重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 2 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 3 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 3 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 4 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 5 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 5 【题型7 函数法求离心率或其范围】 6 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 7 1、巧解圆锥曲线的离心率问题 从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. 【知识点1 圆锥曲线的离心率】 1．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2．求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 5．抛物线的离心率 抛物线的离心率e =1. 【知识点2 离心率的范围问题的求解方法】 1．不等式法求离心率的范围 (1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解. (2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的 斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. (3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解. (4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不 等式建立不等关系进行求解. 2．函数法求离心率的范围 (1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数 关系式； (2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； (3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围. 3．坐标法求离心率的范围 根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可. 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式1-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 【例3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆交于两点（点在点上方），为坐标原点，以为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则的离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 【例4】（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【题型7 函数法求离心率或其范围】 【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 【例8】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线，点，若上存在三个不同的点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（为坐标原点）.下列三个结论正确的是（    ） ①的坐标为；②；③若，则双曲线的离心率； A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 7．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 二、多选题 9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与相交于点，与的一条渐近线相交于点的离心率为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的共轭双曲线方程为 C．当点位于双曲线右支时， D．点到两渐近线的距离之积为 三、填空题 12．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过做斜率为正的直线交双曲线左支于， 两点，若，，则双曲线的离心率是 ． 14．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 四、解答题 15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 16．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆过点. (1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围； (2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为． (1)若，求的离心率； (2)点在上，若，且，求的取值范围． 19．（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 2 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 4 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 7 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 10 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 13 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 16 【题型7 函数法求离心率或其范围】 18 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 21 1、巧解圆锥曲线的离心率问题 从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. 【知识点1 圆锥曲线的离心率】 1．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2．求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 5．抛物线的离心率 抛物线的离心率e =1. 【知识点2 离心率的范围问题的求解方法】 1．不等式法求离心率的范围 (1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解. (2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的 斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. (3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解. (4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不 等式建立不等关系进行求解. 2．函数法求离心率的范围 (1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数 关系式； (2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； (3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围. 3．坐标法求离心率的范围 根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可. 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【解题思路】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【解答过程】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 【变式1-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，则，，从而可求出离心率. 【解答过程】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（）， 连接，则，， 所以离心率． 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的内心和重心重合，判断为等边三角形，得即可. 【解答过程】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线定义和，得到，结合，得到不等式，又双曲线的离心率大于1，得到答案. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，所以离心率，又双曲线的离心率大于1，所以． 故选：D． 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】椭圆定义有，结合已知确定的最小值，即可求解. 【解答过程】由椭圆的定义，可知，    所以当最小时，最大， 由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时， 由解得，此时的离心率. 故选：A. 【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据、点在上，求出可得答案． 【解答过程】由题设知，，则， 所以，且，易知， 又因为点在上，所以，所以， 因为，所以 ， 则，化简得 ， 解得或（舍去）．所以， 故的离心率为． 故选：B． 【变式2-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量关系结合椭圆的对称性， 找到当分别位于的左、右顶点时，有最大值，求出离心率的取值范围. 【解答过程】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 【例3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【解答过程】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：C. 【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线的定义可得的周长为，求得，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解. 【解答过程】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A. 【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据题意，由条件可得点的坐标，再结合条件可得垂直平分，从而可得，再结合可得，从而得到的关系，由双曲线离心率的计算公式即可得到结果. 【解答过程】如图所示，不妨设在第一象限，延长与交于点， 因为轴，，将代入双曲线中，可得， 解得，且在第一象限，则， 因为在的外角平分线上，且， 则，， 故垂直平分，为等腰三角形， 所以，为中点， 因为分别为，的中点， 则为的中位线，故， ， 由双曲线的定义可得，则， 所以， 又因为，则， 因为，所以，都是等腰三角形， 则， 故，则， 又因为， 则，整理可得， 因为，则， 整理可得，则，所以. 故选：B. 【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆交于两点（点在点上方），为坐标原点，以为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则的离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到，由得到，即只要，联立直线与椭圆方程，求出点坐标，由，即可表示出的斜率，再由及、、的关系求出离心率的取值范围，即可得解. 【解答过程】椭圆的左顶点为，直线过点， 且直线与椭圆交于两点（点在点上方），所以， 因为，只要，即只要. 联立 ， 得，即（*） 注意到为方程（*）的一个根，故， 则， 所以点，可得， 由于，故， 令，得， 即，所以离心率的取值范围是，则的离心率的最大值为. 故选：C. 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 【例4】（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解. 【解答过程】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得，，设，则，得，结合离心率的概念即可求解. 【解答过程】在中，由， 得，所以， 由，得， 所以， 设，则， 又， 又， . 故选：D. 【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意画出图形，设，则，由双曲线的定义解得 或，然后分类讨论，并借助余弦定理和即可得解. 【解答过程】 ，A、B、三点共线， 设，由双曲线定义得，， 所以，∵， ， 即，解得或， 由，则，得，所以， ，解得， 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【解答过程】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：B． 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【解答过程】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，而，则有，又点A，B关于原点O对称， 即四边形为平行四边形，且是矩形，于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线定义 ，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围． 【解答过程】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 则，即， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得， 所以双曲线离心率e的取值范围是. 故选：C． 【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，则，根据双曲线的定义，再利用基本不等式求出的最小值，从而得到，即可求出离心率的取值范围. 【解答过程】解：设，则，由双曲线的定义知， ∴，，当且仅当，即时，等号成立， ∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴． 故选：C． 【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到的关系再进行求解. 【解答过程】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有① 由极线的定义得直线的方程为， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，则有， 所以. 当且仅当，即时取等，此时. 故选：D. 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，由离心率的定义结合上式化简可得，再由基本不等式可得B正确；D错误；再举反例可得AC错误. 【解答过程】由已知得，． 由，得，又， 当，时，， 当，时， ． 故选：B. 【变式6-1】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解. 【解答过程】由椭圆的离心率， 双曲线的离心率，可得， 令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即， 则此时，即， 则的最大值是. 故选：B. 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【解答过程】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得． 在椭圆中，， 得 ． 在双曲线中，， 得．从而，得， 则，即， 即． 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【解题思路】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【解答过程】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为， 由于线段的垂直平分线过，所以有. 根据双曲线和椭圆的定义有， 两式相减得到，即， ， 所以 ， 当且仅当即等号成立，即最小值为. 故选：B. 【题型7 函数法求离心率或其范围】 【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，由已知及椭圆概念，可得和，则可由表示，再由，可通过换元及函数单调性得到离心率的取值范围. 【解答过程】因为，所以．设，则， 在中，，所以， 即．则， 令，由，得，则， 由于函数在上单调递增， 则，所以， 即，所以， 故离心率． 故选：B． 【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】当时，e；当或时，求出， 再利用二次函数的图象和性质求出函数的最大值即得解. 【解答过程】解：当时，双曲线是等轴双曲线时，e； 当或时，双曲线不是等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直， 所以， ∴， 所以e2， 当a时，取得最大值； ∴e． 所以双曲线的离心率e的最大值为． 故选：D． 【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，整理可得，根据题意结合二次函数分析可得，进而可求离心率. 【解答过程】由题意可设：， 则 ， 令，则， 注意到，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在内的最小值为， 则， 整理得，解得，不合题意； 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：. 可得椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 【变式7-3】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】由题意可得，由，得，设，根据相似可得，代入双曲线方程，进而得到，再结合二次函数性质求解即可. 【解答过程】由双曲线，得， 由，得，又， 设，则，即， 又在双曲线上，所以， 即，即， 整理，得， 令，，则， 因为函数对称轴为，在上单调递增， 所以时，，即， 所以. 故选：D. 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 【例8】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，又，由可得点的坐标，又由三点共线分类讨论斜率不存在和两种情况，建立关系即得. 【解答过程】 由题意得， 设，又， 所以，解得， 即， 又由三点共线可知 当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以， 即，整理得，即； 当时， 所以，整理得， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线，点，若上存在三个不同的点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再与双曲线方程联立求解，建立不等式即可求得答案. 【解答过程】设，由点，，得， 整理得，由消去得， 即，解得或， 依题意，，则有，因此双曲线的离心率， 所以的离心率的取值范围是. 故选：A. 【变式8-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设椭圆的左右焦点分别为，，由题意可是，利用椭圆在处的切线方程为，可得，求解即可. 【解答过程】设椭圆的左右焦点分别为， 点，且，设， 则有，解得， 由，所以，又，所以， 又椭圆在处的切线方程为， 所以，所以，所以， 所以，所以，解得, 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（为坐标原点）.下列三个结论正确的是（    ） ①的坐标为；②；③若，则双曲线的离心率； A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】按题意利用双曲线的定义或进行坐标运算逐个判断即可 【解答过程】对于①：由题意可知直线， 设，则，可得 即，故①正确； 对于②：设直线与双曲线的右支交于点， 由双曲线的定义可得：， 在中可得，即， 所以，即，故②错误； 对于③：设，由，可得，， 因为，则，解得， 即，由点在双曲线上可得， 整理得，解得，故③正确； 故选：C. 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【解答过程】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 2．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】设，根据中点关系得，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得，根据点在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为的方程求解即可. 【解答过程】由题意，，设，则， 因为为线段的中点，所以，即，则， 因为，所以，即， 又在双曲线上，所以， 结合整理得，所以， 解得或（舍去），由，解得. 故选：A. 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】由，设出，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【解答过程】因为，不妨令，    由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解. 【解答过程】由，得的横坐标为，设， 则直线的方程为，令，得，即， 所以线段的中点，则， 由，得，则， 即，代入双曲线方程得， 即，整理得， 由，解得. 故选：A. 5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据推断出，进而根据勾股定理可知，把进而整理关于a和c的方程求得即离心率e的值. 【解答过程】   ，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即，求得， ，， 故选：B. 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【解题思路】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当时，取得最小值为3. 【解答过程】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A. 7．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【解答过程】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【解题思路】首先求出，再结合题干中的条件可知，通过解不等式可得的取值范围，结合双曲线的离心率公式可得答案. 【解答过程】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 二、多选题 9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义得到，，再由即可求出离心率的取值范围，即可判断. 【解答过程】因为，又，所以，， 又，即， 所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD. 故选：BCD. 10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与相交于点，与的一条渐近线相交于点的离心率为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据题意分析可知：直线与双曲线的一条渐近线平行，求点.对于A：根据向量垂直分析运算；对于B：可得，结合双曲线的定义运算求解；对于C：可知为的中点，则，代入双曲线方程运算求解；对于D：结合余弦定理可得，进而列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：双曲线的渐近线为， 因为直线的斜率，则直线与双曲线的一条渐近线平行， 可知， 联立方程，解得，即， 对于选项A：因为， 若，则， 解得，即，所以，故A正确； 对于选项B：若，则， 且，可得， 所以，故B错误； 对于选项C：若，可知为的中点，可得， 且在双曲线上，则， 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 且，即， 解得， 若，即，解得， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的共轭双曲线方程为 C．当点位于双曲线右支时， D．点到两渐近线的距离之积为 【解题思路】利用三角形面积公式得，再利用余弦定理得，则解出双曲线方程，再利用离心率定义和共轭双曲线方程的含义即可判断AB；对C，计算得，再根据的范围即可判断；对D，，利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可. 【解答过程】如图，因为，所以， ， 则，所以，又， 在中，， 化简得，所以，双曲线方程为， 对于A，双曲线的离心率为，A正确； 对于B，双曲线的共轭双曲线方程为，B错误； 对于C，，因为， 则，即，C正确； 对于D，渐近线方程为，设， 点到两渐近线的距离之积为，D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 【解题思路】由题可知等边三角形的边长，进而可知点的坐标，易知为直角三角形，勾股定理及椭圆定义列方程求离心率. 【解答过程】依题意， 不妨设点在第一象限，则点， 易知， 由椭圆的定义知：， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过做斜率为正的直线交双曲线左支于， 两点，若，，则双曲线的离心率是 ． 【解题思路】根据双曲线的定义分析可知为等腰直角三角形，且，，结合勾股定理列式求解即可. 【解答过程】因为，则，， 且，可知为等腰直角三角形，    则，， 且，即， 整理可得，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 14．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【解题思路】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解. 【解答过程】如图，， 显然四边形是矩形，所以， 由题意，，所以， 设，则，所以， 又点P在第一象限，所以， 故，即，所以， 椭圆C的离心率 ， 由可得， 又， 所以， 故. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 【解题思路】（1）由椭圆方程求得焦点坐标和圆的方程，通过联立方程组求出两点，由，求出的值得双曲线的离心率； （2）由的坐标，可求出的面积. 【解答过程】（1）椭圆中，，，， 椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为. 双曲线的渐近线方程为， 的方程：. 由得，，. 由题意知，、分别为第一、二象限的交点， ∴，， ∴，， ∵，∴，∴. 化简整理得， 又∵代入上式，解之得，. ∴双曲线方程：. 离心率. （2）由（1）知，， ∴，. ∴. 16．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆过点. (1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围； (2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 【解题思路】（1）把点代入椭圆方程，可得，由，可求b的取值范围； （2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线的位置，联立方程组，利用弦长公式结合不等式的性质求的最大值. 【解答过程】（1）∵在椭圆，∴，有，所以， 又∵，所以，∵，∴； （2）由（1）可知，又， 所以，椭圆. 因为直线与相切，故. 若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段. 若直线的斜率存在，可设直线的方程为：. 由直线与相切，故，可得：. 联立得，所以， 线段 . 又因为，所以. 当且仅当，故当时，的最大值为2. 综上所述：当时，线段的最大值2. 17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【解题思路】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【解答过程】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为． (1)若，求的离心率； (2)点在上，若，且，求的取值范围． 【解题思路】（1）由可得点横坐标，代入椭圆方程可求得点纵坐标，由两点斜率公式可得的值，结合椭圆斜率公式求解即可. （2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程可求得点横坐标，由两点间距离公式可得，同理可得，由可得，结合椭圆定义可知，转化为解不等式即可. 【解答过程】（1）如图所示， 由题意知，，设，由，可知， 代入椭圆方程，可得，因为，所以， 又，解得， 所以离心率； （2）如图所示， 设点，直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程可得， 整理可得，解得， 所以， 将替换为，同理可得，， 由，可得， 整理得， 由，解得或， ，即，解得或， 故解集为. 综上所述，的取值范围为． 19．（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【解题思路】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【解答过程】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$