29.1.2 反比例函数的图象和性质 重难点专项练习（十大题型）数学人教版五四制九年级上册

29.1.2《反比例函数的图象和性质》 分层练习 考查题型一 根据反比例函数的图象判断解析式 1．（2023下·云南德宏·九年级统考期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023下·广东河源·九年级校考开学考试）函数 的图象如图所示，若，则关于的函数图象可能为（　　）    A．  B．   C．   D．   3．（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 4．（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图所示，其函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 考查题型二 判断反比例函数所在象限 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2023上·湖南株洲·九年级校考期中）反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3．（2023上·山东泰安·九年级新泰市实验中学校考阶段练习）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象位于(   ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若反比例函数的图像经过点，则反比例函数的图像在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 考查题型三 根据反比例函数的图象分布求参数范围 1．（2023上·安徽六安·九年级校考期中）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 2．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如果反比例函数（m是常数）的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022上·湖南永州·九年级校考阶段练习）若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D．任意实数 4．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 考查题型四 判断反比例函数的增减性 1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）若点、、都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2023上·江苏南通·九年级校考期中）若点，，在双曲线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考查题型五 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）在反比例函数的图象上有两点、，当时，有，则的取值范围是 ． 2．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）对于双曲线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 3．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是 ． 4．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 考查题型六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 2．（2021上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为 ． 3．（2022上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 4．（2022上·山东济南·九年级统考期中）直线与双曲线的一个交点坐标为则另一个交点的坐标为 ． 考查题型七 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ． 2．（2023上·安徽合肥·九年级期中）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作垂直于轴，，在轴上，，则平行四边形的面积是    3．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂分别为点D，E，当矩形与的面积相等时，k的值为 ．    4．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．    考查题型八 已知图形的面积求解析式 1．（2023上·广西崇左·九年级统考期中）如图点是反比例函数的图象上的一点，过作轴，垂足为．已知面积为3，则这个反比例函数的关系式为 ． 2．（2023上·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为 ．    3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为 ．    4．（2023上·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，P是反比例函数图象上一点，过P作x轴的垂线，若，则反比例函数的表达式为 ．    考查题型九 一次函数与反比例函数的交点问题 1．（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线轴、轴分别交于点、，且，的面积为2，则的值为 ．    2．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于A，C两点，轴于B，轴于D，则四边形的面积为 ．    3．（2022下·北京西城·九年级北京十四中校考阶段练习）反比例函数与一次函数的图象有一个交点，则k的值为 ． 4．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，则k＝ ． 考查题型十 反比例函数与几何问题 1．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 2．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）如图，一次函数是反比例函数图象上的两点，点的坐标为，点的坐标为，线段的延长线交轴于点．    (1)求的值和该反比例函数的函数关系式． (2)求的面积． 4．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）已知：如图是反比例函数图象的一支，    (1)求的取值范围； (2)若该函数图象上有两点，，则______（填“”“”或“”），并求出与的关系式； (3)若一次函数的图象与该反比例函数图象，交于点，与轴交于点，连接； ①求出、的值； ②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点，使得的面积等于的面积的一半，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 1．（2023·浙江杭州·校考三模）已知反比例函数（k是常数，）与一次函数图象有一个交点的横坐标是． (1)求k的值； (2)求另一个交点坐标； (3)直接写出时x的取值范围． 2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．    (1)求，的值； (2)当时，求出线段与的长度； (3)直接写出当时，的面积的最大值﹒ 4．（2023·辽宁大连·统考一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 29.1.2《反比例函数的图象和性质》 分层练习 考查题型一 根据反比例函数的图象判断解析式 1．（2023下·云南德宏·九年级统考期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 2．（2023下·广东河源·九年级校考开学考试）函数 的图象如图所示，若，则关于的函数图象可能为（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式以及，即可找出关于的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出，结合的取值范围即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， 故， ∴关于的函数图象是在第一象限内，且不经过原点的正比例函数图象， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出关于的函数解析式． 3．（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 4．（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图所示，其函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ， 可能是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 考查题型二 判断反比例函数所在象限 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，根据题意，得，选择即可，熟练掌握图象分布的条件是解题的关键． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故图象分布在第二、四象限， 故选C． 2．（2023上·湖南株洲·九年级校考期中）反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据即可求解． 【详解】解：，故图象在第二、四象限． 故选：D． 3．（2023上·山东泰安·九年级新泰市实验中学校考阶段练习）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象位于(   ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限． 【详解】解：将点代入反比例函数得， ； 故函数在第一、三象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于该反比例函数系数． 4．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若反比例函数的图像经过点，则反比例函数的图像在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出的取值范围，再判断出函数所在的象限即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴该反比例函数的图像在第二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是理解所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于该反比例函数系数． 考查题型三 根据反比例函数的图象分布求参数范围 1．（2023上·安徽六安·九年级校考期中）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， 解得． 故选A． 2．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如果反比例函数（m是常数）的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限，即得出，解之即得出答案． 【详解】解：∵反比例函数（m是常数）的图象在第一、三象限， ∴， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．解题的关键是掌握反比例函数，当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 3．（2022上·湖南永州·九年级校考阶段练习）若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】由题意根据反比例函数的性质即可确定的符号，进行计算从而求解． 【详解】解：因为反比例函数的图象在二、四象限， 所以，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，注意掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在一、三象限；当时，反比例函数图象在第二、四象限内． 4．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数图象经过第二象限，得出，求出范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二象限， ， 得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的性质，列出关于的不等式，是解题的关键． 考查题型四 判断反比例函数的增减性 1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，理解反比例函数图象的性质，掌握图象的增减性是解题的关键． 根据可得图象所在象限，再根据图象的增减性即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限，随的增大而增大， ∴当时，；当时，； ∴，则；，则， ∴， 故选：． 2．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）若点、、都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，，判定图像分布在一，三象限，且横坐标、纵坐标符号相同，在同一象限内，y随x的增大而减小，后比较大小即可，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】根据题意，， 图像分布在一，三象限，且横坐标、纵坐标符号相同，在同一象限内，y随x的增大而减小， ∴，， ∴， 故选：． 4．（2023上·江苏南通·九年级校考期中）若点，，在双曲线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据得到双曲线的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，再根据点所在的象限即可得到，，的大小关系，熟练掌握双曲线的图象和性质是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大， ∵点，，在双曲线上，且位于第四象限，且， ∴， 故选：B 考查题型五 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）在反比例函数的图象上有两点、，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：时，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，解题的关键是根据题意判断出图象所在象限． 2．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）对于双曲线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据当时，随的增大而增大，得到，求解即可． 【详解】∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 4．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 考查题型六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解. 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 2．（2021上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据中心对称的性质，求得另一个交点B的坐标． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识． 3．（2022上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可． 【详解】解：双曲线与直线交于，两点，直线经过原点， 、两点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键． 4．（2022上·山东济南·九年级统考期中）直线与双曲线的一个交点坐标为则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标为 ∴解得 ∴直线与双曲线的一个交点坐标为 ∴另一交点的坐标是 故答案是： 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握“反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称”是关键． 考查题型七 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ∵点A在函数的图象上， ∴， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：5． 2．（2023上·安徽合肥·九年级期中）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作垂直于轴，，在轴上，，则平行四边形的面积是    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义就是曲线上任意一点作轴、轴的垂线，它们与轴、轴所围成的矩形面积为常数是解题的关键．由于点是反比例函数图像上一点，可以直接得到点的坐标，由此可以计算出平行四边形的面积． 【详解】解：设点坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点坐标为，且点坐标为， ， 故答案为． 3．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂分别为点D，E，当矩形与的面积相等时，k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，的面积的计算是解题的关键． 【详解】一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B， 令，则，令，则， ∴点A、B的坐标分别为， ∴的面积， 又∵矩形的面积为k， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：． 4．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义；通过反比例函数与一次函数交点关于原点成中心对称，得到与相等，得到与面积相等，再通过反比例函数的几何意义得到的面积等于，即可得到结果． 【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点， 、两点关于原点对称， ， ， 又是反比例函数上的点，且轴于点， 的面积， 的面积 故答案为：． 考查题型八 已知图形的面积求解析式 1．（2023上·广西崇左·九年级统考期中）如图点是反比例函数的图象上的一点，过作轴，垂足为．已知面积为3，则这个反比例函数的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查已知图形面积，求反比例函数的解析式．根据值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：面积为， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴， ∴解析式为：； 故答案为：． 2．（2023上·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，首先根据反比例函数中k的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出k的值． 【详解】解：由反比例函数中k的几何意义得：，由反比例函数的对称性可知：， ∴， ∴， 反比例函数图象在一、三象限， ， ． 故答案为：3． 3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的综合问题，理解k的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称可知，即可得出，再根据k的几何意义得，最后根据图象的位置得出答案． 【详解】∵反比例函数和正比例函数的图象相交于点A，B， ∴这两个点关于原点对称， ∴， ∴， ∴． ∵反比例函数图象位于第一，三象限， 可知， ∴， ∴反比例函数关系式为． 故答案为：． 4．（2023上·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，P是反比例函数图象上一点，过P作x轴的垂线，若，则反比例函数的表达式为 ．    【答案】 【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积是个定值，即，从而可得出的值，即能得出函数的解析式． 【详解】解：由题意得：， ， 又函数图象在第二、四象限， ． 则该双曲线的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，属于一般性题目，解答本题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积是个定值，即． 考查题型九 一次函数与反比例函数的交点问题 1．（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线轴、轴分别交于点、，且，的面积为2，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据题意可以设出点的坐标，从而以得到点和点的坐标，再根据的面积为2，即可求得的值． 【详解】解：设点的坐标为， 过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为2， 点， 点的坐标为， ， 解得，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 2．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于A，C两点，轴于B，轴于D，则四边形的面积为 ．    【答案】2 【分析】联立方程组，求出A,C坐标，再根据三角形面积公式求解. 【详解】解：联立方程组 ， 解得，， ∴点， ∵轴于B，轴于D， ∴, ∴ ∴， 所以， 故答案为：2 【点睛】主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．（2022下·北京西城·九年级北京十四中校考阶段练习）反比例函数与一次函数的图象有一个交点，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】先将点坐标代入一次函数解析式，求出的值，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：将点代入一次函数， 得， 解得， ， 将点坐标代入反比例函数解析式， 得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，求解的值是解决本题的关键． 4．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，则k＝ ． 【答案】6 【分析】利用一次函数求出交点坐标，再代入反比例函数中求出k值． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 把，代入一次函数得，，解得， ∴交点坐标为， 将交点代入反比例函数解析式得，， 故答案为：6． 【点睛】本题以一次函数和反比例函数交点为背景，考查了函数图象的性质，难度较小，解决问题的关键就是求出交点坐标即可． 考查题型十 反比例函数与几何问题 1．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可； ()利用待定系数法求解； ()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积； 此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴点， 故答案为：； （2）∵，的面积为， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵的图象过， ∴， ∵若的纵坐标为， ∴点， 设直线解析式为，与轴交于点，如图， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴点， ∴， ∴． 2．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积； （3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）联立，解得：或， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； （3）存在，设点， ∵，， ∴， ∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形， ①当为斜边时：，解得：； ②当为斜边时：，解得：； ∴或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 3．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）如图，一次函数是反比例函数图象上的两点，点的坐标为，点的坐标为，线段的延长线交轴于点．    (1)求的值和该反比例函数的函数关系式． (2)求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的函数关系式为 (2)的面积为 【分析】（1）把代入，可求出反比例函数解析，再把代入反比例函数解析式即可求解； （2）运用代数系数法求出所在直线的解析式，并求出的坐标，可确定的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，，解得， ∴反比例函数的函数关系式为， 把代入得，，解得， ∴． （2）解：设直线的函数关系式为，把，分别代入， ∴，解得，， ∴直线的函数关系式为， 当时，，即点的坐标为， ∴， ∴的面积为12． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，几何图形的面积计算方法是解题的关键． 4．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）已知：如图是反比例函数图象的一支，    (1)求的取值范围； (2)若该函数图象上有两点，，则______（填“”“”或“”），并求出与的关系式； (3)若一次函数的图象与该反比例函数图象，交于点，与轴交于点，连接； ①求出、的值； ②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点，使得的面积等于的面积的一半，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②存在，点的坐标为 【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解； （2）将点，代入反比例函数进行计算即可求解； （3）①将点代入一次函数可求出的值，即点的坐标，再代入反比例函数即可求出的值；②根据题意可算出点的坐标，设的高为，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限， ∴， ∴． （2）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：①∵在函数的图象上 ∴，则， ∵在函数的图象上， ∴， ∴，则反比例函数解析式为， ∴，； ②当时，， ∴， ∴， 则，且， ∴， ∵，设的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 将代入反比例函数得， ∴， ∴存在点． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 1．（2023·浙江杭州·校考三模）已知反比例函数（k是常数，）与一次函数图象有一个交点的横坐标是． (1)求k的值； (2)求另一个交点坐标； (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2)另一个交点坐标为 (3)或 【分析】（1）把交点的横坐标代入两函数解析式，再列方程求得k； （2）先联立方程组，求出方程组的解可得两函数图象的交点坐标； （3）通过图象观察，即可得出x的取值范围． 【详解】（1）把代入得：； 代入，得：； ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∴ 联立方程组得，， 解得，或， ∵反比例函数与一次函数图象有一个交点的横坐标是． ∴纵坐标为：2； ∴另一个交点坐标为． （3）如图， 当时x的取值范围为：或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法，反比例函数的性质，函数图象与不等式的解集的关系． 2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)图中阴影部分的面积为7． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 3．（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．    (1)求，的值； (2)当时，求出线段与的长度； (3)直接写出当时，的面积的最大值﹒ 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）把点代入一次函数解析式即可求出m的值，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； （2）分别把代入一次函数与反比例函数解析式，求出点B、C的坐标，然后可得线段与的长度； （3）首先求出时，点B、C的坐标，进而可得的值，然后根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 所以， 将代入得：； （2）解：当时，即， 把代入，得：， 所以， 将代入，得：， 所以， 所以当时，，； （3）解：当时，，， ∴，， ∵当时，点C在点B上方， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法以及二次函数的应用，熟练掌握求二次函数最值的方法是解题的关键． 4．（2023·辽宁大连·统考一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为； (2)没有效，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用时分别代入求出答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； 设药物熄灭后y关于x的函数关系式是， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴这次消毒没有效． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$