重难点25 直线与圆综合【九大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

重难点25 直线与圆的综合【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 2 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 4 【题型3 直线与圆中的面积问题】 7 【题型4 直线与圆中的最值问题】 11 【题型5 距离及其新定义问题】 14 【题型6 阿波罗尼斯圆】 16 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 19 【题型8 直线与圆中的向量问题】 24 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 26 1、直线与圆的综合 直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解. 【知识点1 直线与圆相交时的弦长求法】 1．圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【知识点2 圆的切线及切线方程问题】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】 1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法 直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 【例1】（2024·河南·模拟预测）直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为， 由此可知圆的半径为，圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线与交于，两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】如图，根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出CD，建立关于m的方程，解之即可求解. 【解答过程】如图，取的中点，连接，则，    圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 又，所以， 由，解得. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【解答过程】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D. 【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【解答过程】由题易知直线恒过， 圆化为标准方程得， 即圆心为，半径， 圆心到距离， 所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8， 最小时即为圆心到直线距离最大， 即时，此时， 所以的取值范围为. 故选：D. 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 【例2】（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线过点，则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据直线与圆相切求出切线方程，再由充分条件、必要条件得出选项. 【解答过程】因为圆可化为， 所以圆的圆心坐标是，半径为1． 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，满足直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，得，解得， 故直线的方程是． 综上所述，当直线的方程是或时，直线与圆相切， 则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【解答过程】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B. 【变式2-2】（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【解答过程】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 【变式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解. 【解答过程】如下图所示：    由题意圆的标准方程为，， 又因为，所以， 所以， 又圆心到直线的距离为， 所以，所以不妨设， 则， 又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时， 有最大值. 故选：A. 【题型3 直线与圆中的面积问题】 【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【解题思路】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【解答过程】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【解题思路】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【解答过程】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 【变式3-2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求圆的方程； (2)已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围. 【解题思路】（1）设出圆方程，代入点坐标，利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）设出直线方程，表示出的面积，根据参数范围即可求出的面积的取值范围. 【解答过程】（1）设圆的方程为，将三点坐标代入， 则，解得 则圆的方程为； （2）   由（1）知圆的方程为， 即圆心，半径为， 可设直线方程：， 圆心到直线的距离为， 由于，且直线与圆交于两点，因此，即， 线段，因此的面积， 由于，则，因此， 所以的取值范围为. 【变式3-3】（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【解答过程】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则 ， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令 ， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为；    （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上. 【题型4 直线与圆中的最值问题】 【例4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的最值即可求解. 【解答过程】由题意作出图形如图所示 设，，由∽,可得， 所以，即，即， 所以， 所以， 所以点， 将点的坐标代入直线中， 化简可得（不同时为）， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为 故选：B. 【变式4-1】（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【解答过程】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D. 【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即得. 【解答过程】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B. 【题型5 距离及其新定义问题】 【例5】（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【解题思路】利用圆上恰存在三个点到直线的距离等于，等价于到直线：的距离为，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解. 【解答过程】因为圆：的圆心，半径为， 当圆上恰存在三个点到直线的距离等于时， 则到直线：的距离为， 所以，解得，即必要性不成立； 当时，由上可知到直线：的距离为， 此时圆上恰存在三个点到直线的距离等于，即充分性成立； 所以“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【解题思路】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键. 【解答过程】依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆， 求的最小值相当于先求的最小值， 即求圆上一点到直线的距离d的最小值， 所以， 即的最小值为1． 故选：A． 【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 . 【解题思路】将切线方程转化为关于的方程为.根据一个解对应一条切线可知该方程仅有一解，利用可得曲线的方程，结合直线与圆的位置关系即可求解. 【解答过程】曲线上任一点对应的切线方程为， 将其整理为关于的方程为. 由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解， 所以，整理，得， 即曲线的方程为， 故上的点到直线的最小距离为. 故答案为：. 【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【题型6 阿波罗尼斯圆】 【例6】（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解题思路】由题意计算可得点的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解. 【解答过程】由题意可得，化简得， 即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由：（），可得， 故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有，即. 故选：D. 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【解题思路】借助阿氏圆定义计算可得点坐标，进而可得，结合两点之间距离最短计算即可得. 【解答过程】方法一：因为圆的圆心为，点， 由阿氏圆定义知，点在轴上，设， 圆与轴的交点，， 则由阿氏圆定义知，即， 解得或（舍），故， 且，即， 故， 当且仅当，，，四点共线时，取最小值4，故选：C． 方法二：设，则，故， 故 ，即，则， 故， 当且仅当，，，四点共线时，取最小值4. 故选：C． 【变式6-2】（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由题意求出点的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可. 【解答过程】由题意，设点，则， ∴，化简得点的轨迹方程为， ∴点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 圆心到直线：的距离， ∴点到直线最大距离为. 故选：A. 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（    ） A．的方程为 B．当三点不共线时，则 C．在C上存在点M，使得 D．若，则的最小值为 【解题思路】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解. 【解答过程】设，由，得，化简得，故A正确； 当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确； 设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错 误； 因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确. 故选：C. 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 【解题思路】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程； （2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证. 【解答过程】（1）因为是弦的中点， 所以，即， 所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为. （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 代入，得. 设，，则，是方程的两解， 则，，， 根据根与系数的关系，得， 即. 若，则直线过点，舍去； 所以，即， 直线的方程为，故直线过定点. 当直线斜率不存在时，设直线：， 与曲线的方程联立，可得，，则，解得， 故直线的方程为，恒过点. 综上，直线过定点. 【变式7-1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标． 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可； （2）设出直线的方程和直线的方程，分别与圆的方程联立写出的坐标，进而写出直线的方程，化简即可证明直线经过定点，并求出定点的坐标. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，设圆心为 又因为圆经过点 则，解得， 所以圆心半径为， 所以圆的标准方程为 （2）由圆与轴分别交于两点，不妨设， 又为直线上的动点，设，则 则方程为，方程为， 设， 联立方程，解得， 所以，即，即. 联立方程，解得， 所以，即，即. 当时， ， 所以直线的方程为 化简得所以直线过定点. 当时，，此时过定点. 综上，直线过定点. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【解题思路】（1）设，利用距离公式得到方程，整理即可得解； （2）设直线和直线的斜率之积为，设，，，即可得到，再由，为圆：上及，消去参数得到关于的方程，解得即可. 【解答过程】（1）设，由则， 化简得动点的轨迹的方程为． （2）设直线和直线的斜率之积为， 事实上，若，则直线必过原点，从而的坐标为，不合题意，舍去． 设，，，则，①， 则， 又，在圆：上，则，， 所以化简得：， 整理得②， 因为，所以， 从而，又为曲线的动点， 所以展开得， 将①代入：， 化简得：， 将②代入：，整理得：， 因为，所以，从而，所以． 【变式7-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 【解题思路】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程； （2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明. 【解答过程】（1）由圆心C在x轴的正半轴上设圆心， 又圆C与直线相切于点，则，解得， 所以，半径，所以圆C的方程为：. （2）设，，直线MN方程为：， 联立得， ，，， 直线OM方程为：，直线BN方程为：， 联立，可得， 所以点G在直线上. 【题型8 直线与圆中的向量问题】 【例8】（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【解答过程】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 【变式8-1】（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【解题思路】判断出最小时点的位置，进而求得此时的值. 【解答过程】由于是圆的切线，所以，所以， 当时，最小，此时最小. 到直线的距离为， 则时，，， 所以此时三角形是等腰直角三角形， 所以当最小时，则的值为. 故选：A. 【变式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【解答过程】    如图，取线段的中点，连接，则， 由 ， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设点，若直线与圆交于两点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设得中点为，根据垂径定理结合向量的线性运算可得，进而可得，根据相关距离公式分析求解. 【解答过程】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设得中点为，可知， 因为，则， 即，可得，解得， 可知圆心到直线的距离， 可得，即 所以的取值范围为. 故选：A. 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 【解题思路】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由垂径定理列式求得； （2）设，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合斜率的和为0列式求得值，则点的坐标可求. 【解答过程】（1）由圆，得，圆心坐标为，半径为2， 到的距离为， 由点到直线的距离公式可得:，解得； （2）设， 联立，得， ， ， 设存在点满足题意，即， ， ， 即，解得. 存在点符合题意. 【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用求得参数，即得圆的方程； （2）先求出点，，设出直线方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将等价转化成、的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得值. 【解答过程】（1）由得， 因为圆与y轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 假设存在实数a，设，， 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为， 由得， 根据韦达定理有（*）， 又，则、的斜率互为相反数， 即，得：， 于是，即， 将（*）代入可得：，化简得：，解得． 当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数． 综上所述，存在，使得． 【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点 ，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【解答过程】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【变式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心， （2）根据四点共圆可得圆方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程， （3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解. 【解答过程】（1）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； （2）法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 则,半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法2：设，设直线上任意不同于点的点为， 根据,可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； （3）设存在点满足条件，由题可设直线，， 由，得， ∵点在圆内部，∴恒成立，则， 因为，所以，即， 即是，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【解答过程】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 2．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解答过程】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【解题思路】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【解答过程】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离的取值范围为 C．被截得的弦长为 D．上存在四个点到的距离为 【解题思路】设，则，整理得，所以是一个圆心为，半径为的圆，判断；再利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，得到上的点到直线的距离的取值范围，判断；由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形求出弦长，判断；由圆心到直线的距离为，半径为，则，即圆截所得的劣弧上只有一个点到的距离为，所以圆上存在三个点到的距离为，判断． 【解答过程】对于，设，则， 整理得， 所以是一个圆心为，半径为的圆，故错误； 对于，因为圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的距离的取值范围为，，即，，故错误； 对于，圆心到直线的距离为2， 所以被截得的弦长为，故正确； 对于，因为，所以上存在三个点到的距离为，故错误． 故选：C． 5．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【解题思路】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解. 【解答过程】圆，圆心，半径为3，如图，    为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【解答过程】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到圆的圆心坐标与半径，依题意可得，即可得到动点的轨迹方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【解答过程】圆，则圆心为，半径，    因为，在中，， 所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径， 又直线上存在点， 所以直线与有交点，所以，解得 ， 即实数的取值范围是． 故选：D． 8．（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线和直线分别与圆联立方程组，求出两点的坐标，由，得，直线和直线联立方程组，求出点的坐标，由，得，验证各选项即可. 【解答过程】由题意得直线，与圆方程联立，得， 可求出点，同理得点， 由于在直线上，因此，化简后得， 显然，否则点在圆上，两点重合，与题意矛盾，则， 再联立直线与直线，则点， 因此， 则，即，A选项正确，BD选项错误 ， ，即，C选项错误. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【解题思路】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC. 10．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 【解题思路】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D. 【解答过程】圆的圆心，半径， 直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交， 当点为弦的中点时，有最小值， 此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在， 所以，故A错误； 因为点为弦的中点，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为， 所以轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，设， 联立，得， 则，故， 所以点的坐标为， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述的最大值为9，故D正确.    故选：BCD. 11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【解题思路】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【解答过程】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 或 . 【解题思路】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【解答过程】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【解题思路】方程表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点），故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率，画出图形结合图形可得答案． 【解答过程】由得， 它表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点）， 故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率． 如图，，，， 则，，则或． 故答案为：. 14．（2024·河南商丘·模拟预测）已知过点的直线分别与圆交于两点（点在的上方）和两点（点在的上方），且四边形为等腰梯形，若，则梯形的面积为 ． 【解题思路】由四边形为等腰梯形及得出直线的方程，结合圆的方程求出点的坐标，即可计算出面积． 【解答过程】不妨设点在第一象限，设与轴交点为，如图所示， 由圆得，，圆心，半径为， 因为，所以， 因为四边形为等腰梯形， 所以，点与点关于轴对称，轴， 则，解得， 所以， 设直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 设直线的方程为，， 由得，， 解得，，， 则，， 所以梯形的面积为， 故答案为：． 四、解答题 15．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【解题思路】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或. 16．（23-24高二上·北京·期中）已知圆为过点且斜率为的直线. (1)若与圆相切，求直线的方程； (2)若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）确定圆的圆心和半径，设出直线方程，利用直线与圆相切，建立方程，即可求解； （2）将直线方程和圆的方程联立，根据根的判别式求出的范围，利用韦达定理及向量与共线即可求解. 【解答过程】（1）圆，所以圆心为， 过且斜率为的直线方程为，即， 与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得：或， 故切线方程为或； （2）设， 联立直线与圆 消去得， 直线与圆交于两个不同的点，，即， 解得， 由韦达定理得， 则， 则， 而，，， 若与共线，则，即， 即解得， 因为， 故没有符合题意的常数，使得向量与共线. 17．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【解题思路】（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【解答过程】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 18．（23-24高二下·河南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 【解题思路】（1）设出点坐标，由题意得到点坐标，代入圆的方程可得； （2）先求出直线过定点，确定过点的弦的最小值，再求三角形高的最大值，从而确定所求三角形面积的最大值. 【解答过程】（1）由题意，设，由，得, 为圆：上的动点，所以， 所以点的轨迹方程为：. 即曲线的方程为：. （2）将的方程整理为， 令解得所以过定点. 如图： 当时，取得最小值，此时，所以，解得， 直线的方程为， ，. 由（1）可知，曲线是圆心为，半径为3的圆，点到的距离为，所以点到的距离， 故面积的最大值为. 19．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【解答过程】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点，且的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点25 直线与圆的综合【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 2 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 3 【题型3 直线与圆中的面积问题】 3 【题型4 直线与圆中的最值问题】 4 【题型5 距离及其新定义问题】 5 【题型6 阿波罗尼斯圆】 6 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 7 【题型8 直线与圆中的向量问题】 8 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 8 1、直线与圆的综合 直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解. 【知识点1 直线与圆相交时的弦长求法】 1．圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【知识点2 圆的切线及切线方程问题】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】 1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法 直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 【例1】（2024·河南·模拟预测）直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线与交于，两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 【例2】（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线过点，则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 直线与圆中的面积问题】 【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【变式3-2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求圆的方程； (2)已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围. 【变式3-3】（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【题型4 直线与圆中的最值问题】 【例4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【题型5 距离及其新定义问题】 【例5】（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 . 【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【题型6 阿波罗尼斯圆】 【例6】（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【变式6-2】（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（    ） A．的方程为 B．当三点不共线时，则 C．在C上存在点M，使得 D．若，则的最小值为 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 【变式7-1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标． 【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式7-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 【题型8 直线与圆中的向量问题】 【例8】（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【变式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设点，若直线与圆交于两点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离的取值范围为 C．被截得的弦长为 D．上存在四个点到的距离为 5．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北承德·二模）已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 10．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 14．（2024·河南商丘·模拟预测）已知过点的直线分别与圆交于两点（点在的上方）和两点（点在的上方），且四边形为等腰梯形，若，则梯形的面积为 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 16．（23-24高二上·北京·期中）已知圆为过点且斜率为的直线. (1)若与圆相切，求直线的方程； (2)若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 17．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 18．（23-24高二下·河南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 19．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$