专题12.3 求直线围成的面积问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题12.3 求直线围成的面积问题 · 典例分析 【典例1】如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求直线、的解析式； （2）求的面积； （3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键． （1）把分别代入和，求出k值即可； （2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两和情况：①当点P 在射线上时，②当点P 在射线上时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：把分别代入和，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：． （2）解：对于直线的解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 对于直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴的面积． （3）解：设点P坐标为， 分两种情况：①当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴； ∴， 解得， ∴； ②当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或时，使得的面积等于面积的倍． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线：与轴交于点，与交于点．过点作轴的垂线，垂足为点．若，则的值是(    ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 4．（2023·江苏苏州·一模）由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是 ． 5．（23-24八年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是 ． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）在轴上存在点，使得，求点坐标． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． （1）求n、k、b的值； （2）求C点坐标； （3）求四边形的面积． 9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． （1）求点D的坐标； （2）求直线的表达式； （3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 10．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标． 11．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点，点C在x轴正半轴上，． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）若P为线段上一点，且的面积等于的面积，求P的坐标． 12．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图①， 一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． （1）求m的值并直接写出正比例函数的解析式； （2）如图②， 点 D 在线段上， 且与点O， C不重合， 过点 D 作轴于点E，交线段于点 F．若点 D的横坐标为4，解答下列问题： ①的长： ②若P是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点P的坐标． 13．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，连接． （1）求点的坐标和直线的函数解析式； （2）在直线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点D，连接． （1）求点D的坐标； （2）求的面积； （3）若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 15．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直线与直线相交于点A，直线与轴相交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）若，交轴于点，连接，求的面积． 16．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求的值及点的坐标． （2）求的面积． （3）连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标． 17．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P． （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为_________． （2）当时，求点P的坐标． （3）当点P位于第四象限时，求m的取值范围． （4）连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值． 18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求 a，b的值； （2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ； （3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点，的坐标分别是，．点是边上的一个动点，过点作，交于点，点是边上的任意点，连接、、、． （1）求所在直线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）当时，请直接写出此时点N的坐标． 20．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线． （1）求直线的表达式及点D的坐标； （2）若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.3 求直线围成的面积问题 · 典例分析 【典例1】如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求直线、的解析式； （2）求的面积； （3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键． （1）把分别代入和，求出k值即可； （2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两和情况：①当点P 在射线上时，②当点P 在射线上时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：把分别代入和，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：． （2）解：对于直线的解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 对于直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴的面积． （3）解：设点P坐标为， 分两种情况：①当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴； ∴， 解得， ∴； ②当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或时，使得的面积等于面积的倍． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得．  【解题过程】 解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线：与轴交于点，与交于点．过点作轴的垂线，垂足为点．若，则的值是(    ) A． B． C． D． 【思路点拨】 根据题意，画出图形，分别求得的坐标，然后根据已知条件，求得点的坐标，将点的坐标代入的解析式即可求解．  【解题过程】 解：如图所示，    ∵直线与轴交于点， 当时，解得：，则， 联立， 解得：， ∴，则， ∴， ∵，轴， ∴， ∵则， 将点代入， 即， 解得：， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解．  【解题过程】 解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2023·江苏苏州·一模）由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是 ． 【思路点拨】 首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可． 【解题过程】 解：恒过，也恒过，k为正整数，那么，如图， 直线与x轴的交点是，与y轴的交点是 直线与x轴的交点是，与y轴的交点是， 那么， = 又， ∴当时，值最小， 因此，当时，四边形的面积最小，最小值． 故答案为： 5．（23-24八年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，直线：与直线：交于点，直线与坐标轴交于点、，与轴和轴分别交于点、，且，将直线向下平移个单位得到直线，交于点，交轴于点，连接．的面积是 ． 【思路点拨】 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求一次函数围成的三角形面积等．先求出点的坐标，求出直线与坐标轴的交点坐标，得出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，根据一次函数平移的性质得出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，联立方程组求出直线与直线的交点的坐标，根据即可求解．  【解题过程】 解：∵直线：经过点， 故， 解得：， ∴， ∵直线与坐标轴交于点、， 故当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、在直线：上， ∴把，，代入直线得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 故当时，， ∴， 将直线向下平移个单位得到直线：， ∵直线交轴于点， 故当时，， ∴， ∵直线与直线交于点， 故联立方程组：， 解得：， ∴交点的坐标为， ∴． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是 ． 【思路点拨】 本题考查三角形的面积，不等式的性质和应用．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点的坐标，然后分和两种情况，按照三角形的面积大于三角形的面积列出不等式，求解后可得的取值范围．解题的关键是求出直线的解析式．  【解题过程】 解：设直线的解析式为，过点，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， 当时，如图， ∵点，轴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）在轴上存在点，使得，求点坐标． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先把A点和B点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先确定D点坐标，然后根据进行计算． （3）先求出点的坐标，然后列方程解题即可．  【解题过程】 （1）解：根据题意得： ， 解得： ， ； （2）当 时，， ， ， ， ∴ ； （3）令，则，解得， ∴点的坐标为 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． （1）求n、k、b的值； （2）求C点坐标； （3）求四边形的面积． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的综合应用： （1）把代入，可求出n，再把点，代入，求出k，b的值； （2）由（1）得：直线的解析式为，令，即可求解； （3）联立两函数解析式，可求出点D的坐标为，再求出点A的坐标为，然后根据四边形的面积，即可求解．  【解题过程】 （1）解：把代入得：， ∴点D的坐标为， 把点，代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵，点C的坐标为， ∴，， ∴四边形的面积 9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． （1）求点D的坐标； （2）求直线的表达式； （3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数表达式、两直线的交点问题、坐标与图形，正确求得函数表达式和交点坐标是解答的关键． （1）令直线的解析表达式求解点D坐标即可； （2）根据图象所给点A、B坐标，利用待定系数法求解直线的表达式即可； （3）先求得点C坐标，进而求得，然后利用坐标与图形得到点P的纵坐标是3，进而代入直线的表达式中求解x值即可．  【解题过程】 （1）解：由，当，得，解得， 所以点D坐标为； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知直线经过和， 得方程组，解得， 直线的解析表达式为； （3）解：由，解得，则． ∴， ∵． ∴． 与底都是，由面积相等得高相等．则高就是C到边的距离． 即C纵坐标的绝对值，则P到距离为． ∴P纵坐标的绝对值3，又点P不与点C重合． ∴点P纵坐标是3． 由，解得， 所以点P坐标为． 10．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标． 【思路点拨】 本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、直线与坐标围成的三角形面积等，灵活运用一次函数图象与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：①点在轴左边；②点在轴右边；设，由的面积为12，列方程求解即可得到答案．  【解题过程】 （1）解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点， 设一次函数的表达式为， 将与点代入表达式得到 ， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：根据题意，分两种情况：①点在轴左边；②点在轴右边； 点在轴左边，如图所示： 的面积为12， 设，其中， ，解得，则； 点在轴右边，如图所示： 的面积为12， 设，其中， ，解得，则， 综上所述，点的坐标是或． 11．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点，点C在x轴正半轴上，． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）若P为线段上一点，且的面积等于的面积，求P的坐标． 【思路点拨】 （1）求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先求解直线的解析式以及的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，过作交于，可得，直线为，再建立方程组求解交点坐标即可．  【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 设直线为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线为：； （2）解：∵， ∴， ∴直线为， 当时，则，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，过作交于， ∴， ∵直线为， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴． 12．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图①， 一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． （1）求m的值并直接写出正比例函数的解析式； （2）如图②， 点 D 在线段上， 且与点O， C不重合， 过点 D 作轴于点E，交线段于点 F．若点 D的横坐标为4，解答下列问题： ①的长： ②若P是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点P的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算． （1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出k的值即可； （2）①先求出点的坐标，然后即可求出的长；②先求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案．  【解题过程】 （1）解：将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）解：①点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ； ② ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 13．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，连接． （1）求点的坐标和直线的函数解析式； （2）在直线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数平移问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数与坐标轴交点坐标求法． （1）把代入，求出，得出直线的解析式为：，把代入直线得：，即可得出点B的坐标；根据平移求出直线的解析式即可； （2）先求出点D的坐标为，得出，设点P的纵坐标为，根据，得出，求出，再求出结果即可．  【解题过程】 （1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入直线得：， ∴点B的坐标为； ∵将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线， ∴直线的解析式为：， 即直线的解析式为； （2）解：存在； 把代入得：， ∴点D的坐标为， ∴， ∴， 设点P的纵坐标为，则， 解得：， 当时，， 解得：， 即此时点P的坐标为； 当时，， 解得：， 即此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 14．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点D，连接． （1）求点D的坐标； （2）求的面积； （3）若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算． （1）联立与的解析式，解方程组即可求解； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解．  【解题过程】 （1）解：∵与交于点D， 则，联立，解得：， ∴点D的坐标为； （2）令，得， ∴， ∴． （3）根据题意得：， 设， 令，得， ∴， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 15．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直线与直线相交于点A，直线与轴相交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）若，交轴于点，连接，求的面积． 【思路点拨】 本题考查一次函数图象的交点，待定系数法，三角形的面积． （1）解由两个函数解析式联立的方程组，即可得到点A的坐标，把代入直线中，即可求出点B的坐标； （2）设直线与x轴的交点为点C，即可得到，根据，可设直线的解析式为，把点代入即可得到直线的解析式为，令，求出点P的坐标，进而根据即可求解．  【解题过程】 （1）解：解方程组得， ∴点A的坐标为， 把代入直线中，得， ∴点B的坐标为 （2）解：设直线与x轴的交点为点C， 令，则， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求的值及点的坐标． （2）求的面积． （3）连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据直线与x轴的交点可求得b的值，进而得到解析式，即可求得点的坐标； （2）根据两个直线的解析式联立求得交点坐标D，以及点C的坐标，的面积以为底，以点D的横坐标的绝对值为高，即可求得面积； （3）先求出的面积，根据两个三角形面积之间的关系求得面积，然后设出的长，根据面积分割法列得等式，求解即可，注意分情况讨论．  【解题过程】 （1）解：∵直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线， 令，解得， ∴； （2）解：∵直线与直线交于点， ∴，解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令，解得， ∴， 即， ∴； （3）解：由（1）（2）可得，，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 设， 则， 即， 解得：， ∵，点在轴上， 当点E在点A左侧时，点E的横坐标为：，此时点， 当点E在点A右侧时，点E的横坐标为：，此时点， ∴点E的坐标为或． 17．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P． （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为_________． （2）当时，求点P的坐标． （3）当点P位于第四象限时，求m的取值范围． （4）连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值． 【思路点拨】 （1）根据，得到当时，；当时，，即可得到与坐标轴的交点坐标； （2）时，得到方程，解到，再求出对应y值即得； （3）求出点P在点和时的m值，即得； （4）求出，根据，，，即可求得m值．  【解题过程】 （1）在中， 当时，；当时，，； ∴，； 故答案为：，， （2）当时， 有，， 解得，， ∴， ∴点P的坐标为； （3）当P点在时，代入，得； 当P点在时，代入，得； ∴当P点在第四象限时； （4）或． 理由： 当时，，解得，∴， ∴． ∵，，， ∴ ， 得； 或， 得． 18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点．    （1）求 a，b的值； （2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ； （3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组、不等式的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键． （1）把分别代入和即可求得、的值； （2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解；通过图象点坐标，直接得到答案； （3）求得、的坐标，设点的坐标为，作轴于点，轴于点，根据的面积为，三角形面积公式得到的面积为，设边上的高为h，得，可求得，当点P在第一象限时，点P纵坐标为2，当点P在第三象限时，点P纵坐标为，从而可求得点P坐标．  【解题过程】 （1）解：由题知，点在的图象上， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在的上， 所以， 所以． （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， 方程组的解为； 由图象可知，的解答为：； 故答案为：；． （3）解：存在，理由： 由（1）得：一次函数的表达式为：，点的坐标为， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为：， 设边上的高为h， ∴， ∴， 解得：， 当点P在第一象限时，点P纵坐标为2， ∴ 解得：， ∴； 当点P在第三象限时，点P纵坐标为， ∴ 解得：， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或． 19．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点，的坐标分别是，．点是边上的一个动点，过点作，交于点，点是边上的任意点，连接、、、． （1）求所在直线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）当时，请直接写出此时点N的坐标． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）作于，设点，的面积为．利用平行线的性质得到的面积的面积，用待定系数法求得直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，即可求得，从而得到，即可求解． （3）作于，于，因为的面积的面积，所以，由，则，由（2）知的解析式为，把代入即可求解．  【解题过程】 （1）解：设直线的解析式为， ， ， 解得， 所在的直线的解析式为：； （2）解：如图，作于． 设点，的面积为． 又∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线解析式为 ， ∴设直线解析式为， 把代入，得 ∴ ∴直线解析式为， 联立，得， 解得：， ∴， ∵于， ∴， ， 的面积的面积， ∴ ∵， 当，时即时，有最大值，最大值为， 面积的最大值为； （3）解：如图，作于，于G． ， 的面积的面积， ， ， ，即， ， ， ， 由（2）知：所在的直线的解析式为：， ，解得， ． 20．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线． （1）求直线的表达式及点D的坐标； （2）若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求出直线的解析式，联立与的解析式，即可求出点D 坐标； （2）连接BC，过点D作轴于点F，证得，则点P在线段上或在线段上，分两种情况求出点P的坐标即可； （3）根据数轴得到三种情况：（Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，（Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，（Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，分别求出点P的坐标．  【解题过程】 （1）解：设直线的表达式为，代入点，， 得，解得， 直线l的表达式为． 令，解得， ， D的坐标为． （2）如图，连接，过点D作轴于点F． 令 解得, ∴ ∴，， ． ，，， 点B是线段的中点， ． 若直线将的面积分为两部分， 则点P在线段上或在线段上． （Ⅰ）当点P在线段上时，设点P的横坐标为，， ， 若直线将的面积分为两部分，则有 ， ， ， ， 代入直线得点P的坐标为． （Ⅱ）当点P在线段上时，如图，设直线与x轴交于点Q， 此时有， ，即， ， ， ． 设直线的解析式为 ∴ 解得 直线的表达式为， 令，解得， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． （3）存在．点P的坐标是或． 点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上时，有以下三种情况， （Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，如图， 由轴对称可知： ，， 由（2）可知，点B是线段的中点， ， ， ． 又， 而， ， 轴． ， ． （Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，如图过点P作于点， 作轴于点H， 过点D作轴于点M，由轴对称可知：平分， ． ， ， 即， 解得， ； （Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，如图， 点B是线段的中点， 由轴对称可知：此时点与点A重合， 不符合题意，应舍去． 综上，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$