2）+4k D．a2﹣9＝（a﹣3）（a+3） 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 4．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示 意图，则这种正多边形地砖的边数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．若分式 的值为 0，则 x的值为（ ） A．7或﹣7 B．﹣7 C．7 D．49 6．在如图 4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到 △M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 7．如图，在△ABC中，∠APC＝116°，P为△ABC内一点，过点 P的直 线 MN分别交 AB、BC于点 M、N．若 M在 PA的垂直平分线上，N在 PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（ ） A．64° B．52° C．54° D．62° 8．如图，直线 y1＝x+b与 y2＝kx﹣1相交于点 P，点 P的横坐标为﹣1，则关于 x的不等式 x+b ＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 9．2024年 6月 2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑 者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约 21km）项目，前 12km以原计划平均 速度 vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以 0.75vkm/h的平均速度完成剩下赛程，最终 比原计划晚 15min到达目的地，则小阳前 12km的平均速度为（ ） A．9km/h B．10km/h C．12km/h D．21km/h 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点 C落在 x轴的正半轴上，点 B落在第一象限内，按以下步骤作图： ①以点 D为圆心，适当长为半径作弧，分别交 DA，DC于点 E，F； ②分别以 E，F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠ADC 内交于点 G； ③作射线 DG，交边 AB于点 H；则点 H的坐标为（ ） A．（ ，3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（ ﹣1，3） 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．分解因式：m3﹣9m＝ ． 12．如图，将一副三角板在平行四边形 ABCD中作如下摆放，设 ∠1＝30°，那么∠2＝ ． 13．已知 ＝ ，则代数式 的值是 ． 14．关于 x的方程 ＝ 无解，则 m的值是 ． 九年级数学学科入学测试题第 1页（共 6页） 九年级数学学科入学答题卷第 2页（共 6页） 15.如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，E为 CD上的一点，且 DE＝5，F为 AE的中点，若△DEF的周长为 30，则 OF的长为 ． 三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分 16、化简 ，再从﹣1，0，1，3中选择一个合适的数代入求值． 17、如图，四边形 ABCD是平行四边形．请用尺规作图法在 AB上找一点 E，使得 ∠ADE+∠C＝90°． （不写作法，保留作图痕迹） 18、已知：关于 x、y的二元一次方程组 的解满足﹣1＜x+y≤4． （1）求 k的取值范围； （2）在（1）的条件下，化简|2k+5|﹣|k﹣3|． 四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分 19、2024年 3月 14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“π日”举行了数学 游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店 了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵 60%，且花 300元购买的自动铅笔比花 400元购买的 钢笔多 10支． （1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价 20%， 而钢笔则按之前询问价格的 8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共 200支，且 购买奖品的费用没有超过 1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 20、如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图 象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题．现我们对函数 y＝|x+1|（x的取值范围为任 意实数）进行探究． （1）请将表格补充完整． （2）请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标 系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性 质： ． （3）请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数 1 2 1  xy 的 图 象 ， 并 直 接 写 出 不 等 式 11 2 1  xxy ＞ 的解集． 21、已知四边形 ABCD为平行四边形，点 M，N分别是直线 AD，BC上的点，且与点 A，B， C，D不重合． （1）请在图 1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件： ，使 得点 M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由； （2）如图 2，已知 AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四边形 AMCN为平行四边形，且 AM＝ 6，求 MN的长度． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y＝|x+1| … 3 1 0 1 2 4 … 九年级数学学科入学测试题第 3页（共 6页） 九年级数学学科入学答题卷第 4页（共 6页） 五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分 22、 23、【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍． 【推理论证】如图 1，四边形 ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）． 小应的证明：作 AE⊥BC于点 E，DF⊥BC交 BC的延长线于点 F，由四边形 ABCD是平行四 边形，容易证得△ABE≌△DCF（AAS），得到 AE＝DF，BE＝CF． 设 BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h． 在 Rt△ACE和 Rt△BDF中，AC2+BD2＝h2+b2+（2a+b）2+h2＝4a2+4ab+2b2+2h2． 在 Rt△ABE中，AB2＝a2+h2， ∴AB2+BC2＝… （1）请继续完成小应的证明； 【初步应用】 （2）如图 2，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，AB＝4，AD＝6，BD＝8， 求 OA的长； 【拓展提升】 （3）如图 3，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边 AB的三等分点，CD＝5， ， 求 AB的长． 生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经 学生会调查，得到以下信息． 信息 1 某旅游公司只有 60座客车 14辆，45座客车 25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息 2 七年级若每位老师带 40名学生，则还剩 10名学生没老师带；若每位老师带 41名学 生，则恰好完成分配． 信息 3 八年级师生如果租用 45座的客车 n辆，那么还有 30人没有座位；如果租用 60座的 客车可少租 2辆，且正好坐满． 任务 1 （1）参加此次活动的七年级师生共有 人； 任务 2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务 3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有 座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过 4800元，你能得出哪几种不同的租车方 案？请求出具体的租车方案． 九年级数学学科入学测试题第 5页（共 6页） 九年级数学学科入学答题卷第 6页（共 6页） 1 2024-2025 学年度第一学期 入学考九年级数学参考答案 一、选择题 BDCDB BBACA 二、填空题 11. m（m+3）（m﹣3） 12.75° 13.9 14. 1或 0 15. 三、解答题 16.解： ＝ ÷ ＝ • ＝﹣ • ＝﹣ ...........4 分 要使分式有意义，x+1≠0且 x﹣3≠0， 所以 x≠-1且 x≠3.........1分 取 x＝1..........1分 所以原式＝﹣ ＝2...........1分 17.解：如图，点 E即为所求． 18.解：（1）解方程组得： ∵﹣1＜x+y≤4 ∴﹣1＜2﹣k+2k﹣1≤4 解得：﹣2＜k≤3.........4分 （2）∵﹣2＜k≤3 ∴2k+5＞0，k﹣3≤0， 2 ∴|2k+5|﹣|k﹣3| ＝2k+5+k﹣3 ＝3k+2．...........3分 四、解答题 19.解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是 x元，则自钢笔的单价 是（1+60%）x元， 根据题意得： ﹣ ＝10......1分 解得：x＝5...........2分 经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意...........3分 ∴（1+60%）x＝（1+60%）×5＝8（元）........4分 答：前期电话询问时钢笔的单价是 8元，自动铅笔的单价是 5元.......5分 （2）设学校购买了 y支钢笔作为奖品，则购买了（200﹣y）支自动铅笔， 根据题意得：5×（1+20%）（200﹣y）+8×0.85y≤1250.......6分 解得：y≤ ..........7 分 又∵y为正整数 ∴y的最大值为 62........8分 答：学校最多购买了 62支钢笔作为奖品......9分 20.解：（1）2；3；(2分） （2）函数图象如图：（图象 2分） 该函数图象的一条性质为：图象关于直线 x＝﹣1 对称（答案不唯一，2分）． （3）﹣4＜x＜0．（图象 1分，解集 2分） 21. 解：（1）如图 1，添加条件 AM＝BN，四边形 ABNM为平行四边形（答案不唯一）；（画图 1分，添加 条件 2分，共 3分） 3 （2）如图 2，设 AC与 MN交于点 O， ∵四边形 AMCN为平行四边形 ∴CN＝AM＝6，OA＝OC＝AC＝3，OM＝ON ∵AC＝BC＝6 ∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AC＝CN ∴∠ACN＝∠CAB+∠ABC＝60° ∴△ACN是等边三角形 ∴AN＝CN＝6 ∴平行四边形 AMCN是菱形 ∴MN⊥AC ∴∠CON＝90° ∴ON＝ ＝ ＝3 ∴MN＝2ON＝6 （6 分） 五、解答题 22.解：（1）420...........1分 （2）根据题意得：45n+30＝60（n﹣2） 解得：n＝10 ∴60（n﹣2）＝60×（10﹣2）＝480 答：参加此次活动的八年级师生共有 480人...........4分 （3）设租用 y辆 45座客车，则租用 ＝（15﹣ y）辆 60座客车 4 根据题意得： （列不等式组 2 分） 解得： ≤y≤12........2分 又∵y，（15﹣ y）均为整数 ∴y可以为 4，8，12........1分 ∴共有 3种租车方案： 方案 1：租用 4辆 45座客车，12辆 60座客车； 方案 2：租用 8辆 45座客车，9辆 60座客车； 方案 3：租用 12辆 45座客车，6辆 60座客车.........3分 23.解：（1）证明：在 Rt△ACE和 Rt△BDF中， AC2+BD2＝a2+b2+（2а+b）2+h2＝4а2+4аb+2b2+2h2 在 Rt△ABE中，AB2＝a2+h2 ∴AB2+BC2＝а2+h2+（а+b）2＝2а2+2аb+b2+h2 ∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）...........2分 （2）∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，AC2+BD2＝2（ AB2+BC2） ∴AC2＝2（ AB2+BC2）﹣BD2＝2（42+62）﹣82＝40 ∴AC＝2 ∴OA＝OC＝ AC＝ ∴OA的长 .............5 分 （3）如图所示，以 BD为对角线作平行四边形 BCDF，连接 EF，以 AE为对角线作平 行四边形 ACEG，连接 DG 则 CF＝2CE＝4 ∵D，E是斜边 AB的三等分点 BD＝ AB， 设 AB＝3x，则 BD＝2x， 5 由（1）可得 CF2+DB2＝2（ CD2+CB2） ∴（4 ）2+（2x）2＝2（52+CB2） 即 CB2＝15+2x2 同理可得 AE2+CG2＝2（AC2+CE2） ∴102+（2x）2＝2（（2 ）2+AC2） 即 AC2＝2x2+30 又∵AC2+BC2＝AB2＝9x2 ∴102+（2x）2＝2（（2 ）2+AC2） 即 AC2＝2x2+30 又∵AC2+BC2＝AB2＝9x2 ∴15+2x2+2x2+30＝9x2 解得：x＝3，x＝﹣3（舍去） ∴AB＝3x＝9 ∴AB的长为 9..........7分