精品解析：江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2024-2025年度第一学期高三年级阶段测试 数学试卷 （全卷满分150分 考试时间120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（ ）（，精确到） A. B. C. D. 5. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 已知向量，若∥，则 B. 已知向量，若的夹角为钝角，则 C. 已知非零向量，若，则与同向共线 D. 若，则和的面积之比为 10. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. C. 不等式的解集为 D. 若方程有两个根，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为锐角，若，则的值为__________. 13. 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为__________. 14. 近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则______秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 将函数图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.函数图象经过点. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，求的取值范围. 16. 如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． （1）用，表示； （2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； （3）若，求的值． 17. 从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________. （1）求角大小； （2）若面积为，，求边上的中线长； （3）若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）设，求的最大值； （3）对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 19. 如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数. （1）若函数有极值点，求的取值范围； （2）当和的几何平均数为，算术平均数为. ① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ② 当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度第一学期高三年级阶段测试 数学试卷 （全卷满分150分 考试时间120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合中元素范围，再求交集即可. 【详解】依题得，则. 故选：B. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切化弦后，由二倍角公式，两角差的正弦公式化简变形后可得． 【详解】由已知，，则， 从而，所以， 故选：D． 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 4. 为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（ ）（，精确到） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可. 【详解】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则. 故选：B. 5. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数与对数的性质，求得集合，根据是的必要不充分条件，得到是的真子集，结合集合的运算，即可求解. 【详解】由，即，解得或，故或， 又由，即，解得，故， 因为是的必要不充分条件，即是的真子集， 可得或，解得或，即 故选：D. 6. 若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可. 【详解】函数与的图象有且仅有一个交点， 即只有一个零点，即只有一个零点. 令，则，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减，并且. 所以，，. 函数的大致图象如图 因为，所以. 原不等式，即. 令， 显然时，该函数为增函数，且， 所以，的解集为. 故选：D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系以及三角恒等变换化简，可得，再利用正弦定理角化边可得，结合正弦函数性质推出，即可得答案. 【详解】由题意知， 故， 则 ， 故，即 又，则， 由于，故，即 ∴， 故选：A． 8. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再结合余弦定理，面积公式可求出、、边上高，内切圆半径，最后根据平行线等比关系即可求解. 【详解】，由在内切圆上， 故， 假设，由于，， 则，且为上一点，，，三点共线， 由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示， 由， 因为，所以， 设边上高为，内切圆半径为， 由， 所以，， 可得的最小值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 已知向量，若∥，则 B. 已知向量，若的夹角为钝角，则 C. 已知非零向量，若，则与同向共线 D. 若，则和的面积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据向量平行的坐标表示运算求解；对于B：根据数量积的坐标运算结合向量平行运算求解；对于B：根据向量加法的三角形法则分析判定；对于D：根据向量的线性运算可得，可知：点在线段上，且，进而可得面积关系. 【详解】对于选项A：若∥，则，可得，故A正确； 对于选项B：若的夹角为钝角，则，解得且，故B错误； 对于选项C：若，且为非零向量， 向量加法的三角形法则可知同向，即与同向共线，故C正确； 对于选项D：若，即， 可得（分别为的中点），即， 可知点在线段上，且， 则，即， 所以和的面积之比为，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用重要不等式判断A，利用基本不等式判断B，利用‘1’的代换判断C，利用换元法结合二次函数性质判断D即可. 【详解】对于A，因为，当且仅当时取等， 所以，故A正确， 对于B，因为，当且仅当时取等， 而，所以，解得， 则的最小值为8，故B错误， 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为， ， 令，所以新函数为， 由题意得若取得最小值，则取得最大值， 由二次函数性质得，当时，取得最大值， 且其最大值为， 所以最小值为，故D错误. 故选：AC 11. 定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. C. 不等式的解集为 D. 若方程有两个根，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由，有，结合函数奇偶性的定义即可判断；由，可得，求出的解析式即可判断B；当时，函数单调递增，有，可判断C；方程有两个根，等价于函数与函数的图象有两个交点，利用这两个函数的单调性和对称性，得结论判断D． 【详解】令，函数定义域为， 由，有，即， 所以函数为偶函数，故A选项正确； 由，得， 即，所以， 有，得， 所以， 得，，故选项B正确， ， 当时，函数单调递增，且，有， 即，不合题意，故选项C错误； 方程，即，方程有两个根， 等价于函数与函数的图象有两个交点，其中函数单调递减， 函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减， 若方程有两个根，则有， 此时，即， 若且，则有， ∴，∴，得，故选项D错误. 故选：AB． 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为锐角，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由为锐角，得，而， 因此， 所以 . 故答案为：. 13. 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 14. 近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则______秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速， 设点，圆上两点A、B始终保持， 则，要使A、B两点的竖直距离为0， 则，第一次为0时，，解得， . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 将函数图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.函数图象经过点. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，从而有，再利用的性质，即可求出结果； （2）令，将问题转化成在上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，从而得到，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，又因为过点， 所以，又因为，所以，得到， 由，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，又因为，， 令，所以在上有且仅有一个对称中心和一条对称轴， 所以，即， 所以的取值范围为. 16. 如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． （1）用，表示； （2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解； （2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值； （3）用，表示，从而进行数量积运算. 【小问1详解】 因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线， 所以存在实数，使，其中D是BC中点，且， 所以 即 解得，， 所以． 【小问2详解】 因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使， 其中，，所以， 根据平面向量基本定理可得：即， 所以． 【小问3详解】 ， 整理可得：，所以． 17. 从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________. （1）求角大小； （2）若面积为，，求边上的中线长； （3）若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式逐个条件求解即可. （2）利用同角三角函数的基本关系结合三角形面积公式求出边长，再结合向量中线定理求解即可. （3）利用正弦定理表示出边长，结合同角三角函数的基本关系化简，利用题意求出角度范围，进而利用正弦函数和正切函数的性质得到单调性，最后求解范围即可. 【小问1详解】 若我们选择条件①，则有， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 故，因为，所以，解得， 若我们选择条件②，则有， 在中，由正弦定理得， 故， 整理得，所以， 故，得到， 因为，所以，解得， 若我们选择条件③，则有， 在中，所以， 所以， 故，可得， 因为，所以解得，故得； 【小问2详解】 在中，因为，所以， 所以，故得， 而在中，恒成立，故得， 因为，所以， 解得，，因为面积为， 所以，解得， 由上问得，故，解得， 而， 所以，解得， 综上可得(负根舍去)， 设边上的中线为，由向量中线定理得， 所以， 代入得， 解得，故，故中线长度为； 【小问3详解】 在中，因为，且由上问得， 所以由正弦定理得， 故，解得，， 所以， ， 故周长为， 因为锐角，所以，，所以， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 而设，所以在上单调递减， 而， 当时，，所以， 故周长的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）设，求的最大值； （3）对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）定义域容易求得，进而先求出的范围，最后求出函数的值域； （2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案； （3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案. 【小问1详解】 由且，得． 则函数的定义域为． ，且， 得，则函数的值域为． 【小问2详解】 ， 令， 则，， 所以， 令，，则为函数，的最大值． 易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线． ①若，即，则； ②若，即，则； ③若，即，则． 综上可得． 【小问3详解】 由（2）易得． 要使在上恒成立，即使在恒成立， 所以在上恒成立． 令，， 若，则对任意恒成立； 若，则有，即， 解得或． 综上，实数m的取值范围是． 【点睛】本题对的处理是一个难点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理. 19. 如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数. （1）若函数有极值点，求的取值范围； （2）当和的几何平均数为，算术平均数为. ① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ② 当时，证明：. 【答案】（1） （2）①，证明：， 先证右边，即证，令， 即证：，令，， 则在上单调递增，得， 所以有，则有，得证； 再证左边，即证，令， 即证，令，， ， 则在上单调递减，， 所以有，则有，证毕! ② 证明：时，令，则关于单调递减， 则， ，令， ， 由，则时；时， 所以时有，时， 则有在上单调递增，在上单调递减，， 故，得. 【解析】 【分析】（1）函数有极值点，则在上有变号零点，利用二次函数的性质求解即可； （2）①证明，即证，令，即证：，令，，利用导数研究函数单调性求最值即可，同理可证； ②时，令，则关于单调递减，则，利用导数研究函数单调性求最值证明即可. 【小问1详解】 函数，定义域为， 有极值点，则在上有变号零点， 即函数在上有变号零点． ①若，即时，只需，不能成立； ②若，即时，只需，解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $