第29章 反比例函数（热考十二大题型）数学人教版五四制九年级上册

第29章《反比例函数》 分层练习 考查题型一 反比例函数的定义 1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据定义解题即可． 【详解】解：A． 是正比例函数，故本选项不符合题意． B．   此项变量是的反比例函数，故本选项不符合题意． C． 可变形为是反比例函数，故本选项符合题意． D． 是正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义：“（为常数，）的函数称为反比例函数”进行判断即可． 【详解】解：A、为正比例函数，故本选项不符合题意； B、，是与的反比例函数，故本选项符合题意； C、是与不是反比例函数关系，故本选项不符合题意； D、不符合反比例函数的定义，故本选项不符合题意， 故选：B． 3．（2023上·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习）下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，解析式符合的形式为反比例函数，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； B、符合反比例函数的定义，故是反比例函数，符合题意； C、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； D、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 4．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数． 【详解】、是正比例函数，不是反比例函数，此选项不符合题意； 、是反比例函数，此选项符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，此选项不符合题意； 、是二次函数，不是反比例函数，此选项不符合题意； 故选：． 考查题型二 根据反比例函数的定义求参数 1．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）若函数是反比例函数，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用反比例函数的定义求参数，根据“解析式形如或的函数是反比例函数”求解即可，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：2． 2．（2023下·新疆喀什·九年级新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）若函数是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义知，且，据此可以求得的值． 【详解】解：是关于的反比例函数， ，且， ，且， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 3．（2023上·广东惠州·九年级校考开学考试）若函数是反比例函数，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的三种表达式：． 4．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考开学考试）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据函数是反比例函数，可知且，综合条件即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 考查题型三 求反比例函数值 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值．把把点代入，即可求解． 【详解】解：把点代入，得： ． 故答案为： 2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）在反比例函数中，当时函数的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查求反比例函数值，关键是由已知函数解析式和自变量的值求相应的函数值． 【详解】解：当时，， 故答案为：4． 3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）若反比例函数的图像经过点和点，则 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：把点代入得：， ∴， 把点代入得：， 故答案为：． 4．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键． 考查题型四 判定反比例函数图象 1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数及反比例函数图像与性质，解题关键是结合函数解析式及选项图像判断m，n的取值范围是否相符．先根据一次函数图像判断m，n的取值范围，确定的取值范围后，即可判断反比例函数图像中的m，n的取值范围是否一致，从而判断选项是否正确． 【详解】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误； B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误； C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确； D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误． 故选：C． 2．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一象限和第三象限；当时，图象位于第二象限和第四象限．根据反比例函数的图象和性质即可进行解答． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限， 故选：B． 3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：当时，经过第一、三象限，经过第二、三、四象限， 故A、C不符合题意； 当时，经过第二、四象限，经过第一、二、三、象限， 故B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质． 4．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号． 考查题型五 求反比例函数的解析式 1．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得，， 故此反比例函数的解析式为， 故答案为：． 2．（2023上·山东威海·九年级统考期中）若函数的图象过点，则此函数图象位于第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出的值，然后根据反比例函数的性质判断图象的位置． 【详解】解：根据题意得， 所以反比例函数得图象分布在第一、三象限． 故答案为：一、三． 3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）已知：反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，需明确函数图象上的点满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式中即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 将点代入中得： ，解得：， 故答案为：． 4．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知反比例函数的图象经过点，则 k 的值为 ． 【答案】 【分析】把代入反比例函数，求出k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 考查题型六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称． 【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴交点坐标为 ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 2．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解. 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 3．（2021上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据中心对称的性质，求得另一个交点B的坐标． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识． 4．（2022上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可． 【详解】解：双曲线与直线交于，两点，直线经过原点， 、两点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键． 考查题型七 判断反比例函数的增减性 1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：， 在同一象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 2．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴令，则； 令，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键． 3．（2021·广东广州·统考中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴点、是反比例函数上的两个点， 又∵， ∴， 故填：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解． 4．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ，且这两点都在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 考查题型八 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在同一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大． 2．（2021·湖南株洲·统考中考真题）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是 ． 【答案】k<0 【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k的取值范围即可． 【详解】解：因为当时，， 说明A、B两点同时位于第一或第四象限， ∵当时，均有， ∴在该图像上，y随x的增大而增大， ∴A、B两点同时位于第四象限， 所以k<0， 故答案为：k<0． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法． 3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】m＜3 【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大， ∴m-3＜0，即：m＜3． 故答案是：m＜3． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则k＜0，是解题的关键． 4．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 考查题型九 比例系数K与面积问题 1．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ∵点A在函数的图象上， ∴， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（2023上·北京石景山·九年级北京市第九中学校考期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是    【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点 ∴的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 4．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，点A、C在反比例函数的图象上，线段经过原点O，点B在反比例函数的图象上，若轴，连接，则 ．    【答案】7 【分析】连接，设交y轴于点D，根据k的几何意义得到即，再根据中线分出的三角形的面积相等解题即可． 【详解】解：连接，设交y轴于点D，    ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴， ∴，， ∴， 又∵线段经过原点O， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查k的几何意义，三角形有关中线的面积，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 考查题型十 一次函数与反比例函数的交点问题 1．（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． (1)直接写出一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点C的坐标，再将、代入，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象法，即可得到答案； （3）先求出点的坐标，得到，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数， ， ， 将、代入，得： ，解得：， 一次函数表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交点、 由图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）解：一次函数的图象分别与y轴交于点B， 令，则； ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．    (1)求m和k的值； (2)求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）把分别代入和即可得到答案，熟练掌握待定系数法是解题的关键； （2）把代入得到，解得，即可得到点C的坐标，再根据图象的位置关系和交点的横坐标即可得到答案，数形结合是解题的关键； （3）求出直线与x轴、y轴的交点，利用即可得到答案，数形结合和准确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得到， ， ∴， 把代入得到， ， ∴； （2）由（1）得到，， 把代入得到， 解得， ∴点， 由图象可知，当时，， 即不等式的解集为； （3）设直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，    当时，， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点D的坐标是， ∴， ∴， 即的面积为． 3．（2023上·山东淄博·九年级淄博市博山区第一中学校考期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求的值和反比例函数解析式； (2)求出点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定函数表达式是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解； （2）联立两个函数表达式即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入两个函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； （2）联立两个函数表达式得：， 解得：或， 即点； （3）观察函数图象知，当时，的取值范围为：或． 4．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．    (1)求一次函数的表达式； (2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点 和 代入反比例函数的解析式，求得的值，确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 值． 【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点， ∴，， 解得，， ∴，， ∵，在一次函数（）的图像上， ∴，解得， 所以，一次函数的表达式是； （2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得， 联立， 消去y可得， 整理可得， 因为只有一个交点， 所以， 解得， 所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键． 考查题型十一 反比例函数与几何综合 1．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可； ()利用待定系数法求解； ()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积； 此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴点， 故答案为：； （2）∵，的面积为， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵的图象过， ∴， ∵若的纵坐标为， ∴点， 设直线解析式为，与轴交于点，如图， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴点， ∴， ∴． 2．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为y轴上一动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据三角形面积公式得到，即可求得P的坐标． 此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A， ∴ ∴反比例函数解析式为； （2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得 故观察图象，当时，x的取值范围是或； （3）∵一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 3．（2023上·河北沧州·九年级校联考期中）如图1，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求，的值． (2)如图2，直线过点，与反比例函数图像交于点，与轴交于点，． ①连接，，求的面积． ②利用图像信息，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)①，②． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，等腰三角形的定义，中点坐标公式，数形结合是本题的解题关键． （1）将点的坐标代入求得，再把点坐标代入求出； （2）①设，，利用中点坐标公式求出，，的坐标，进而求得的面积； ②根据图象信息可知：． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 将代入， ∴． （2）解：①∵，，设，， 由中点公式知：，， ∴解得， 将代入，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∴的面积； ②根据图象信息可知：． 4．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）已知等边，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．    (1)求B点坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求得B的坐标； （2）求出M的坐标，代入即可求得k的值； （3）作轴于C，轴于D，得到，求出的解析式，再联立方程组求出点N的坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）∵等边三角形，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限， 作轴， ∵ ∴， ∴， ∴B；    （2）∵M是的中点，， ∴M， 代入得到 ∴反比例函数的解析式为； （3）作轴于C，轴于D，得到， ∵B， ∴设直线为，代入解得， ∴直线为y=x， ∴， 解得或（舍去）， ∴N， ∴．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得M、 N的坐标是解题的关键． 考查题型十二 实际问题与反比例函数 1．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)4； (2)水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ； (3)一个加热周期内水温不低于的时间为． 【分析】依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度即即可求解； 结合中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； 分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解：开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4． （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是． （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 2．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．    (1)求电流关于电阻的函数关系式； (2)当时，求电阻的值． 【答案】(1)； (2)电阻R的值为3Ω． 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系， ∴可设， ∵当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得Ω， 答：电阻R的值为3Ω． 3．（2023上·湖南永州·九年级统考期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：    (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ 【答案】(1) (2)从消毒开始，第2分钟到第分钟消毒人员不能停留在教室里 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法先求药物燃烧时与时间的函数表达式，再用待定系数法求药物燃烧完后与时间的函数表达式即可； （2）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 当时，， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 解得：； 对于，当时， 解得：， ∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里． 4．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示. (1)求P关于S的函数关系式. (2)当时，物体所受的压强是多少. 【答案】(1) (2)400 【详解】（1）解：设， 由图象可知：点在函数图象上， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：把代入得：； 答：当时，物体所受的压强是． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，已知自变量的值求函数值，从函数图象中获取信息，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 1．（2021上·湖南益阳·九年级校联考期中）如下图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． (3)如下图，平移直线交双曲线于点，交直线于点，连接，并延长交于第一象限内一点，若，求平移后的直线的解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)直线的解析式为 【分析】（1）作轴于．根据解析式确定，，由三角形面积可求，，代入反比例函数解析式求解； （2）作轴于，轴于，设．由，可得，于是，根据绝对值性质分情况求解，得的坐标为或； （3）可求证，于是，得证垂直平分，于是关于直线对称，点在上，可求，待定系数法确定的解析式为． 【详解】（1）解：如图1中，作轴于， ， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，解得， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴； （2）解：如图2中，作轴于，轴于， 设， ， ，， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或3（舍去）． 综上所述，满足条件的点的坐标为或； （3）解：如图3中， ， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴垂直平分， 关于直线对称， ∵点在上， ∴点也在上， 又∵点Q在直线上， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、三角形的面积、一次函数的应用、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线等知识， 解答的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上． (1)若点的坐标是，求点的坐标； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点F作轴于G，设、交点为M，根据正方形和平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质证明得到，，再根据点在反比例函数的图象上的点的坐标特征求得，，进而求得，求得即可求解； （2）过F作轴于H，先证明得到，，再证明得到， 设，则，，则，代入中求解a值即可 ． 【详解】（1）解：过点F作轴于G，设、交点为M，如图，则 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标是， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上，四边形是正方形， ∴，则， ∴，， ∴点F的纵坐标为， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴当时，，则， ∴，则， ∴； （2）解：过F作轴于H，如图，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，即， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴，解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、反比例函数比例系数k的几何意义、正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等和数形结合思想是解答的关键． 3．（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，函数的图象过和两点． (1)求n和k的值． (2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）将和两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线得解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图象过和两点， ，解得：； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， 则，， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿x轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 直线的解析式为；    （3）解：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 直线交x轴于点D，交y轴于点E， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ；    ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ；    ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点F，使得为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．    【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．（2021上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，直线经过点，且垂直于x轴，直线经过点，与交于点C，．点M是线段上一点，直线轴，交于点N，D是的中点，双曲线经过点D，与交于点E． (1)求的解析式； (2)当点M是中点时，求点E的坐标； (3)当时，求m的值． (4)在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)15 (4)或或 【分析】（1）根据三角形面积公式求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解析式； （2）根据题意求出点M的坐标，进而求得点N的坐标，即可求出点D的坐标，根据待定系数法即可求得m，即可求得点E的坐标； （3）把代入的解析式求出n的值，从而得到D的坐标，根据待定系数法即可求得m； （4）分，和三种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，即， 解得， ， 点C在第一象限， 点C的坐标为， 将，分别代入， 得：， 解得 ， 的解析式为； （2）解：，， 当点M是中点时，， 直线轴，交于点N， 点N的纵坐标是2， 将代入，得， 解得， 点N的坐标是， D是的中点，， 点D的坐标是， 将代入，得， 双曲线的解析式为， 当时，， 点E的坐标为， （3）解：设，当时，，， 把代入，得， ， 将代入， 得； （4）解：当时，作于点H，如下图所示： ，， ， ， 点P的坐标为； 当时，如下图所示： ，， ， ， ， 点P的坐标为； 当时，如下图所示： 设点P的坐标为，则，， ， 在中，， ， 解得， 点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或或． 【点睛】此题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，等腰三角形的存在性问题，勾股定理，熟练运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29章《反比例函数》 分层练习 考查题型一 反比例函数的定义 1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习）下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 考查题型二 根据反比例函数的定义求参数 1．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）若函数是反比例函数，则m的值是 ． 2．（2023下·新疆喀什·九年级新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）若函数是关于的反比例函数，则 ． 3．（2023上·广东惠州·九年级校考开学考试）若函数是反比例函数，则的值等于 ． ． 4．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考开学考试）若函数是反比例函数，则 ． 考查题型三 求反比例函数值 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）在反比例函数中，当时函数的值为 ． 3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）若反比例函数的图像经过点和点，则 4．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 考查题型四 判定反比例函数图象 1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（    ） A．  B．  C．   D．   4．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（    ）    A．  B．  C．   D．   考查题型五 求反比例函数的解析式 1．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的解析式为 ． 2．（2023上·山东威海·九年级统考期中）若函数的图象过点，则此函数图象位于第 象限． 3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）已知：反比例函数的图象经过点，则 ． 4．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知反比例函数的图象经过点，则 k 的值为 ． 考查题型六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 2．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 3．（2021上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为 ． 4．（2022上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 考查题型七 判断反比例函数的增减性 1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 2．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 3．（2021·广东广州·统考中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 4．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 考查题型八 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 2．（2021·湖南株洲·统考中考真题）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是 ． 3．（2021·湖南郴州·统考中考真题）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是 ． 4．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是 ． 考查题型九 比例系数K与面积问题 1．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ． 3．（2023上·北京石景山·九年级北京市第九中学校考期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是    4．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，点A、C在反比例函数的图象上，线段经过原点O，点B在反比例函数的图象上，若轴，连接，则 ．    考查题型十 一次函数与反比例函数的交点问题 1．（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． (1)直接写出一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)求的面积． 2．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．    (1)求m和k的值； (2)求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 3．（2023上·山东淄博·九年级淄博市博山区第一中学校考期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求的值和反比例函数解析式； (2)求出点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 4．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．    (1)求一次函数的表达式； (2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值． 考查题型十一 反比例函数与几何综合 1．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 2．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为y轴上一动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 3．（2023上·河北沧州·九年级校联考期中）如图1，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求，的值． (2)如图2，直线过点，与反比例函数图像交于点，与轴交于点，． ①连接，，求的面积． ②利用图像信息，直接写出不等式的解集． 4．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）已知等边，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．    (1)求B点坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求的面积． 考查题型十二 实际问题与反比例函数 1．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 2．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．    (1)求电流关于电阻的函数关系式； (2)当时，求电阻的值． 3．（2023上·湖南永州·九年级统考期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：    (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ 4．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示. (1)求P关于S的函数关系式. (2)当时，物体所受的压强是多少. 1．（2021上·湖南益阳·九年级校联考期中）如下图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． (1)求双曲线的解析式． (2)已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． (3)如下图，平移直线交双曲线于点，交直线于点，连接，并延长交于第一象限内一点，若，求平移后的直线的解析式． 2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上． (1)若点的坐标是，求点的坐标； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长． 3．（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，函数的图象过和两点． (1)求n和k的值． (2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2021上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，直线经过点，且垂直于x轴，直线经过点，与交于点C，．点M是线段上一点，直线轴，交于点N，D是的中点，双曲线经过点D，与交于点E． (1)求的解析式； (2)当点M是中点时，求点E的坐标； (3)当时，求m的值． (4)在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$