专题03 一元二次方程、方程组的4种求参（值）问题-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略(人教B版2019必修第一册)

专题03 一元二次方程、方程组的4种求参（值）问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一 已知含参ax2 +bx +c=0型方程根的个数求参数 2 类型二 不解一元二次方程求值问题 3 类型三 已知含参一元二次方程求参数的值 5 类型四 已知含参二元方程组在解集限制条件下求参数 7 压轴能力测评 8 1．一元二次方程根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 几种变形：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．方程组的解集 一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 ①方程组的解集是集合，要用集合的表示方法表示②方程组的解一定是方程组中每一个方程的解,但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解，因此,要检验一组未知数的值是否为一个方程组的解时，必须将这组未知数的值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程,则这组未知数的值就是这个方程组的解;若只满足其中的一个方程,则这组未知数的值就不是这个方程组的解 类型一 已知含参ax2 +bx +c=0型方程根的个数求参数 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),其判别式为△=b2-4ac,(1)“方程有两个不相等的实数根”的充要条件是“△>0”;(2)“方程有两个相等的实数根”的充要条件是“△=0”;(3)“方程有实数根”的充要条件是“△≥0”(4)“方程没有实数根"的充要条件是“△<0’ 例1．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式训练1】（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【变式训练2】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【变式训练3】（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． (1)若，求的值； (2)若，且，求取值范围． 类型二 不解一元二次方程求值问题 常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形： 例2．已知（）是方程的两个根，不解方程求的值． 【变式训练1】（22-23高一上·北京·阶段练习）已知，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： (1)；（用含a的代数式表示） (2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件． 【变式训练2】法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值． 【变式训练3】（22-23高一上·北京西城·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 类型三 已知含参一元二次方程求参数的值 已知含参一元二次方程求参数的值的问题，我们要重点考虑一元二次方程根的判别式△是否大于或等于0.因为根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实根，即△≥0. 例3．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【变式训练1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 【变式训练2】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【变式训练3】（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知关于x的方程有两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求实数m的值． 【变式训练4】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 类型四 已知含参二元方程组在解集限制条件下求参数 (1) 关于方程组有相同解集问题的字母系数的求法当两个二元一次方程组有相同解集时，可以利用两个已知的二元一次方程(不含字母系数的方程)组成方程组，并求出方程组的解集，然后利用求出的解集得到关于字母系数的方程组，进而求出字母系数. (2) 根据二元一次方程和二元二次方程组成的方程组解集的情况求参数的取值范围，一般通过消元转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用根的判别式△=0,△>0,△<0 建立关于参数的方程或不等式求解 例4．已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解. 【变式训练1】已知关于、的方程组与的解集相同. （1）求这个相同的解集； （2）求、的值. 【变式训练2】已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围. 【变式训练3】已知方程组，问在什么范围内取值时，方程组的解集：（1）只含有一个元素；（2）含有两个元素；（3）空集. 1．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 2．（22-23高一上·北京·期中）已知：关于的方程的两个实数根分别为、. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值； (3)若，求实数的值. 3．已知集合，，． (1)命题，都有，若命题p为真命题，求a的值； (2)若是的必要条件，求m的取值范围． 4．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知关于的方程的两个实数根为 (1)当时，求的值： (2)若，求实数的值. 5．已知关于x的一元二次方程. (1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围； (2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围； (3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由. 6．k为何值时，方程组 （1）有一个实数解，并求出此解； （2）有两个不相等的实数解； （3）没有实数解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程、方程组的4种求参（值）问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一 已知含参ax2 +bx +c=0型方程根的个数求参数 2 类型二 不解一元二次方程求值问题 5 类型三 已知含参一元二次方程求参数的值 8 类型四 已知含参二元方程组在解集限制条件下求参数 11 压轴能力测评 14 1．一元二次方程根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 几种变形：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．方程组的解集 一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 ①方程组的解集是集合，要用集合的表示方法表示②方程组的解一定是方程组中每一个方程的解,但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解，因此,要检验一组未知数的值是否为一个方程组的解时，必须将这组未知数的值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程,则这组未知数的值就是这个方程组的解;若只满足其中的一个方程,则这组未知数的值就不是这个方程组的解 类型一 已知含参ax2 +bx +c=0型方程根的个数求参数 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),其判别式为△=b2-4ac,(1)“方程有两个不相等的实数根”的充要条件是“△>0”;(2)“方程有两个相等的实数根”的充要条件是“△=0”;(3)“方程有实数根”的充要条件是“△≥0”(4)“方程没有实数根"的充要条件是“△<0’ 例1．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）先因式分解求出两根，再分别大于1求出参数取值范围即可； （2）先得到，再考虑是否为空集的情况即可. 【详解】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 【变式训练1】（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程有实数根则∆0，解出即可；（2）根据韦达定理，求出把题中条件展开，带入求解即可. 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即， 解得， 故实数k的取值范围为； （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得． 【变式训练2】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 【变式训练3】（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． (1)若，求的值； (2)若，且，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根与系数的关系求出，代入化简即可得出答案； （2）由根与系数的关系求出，代入结合题意解方程即可得出答案. 【详解】（1）当时，方程为， 则；，． （2），，∵， ∴，∴，解得． 又∵方程有两个不同的根，∴， 解得或，∴． 类型二 不解一元二次方程求值问题 常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形： 例2．已知（）是方程的两个根，不解方程求的值． 【答案】1 【分析】结合韦达定理化简求得所求表达式的值. 【详解】∵． 由韦达定理得：代入上式， ． 【变式训练1】（22-23高一上·北京·阶段练习）已知，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： (1)；（用含a的代数式表示） (2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件． 【答案】(1)； (2)(答案不唯一). 【分析】（1）根据韦达定理可得，进而即得； （2）由方程有一个正根和一个负根可得，然后根据充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以， 所以； （2）若方程有一个正根和一个负根，则，即， 当时，，可得该方程有一个正根和一个负根， 而方程有一个正根和一个负根推不出， 故“”是“该方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件. 【变式训练2】法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)22或37． 【分析】（1）根据给定条件，构造一元二次方程，再利用韦达定理求解即得. （2）变形给定条件，构造一元二次方程，求出方程的解即可. 【详解】（1）由，，得m，n可看作方程的两个不相等的实数根， 则，， 所以． （2）由，， 得xy，可看作一元二次方程的两个实数根，解得或， 于是，或，， 当，时，； 当，时，． 所以的值为22或37． 【变式训练3】（22-23高一上·北京西城·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据根的判别式和韦达定理可得，代入已知条件计算即可求解； （2）由可得，结合（1）即可求解. 【详解】（1）由题意知，，， 则， 解得，所以的值为； （2）由， 得， 由（1）知，当时，，则. 所以的值为50. 类型三 已知含参一元二次方程求参数的值 已知含参一元二次方程求参数的值的问题，我们要重点考虑一元二次方程根的判别式△是否大于或等于0.因为根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实根，即△≥0. 例3．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式大于等于零求解即可； （2）由根与系数的关系可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 解得，； （2）由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为． 【变式训练1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 【答案】2 【分析】由题意首先根据方程的解的情况列出不等式组求得且，再结合韦达定理确定的值即可得解. 【详解】由题知，，解得且． 因为，，所以，所以或． 又因为且，所以的值是2． 【变式训练2】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据判别式的符号，即可证明； （2）根据根与系数的关系以及配方法即可求解. 【详解】（1）证明：因为：， 因为无论取何值，， 所以无论取何值，原方程总有两个实数根. （2）因为是原方程的两根， 所以由韦达定理得：，， 因为， 所以， 所以， 化简得，解得：或. 所以或. 【变式训练3】（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知关于x的方程有两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，得到方程，结合，利用韦达定理，即可求解； （2）由，得到，根据题意，结合韦达定理，列出方程，即可求得的值. 【详解】（1）解：当时，方程，可得， 所以，则； （2）解：因为方程， 由，解得， 且，， 又由， 可得，解得或（舍去）， 所以实数m的值为． 【变式训练4】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理和已知条件求的值； （2）利用韦达定理化简算式，配方法求最大值. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根， 则有，解得， 结合题意知：， ， 或， 又，所以. （2） ， 由，所以当时，取最大值为10. 类型四 已知含参二元方程组在解集限制条件下求参数 (1) 关于方程组有相同解集问题的字母系数的求法当两个二元一次方程组有相同解集时，可以利用两个已知的二元一次方程(不含字母系数的方程)组成方程组，并求出方程组的解集，然后利用求出的解集得到关于字母系数的方程组，进而求出字母系数. (2) 根据二元一次方程和二元二次方程组成的方程组解集的情况求参数的取值范围，一般通过消元转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用根的判别式△=0,△>0,△<0 建立关于参数的方程或不等式求解 例4．已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解. 【答案】；当时， ；当时，. 【分析】联立方程组，△即可求的值，再将的值代入原方程组即可求方程组的解； 【详解】解： 把②代入①得：， 整理得：， 方程组有两组相等的实数解， ， 解得：， 当时，， 方程组的解为； 当时，， 方程组的解为 【变式训练1】已知关于、的方程组与的解集相同. （1）求这个相同的解集； （2）求、的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）解方程组，利用加减消元法可求出这个方程组的解集，即可得解； （2）把代入方程组，可得出关于实数、的二元一次方程组，解出即可. 【详解】（1）由，两式相加得，解得，两式相减得，解得. 所以两个方程组相同的解集为； （2）把代入方程组，得， 两式相加得，解得，所以，解得， 因此，. 【变式训练2】已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围. 【答案】. 【分析】将方程组中①﹣②可得：，只需即可求解. 【详解】， ①﹣②得：， ∵， ∴. ∴. 解得：. 【变式训练3】已知方程组，问在什么范围内取值时，方程组的解集：（1）只含有一个元素；（2）含有两个元素；（3）空集. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】将代入，消去得，将方程组的解集中元素的个数转化为判别式的符号. （1）解集中含有一个元素；（2）解集中含有两个元素；（3）解集为空集.解出相应的等式与不等式即可. 【详解】由，消去，得，即. . （1）若原方程组的解集中只有一个元素，则，即，解得， 此时，实数的取值范围是； （2）若原方程组的解集有两个元素，则，即，解得， 此时，实数的取值范围是； （3）若原方程组的解集是空集，则，即，即，解得或. 此时，实数的取值范围是. 1．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可； （2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得， 且，， 若，则，即，解得（舍去）， 即不存在实数，使成立. （2）由题意， 又当，即时，且，， 故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 2．（22-23高一上·北京·期中）已知：关于的方程的两个实数根分别为、. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）根据，即可求得实数的取值范围； （2）将代入方程，根据韦达定理，得到，又，代入即可； （3）根据韦达定理，可得，化简，代入即可求得的值，注意结合第（1）问中的范围进行取舍. 【详解】（1）因为，方程有两个实数根， 所以，，即，即，解得. （2）当时，方程可化为， 由韦达定理可得，所以. （3）因为， 又关于的方程的两个实数根分别为、. 由韦达定理可得，所以， 整理可得，，解得或. 又由（1）知，所以. 3．已知集合，，． (1)命题，都有，若命题p为真命题，求a的值； (2)若是的必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1)2或3 (2)或} 【分析】（1）分别化简集合A，B，根据命题p为真命题，可得，通过对B分类讨论即可求a的值； （2）若是的必要条件，可得．通过对C分类讨论，进而得出m的取值范围． 【详解】（1）由，解得或，∴集合，， 命题，都有，若命题p为真命题，则， ①若，则，解得． ②若，则，解得． ∴a的值为2或3． （2）若是的必要条件，∴． ①时，此时，解得． ②时，此时有，方程组无解，m的值不存在． ③时，此时有，方程组无解，m的值不存在． ④，此时，解得． 综上可知：m的取值范围是或}． 4．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知关于的方程的两个实数根为 (1)当时，求的值： (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用韦达定理，代入求值即可； （2）由韦达定理代入求k值，注意验证即可. 【详解】（1）由题设是，则，， 而. （2）由题意，， ，整理得， 所以或，而， 所以. 5．已知关于x的一元二次方程. (1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围； (2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围； (3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由. 【答案】(1)或. (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据根的情况得出判别式分类讨论，再应用根与系数关系列不等式组求解即可； （2）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可； （3）结合（1）（2）写出结论即可. 【详解】（1）由题意得， 若，化简得，解得，此时无实数根，满足题意； 若，解得，设此时两实数根分别为， 则由题意得，，则， 即，解得或， 综上或. （2），解得， 由题意得，，即，解得. （3），解得， 两根恰有一个是正数,由题意得或，即，解得. ,且k为整数,符合条件的k不存在. 6．k为何值时，方程组 （1）有一个实数解，并求出此解； （2）有两个不相等的实数解； （3）没有实数解. 【答案】（1）k＝0时，方程组的解为  或者 k＝1时方程组解为 ； （2）当k<1且k≠0；（3）k>1. 【分析】方程组整理成关于x的方程，分类讨论，系数为0时有一个解，系数不为0时讨论判别式的正负情况即可. 【详解】将两式消掉y整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，③ Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1). （1）当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，解得，方程组有一个实数解为. 当时，原方程组有一个实数解，即k＝1时方程组有一个实数解，将k＝1代入原方程组得解得 . （2）当时，原方程组有两个不相等的实数解，即k<1且k≠0. 所以当k<1且k≠0时，原方程组有两个不相等的实数解. （3）当时，解得k＞1，即当k>1时，方程组无实数解. 【点睛】本题考查了方程组解的情况，注意对判别式的讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$