重难点24 隐圆与蒙日圆问题【六大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

重难点24 隐圆与蒙日圆问题【六大题型】 【新高考专用】 【题型1 隐圆类型一：到定点的距离等于定长】 2 【题型2 隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】 2 【题型3 隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】 3 【题型4 隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】 3 【题型5 阿波罗尼斯圆】 4 【题型6 蒙日圆】 5 1、隐圆与蒙日圆问题 从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求解. 【知识点1 隐圆与阿波罗尼斯圆】 1．隐圆问题 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 2．隐圆问题的几大类型 (1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长； (2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值； (3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角； (4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值； (5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆. 3．阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. 【知识点2 蒙日圆】 1．蒙日圆 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆. 设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如图. 【题型1 隐圆类型一：到定点的距离等于定长】 【例1】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【变式2-3】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【题型3 隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】 【例3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·广西南宁·二模）已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】 【例4】（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．47 【变式4-2】（2024·江西赣州·一模）在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 阿波罗尼斯圆】 【例5】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（23-24高二上·湖南益阳·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 蒙日圆】 【例6】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·贵州铜仁·二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高三·山东·专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆： 的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·重庆·期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（    ） A． B． C． D．4 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（    ） A． B．26 C． D． 7．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 10．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 11．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，直线，则下列描述正确的为（    ） A．点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b B．若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为 C．若l上任意一点Q都满足，则 D．若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 13．（23-24高二下·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 14．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点，动点P满足， (1)求动点P的轨迹方程； (2)设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 16．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 17．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 18．（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 19．（2024·陕西西安·一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点24 隐圆与蒙日圆问题【六大题型】 【新高考专用】 【题型1 隐圆类型一：到定点的距离等于定长】 2 【题型2 隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】 5 【题型3 隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】 6 【题型4 隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】 9 【题型5 阿波罗尼斯圆】 12 【题型6 蒙日圆】 14 1、隐圆与蒙日圆问题 从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求解. 【知识点1 隐圆与阿波罗尼斯圆】 1．隐圆问题 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”. 2．隐圆问题的几大类型 (1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长； (2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值； (3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角； (4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值； (5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆. 3．阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. 【知识点2 蒙日圆】 1．蒙日圆 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆. 设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如图. 【题型1 隐圆类型一：到定点的距离等于定长】 【例1】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【解答过程】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】求出点的坐标，由求出点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可. 【解答过程】椭圆的右焦点为，设，由，得， 由消去得，，而，解得， 当时，对应的值有2个，所以上满足的点有2个. 故选：B. 【变式1-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据模长公式可得，根据向量的坐标运算，利用，可得点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，求得圆心到原点的距离为，从而可得答案． 【解答过程】已知是两个单位向量，且， 则， 则，则， 设分别是轴与轴正方向上的单位向量， 则，，， 设，则， 因为， 所以， 故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 圆心到原点的距离为， ． 故选：B． 【变式1-3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先确定MN中点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的最值求解. 【解答过程】由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1， 因为，所以． 设P为MN的中点，所以． 所以点P的轨迹方程为． 其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点M，N，p到直线的距离分别为，d， 所以，，， 所以． 因为点C到直线的距离为， 所以，即， 所以．所以的取值范围为．    故选：A． 【题型2 隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【解答过程】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·河南·三模）在平面内，已知线段的长为4，点为平面内一点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立直角坐标系，求出点的轨迹时一个圆，再根据与圆相切时角最大求得结果. 【解答过程】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，因为，不妨设， 由，得， 化简得，即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 当与圆相切时，取得最大值，此时． 因为，，所以，且为锐角， 故的最大值为． 故选：A． 【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【解题思路】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得. 【解答过程】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【解题思路】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解. 【解答过程】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 故答案为：. 【题型3 隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】 【例3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【解答过程】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 【变式3-1】（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【解答过程】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】易知以为邻边作平行四边形为矩形，由平面向量可证明，再由可得其取值范围. 【解答过程】以为邻边作平行四边形， 由可得四边形为矩形，如下图所示： ， 可得， 解得，即， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 易知，， 所以线段的长的取值范围是. 故选：D. 【变式3-3】（2024·广西南宁·二模）已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【解答过程】由，得，由，得， 由，得，设 ，则， 即，因此点C的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，即有，则代入， 整理得： ，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为. 故选：B. 【题型4 隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】 【例4】（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围. 【解答过程】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得. 故选：B. 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．47 【解题思路】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合圆的性质可求的最小值. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 如图所示，由弦长公式知， 解得， 所以点在以为圆心、1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为． 故选：B． 【变式4-2】（2024·江西赣州·一模）在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，求出，即可利用坐标法求解轨迹方程，即可由弧长公式求解. 【解答过程】    在长方体中，由于平面，平面， 在和中，，， ，，， 在平面，以为坐标原点，以为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 设,则， 则由可得，化简可得，由于，故的轨迹表示圆心在，半径为的圆在第一象限的弧长， 由于, 故,因此轨迹为所对的弧长，故长度为， 故选：D. 【变式4-3】（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出点，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可. 【解答过程】设，则，， 则，即， 化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 又，所以三点共线， 显然当直线与此圆相切时，的值最大. 又, 则, 则. 故选：C. 【题型5 阿波罗尼斯圆】 【例5】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标. 【解答过程】解：设，，所以. 由，得. 因为，所以，整理得：. 因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【解答过程】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】先求得点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系确定公切线的条数. 【解答过程】依题意动点满足， 所以,， 整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 圆的圆心为，半径， ，所以两圆外切，则公切线有条. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高二上·湖南益阳·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可. 【解答过程】设，，所以，由， 所以，因为且，所以， 整理可得，又动点M的轨迹是，所以， 解得，所以，又， 所以， 因为，所以的最小值， 当M在位置或时等号成立. 故选：D. 【题型6 蒙日圆】 【例6】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据蒙日圆的定义结合两圆的位置关系计算即可. 【解答过程】根据题意可知椭圆的蒙日圆方程为，圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆与必有交点才符合题意， 即两圆圆心距， 则. 故选：C. 【变式6-1】（2024·贵州铜仁·二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】选取两条特殊的互相垂直的切线，得到其交点，代入圆方程得到，利用离心率公式即可得到答案. 【解答过程】依题意，取特殊直线和直线，显然这两条直线与椭圆都相切，且这两条直线互相垂直， 因其交点在圆上，∴，得， ∴椭圆的离心率， 故选：D. 【变式6-2】（2024高三·山东·专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆： 的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的离心率可求出，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆的蒙日圆方程. 【解答过程】因为椭圆： 的离心率为， 所以，解得，所以椭圆的方程为， 所以椭圆的上顶点，右顶点， 所以经过两点的切线方程分别为，， 所以两条切线的交点坐标为，又过，的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆同心的圆上，可得圆的半径， 所以椭圆的蒙日圆方程为. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果. 【解答过程】由题意可知的蒙日圆方程为， 因为圆与圆仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以或， 由此解得， 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围. 【解答过程】设动点，则， 化简得， 所以点的轨迹为圆 ， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C.    2．（23-24高三上·重庆·期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可. 【解答过程】 由题意得，等于点到准线的距离， 过点作垂直准线于点，则， 设动点，则，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， ， 所以当四点共线时，最小，. 故选：B. 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 【解题思路】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系,可得的轨迹方程为圆，数形结合高的最大值为圆的半径，可解问题. 【解答过程】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，且， 由，得， 化简得的轨迹方程为圆，半径， 如下图，有． 故选：A.    4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【解答过程】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 5．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【解答过程】∵，∴. 设P点坐标为，由题意，则， ∴P点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，记为圆， 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则， 当A，P，M三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 6．（2024·广东·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（    ） A． B．26 C． D． 【解题思路】根据题意求出椭圆C的蒙日圆方程，求出M在第一象限的顶点P的坐标，设出过P且与椭圆C相切的直线方程，与椭圆联立，再利用点到直线距离公式即可求解. 【解答过程】依题意，直线，都与椭圆，且它们围成四边形是矩形， 于是该矩形是椭圆的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为，半径， 因此该椭圆的蒙日圆方程为， M为椭圆的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、、， 其中P在第一象限，显然P与关于原点对称，Q与关于原点对称， 而 P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0， 设过P且与椭圆C相切的直线为，由消去y并整理， 得，由， 化简得，解得或，不妨取直线PQ方程为，即， 直线的方程为，即， O点到直线PQ的距离为，O点到直线的距离为， 所以M的面积为. 故选：C. 7．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值，进而得到答案． 【解答过程】由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）． 设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD， 则MD⊥BC，，可得，，． 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，圆M的方程为， 设，则，结合， 可得， 因为A点在圆M：上运动， 所以，可得当时，，达到最大值． 综上所述，当时，有最大值． 故选：D． 8．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案. 【解答过程】设，则，化简得， 即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆， 则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 即，点到直线的距离最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【解题思路】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D. 【解答过程】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号． 故选：ABD.      10．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【解题思路】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【解答过程】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为 ， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 11．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，直线，则下列描述正确的为（    ） A．点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b B．若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为 C．若l上任意一点Q都满足，则 D．若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为 【解题思路】根据椭圆上点到原点最大距离为，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去可判断A，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B，分析可得点应在蒙日圆外，解不等式从而判断C，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D. 【解答过程】由离心率，且可得， 所以蒙日圆方程； 对于A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为，原点到椭圆上任意一点的距离最大值为， 所以椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，即A错误； 对于B，由蒙日圆定义可知：直线与蒙日圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得； 所以椭圆C的方程为，即B正确； 对于C，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为， 若若l上任意一点Q都满足，可知点Q应在蒙日圆外， 所以此时直线与蒙日圆相离，即，解得， 又，所以可得，即C正确. 对于D，易知椭圆C的方程为，即，蒙日圆方程为， 不妨设，因为其在蒙日圆上，所以， 设，又，所以可知与椭圆相切， 此时可得直线的方程为，同理直线的方程为； 将代入的直线方程中可得， 所以直线的方程即为， 联立，消去整理可得； 由韦达定理可得, 所以， 原点到直线的距离为， 因此的面积 ； 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最大值为，即D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【解题思路】设平面内的动点，根据列式可得点的轨迹是为圆心，半径为的圆，即可求解周长. 【解答过程】设平面内的动点，由得， 所以， 化简得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以周长是. 故答案为：. 13．（23-24高二下·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 2 . 【解题思路】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【解答过程】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2. 14．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为 . 【解题思路】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得. 【解答过程】依题意，直线都与椭圆相切， 因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外， 又动点P在直线上，因此直线与圆相离， 于是，解得，则，解得， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点，动点P满足， (1)求动点P的轨迹方程； (2)设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【解题思路】（1）直接根据条件列式，化简整理可得曲线的方程，进而判断曲线类型； （2）分为两种情况讨论：若直线的斜率不存在，直接验证即可；若直线的斜率存在，设直线的方程为，由弦长可得圆心 到直线的距离，列出方程可求得，从而得出答案. 【解答过程】（1）由题知，设点， 由，则，所以， 即，整理得， 所以曲线是圆心为，半径等于的圆， 故曲线的方程为：. （2）如图， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为：， 曲线截所得弦长等于，所以，解得：， 圆心 到直线的距离， 所以，解得， 则直线的方程为：，即 综上，直线的方程为：或. 16．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 【解题思路】（1）设，结合题意可得，化简即可得解； （2）将直线方程代入圆的方程中，借助韦达定理计算即可得. 【解答过程】（1）设，因为， 所以， 化简得， 故曲线的方程为； （2）若直线垂直于轴，则，，，四点共线，不能构成三角形；    故可设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， ， 则，， 又，, ，故， 因为，故， 则， 故， 则有， 可得，故， 则直线方程为. 17．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【解题思路】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 18．（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 【解题思路】 （1）解法1：设出，根据得到方程，求出轨迹方程； 解法2：由阿波罗尼圆的定义得到，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上，求出该圆与轴的两交点，故的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程； （2）两圆相减得到直线的方程，并利用点到直线距离公式求出答案. 【解答过程】（1）解法1：设顶点，则， 故，化简得的轨迹方程为. 解法2：由阿波罗尼圆的定义，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上， 设圆与轴的两交点为， 根据得，，解得或9， 故当或时，都满足， 所以顶点的轨迹是以为直径的圆，其方程为. （2）将圆和相减可得， 即所求直线的方程为. 圆心到的距离. 19．（2024·陕西西安·一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值. 【解题思路】（1）由题意得到方程组，求得，即可求得的标准方程； （2）设，直线为，联立方程组，取得，得到，得出直线和的方程，求得，分和的同时存在与其中一个斜率不存在，两种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由题意知，双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为， 可得，解得， 所以的标准方程为：. （2）解：设，直线的方程为， 由，整理得， 因为直线与相交于两点， 所以，且， 由点，当直线的斜率均存在时， ， 所以直线的方程为， 直线的方程为 两方程联立方程组，可得， 显然，可得， 所以， 当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，直线的方程为， 则，所以. 当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，直线的方程为，则，所以，即 综上可得：直线的斜率值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$