2.1坐标法（2知识点+2题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第一册）

2.1坐标法 课程标准 学习目标 1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、 2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、 3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性 重点:两点间的距离公式和中点坐标公式 难点:坐标法在解决几何问题中的运用 知识点01数轴上的基本公式 如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则 (1)向量的坐标为x2-x1; (2)|AB|=||=|x2-x1|; (3)x=. 【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知，，则 ；的中点的坐标为 . 【答案】 4 1 【分析】利用数轴上的距离公式和中点公式，即得解 【详解】由题意，，的中点的坐标为 故答案为：4，1 【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标. 【详解】因为点M在第四象限， 所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为(4，-6) . 故选：A 知识点02平面直角坐标系中的基本公式 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则 (1)=(x2-x1,y2-y1); (2)= (3)x=，y= 【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式直接求解作答. 【详解】点，，所以线段中点的坐标为. 故答案为： 【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知的顶点和重心，则上的中点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式以及重心坐标公式求得结果. 【详解】设，则由重心坐标公式得 再由中点坐标公式得上的中点坐标是 故答案为： 【点睛】本题考查中点坐标公式以及重心坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 难点：含参问题 示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 【题型1：两点间的距离公式】 例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标． 【答案】12;(4) 【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案. 【详解】数轴上两点之间的距离为 , 它们的中点坐标为 ，故中点坐标为（4）. 变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标． 【答案】或 【分析】设点，可得，求解即可 【详解】由题意，设点 故 即 解得：或 故点P的坐标为或 变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，，且，求x的值. 【答案】2 【分析】根据数轴上两点数量的坐标表示，即可求解. 【详解】因为数轴上,且, 所以， 解得：. 变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d． （1）若，求c的值； （2）若，求d的值； （3）若，求证：． 【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 【分析】（1）由，根据向量的坐标运算，得到，即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）由，，，得到，分别求得和的坐标，即可求解. 【详解】由题意，数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d， （1）因为，所以，解得． （2）因为，所以，即或，解得或． （3）因为，，， 所以，即， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为，，根据下列条件，分别求点A的坐标． （1），的坐标为-3； （2），． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由向量的坐标为，即可求解； （2）由，即可求解. 【详解】由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为，， （1）由向量的坐标为，所以． （2）由，解得或． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则（    ） A．-3 B．3 C．6 D．-6 【答案】B 【分析】根据数轴上向量的坐标表示，求得向量的坐标，即可求解. 【详解】由题意，． 故选:B． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，，，则点C的坐标为 ． 【答案】-4或或6或10 【分析】设A，C的坐标分别为，，根据数轴上向量的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设A，C的坐标分别为，， 则或，∴或， ∴，或， 或，或， 解得或或或． 故答案为：-4或或6或10 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 【方法技巧与总结】 对两点间距离公式的几点说明 （1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|= （2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广. （3）若B点为原点，则AB=|OA|= （4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1| (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1| 【题型2：中点坐标公式的应用】 例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则的坐标为 A．17 B．1 C．-1 D．-17 【答案】B 【分析】先求得的坐标为，向量的坐标为，进而可求解的坐标，得到答案. 【详解】由题意，可得的坐标为，向量的坐标为， 所以向量的坐标为． 故选:B． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，则线段AB的中点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】由，， 利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标，即. 故选：A. 变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段的端点及中点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】设 ，的端点及中点，则 ，解得：，故点的坐标为. 故选：B. 变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】由，， 则线段中点的坐标为. 故选：D 变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= . 【答案】0 【分析】由中心对称的含义即得. 【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心， ∴b+4=2×2，即b=0. 故答案为：0. 变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】设，，， 因为三边AB，BC，CA的中点分别为，，， 由中点坐标公式可得，，，解得，，， 故顶点A的坐标为. 故答案为：. 变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若，是平行四边形的两个顶点，与交于点，则C，D的坐标分别为 . 【答案】/， 【分析】利用为的中点，以及中点坐标公式，即得解 【详解】由题意，为的中点，不妨设 由中点坐标公式： ，即 ，即 故答案为：， 变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标分别为，求D点坐标． 【答案】 【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设，在的三个顶点坐标分别为， 根据平行四边形的对角线互相评分，可得，解得， 所以D点的坐标是． 【方法技巧与总结】 中点公式的两个应用 （1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量. （2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点. 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案. 【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即. 故选：A. 2．（2020高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标 【详解】设，则，，∴，， ∴点， 故选：D. 3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据中点坐标公式可得，即可得答案； 【详解】 ，故. 故选：D. 【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题. 4．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（    ） A．-1 B．-7 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标， 即，解得． 故选:B． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 5．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则向量的坐标为 A．4 B．-4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的运算，结合数轴行向量的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算， 所以向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即． 故选:B． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及数轴上向量的坐标表示，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、多选题 6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（    ） A．的坐标的坐标 B． C．的坐标 D．的坐标 【答案】BC 【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误. 【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故坐标坐标，A不正确； 数轴上两点间的距离一定是非负的，，B正确； 的坐标，C正确； 的坐标，D不正确. 故选：BC. 7．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BCD 【分析】化简 ，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，可得 ， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确， 故答案为：BCD. 【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题. 三、填空题 8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b， 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 9．（19-20高二·全国·课后作业）已知点，，，则△中边上的中线长 ，△的面积为 ． 【答案】 4 【解析】由中点坐标公式，可求出点的坐标，进而利用两点间距离公式可求出，计算可知，即△为等腰三角形，由，求解即可. 【详解】设的中点的坐标为，则， 即的坐标为，则. 又， ，， 所以，即△为等腰三角形， 所以为底边上的高，且. 故答案为：；4. 【点睛】本题考查三角形的中线及三角形的面积，考查坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知，在y轴上的点P满足，求P的坐标． 【答案】 或 【分析】设出点P坐标，根据列出方程，解方程可得答案. 【详解】由题意可设点P坐标为 ， 由得： , 即 ， 解得 或 ， 故P的坐标 为 或. 11．（21-22高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为和的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为． (1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明． (2)设A和B两点的坐标分别为和2，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)等号成立，点C的范围是；等号不成立，点C的范围是 【分析】（1）讨论点C与A和B两点的位置关系，根据绝对值定义的两点间的距离，可以证明结论； （2）由（1）的证明过程可得等号成立或不成立时的点C的位置情况，由此可得答案. 【详解】（1）证明：设 ， 不妨设 ，则， 当 在 之间时，, 此时; 当 不在 之间时，不妨假设， 此时， 故， 即， 同理可证当时，也有成立， 同理可证当时，也有上述结论成立， 综合上述; ; （2）当A和B两点的坐标分别为和2时， 由（1）的证明可知，当点C位于A和B两点之间或者与A和B两点重合时，等号成立， 此时点C的范围是 , 当点C位于A和B两点之外时，等号不成立，此时点C的范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1坐标法 课程标准 学习目标 1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、 2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、 3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性 重点:两点间的距离公式和中点坐标公式 难点:坐标法在解决几何问题中的运用 知识点01数轴上的基本公式 如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则 (1)向量的坐标为x2-x1; (2)|AB|=||=|x2-x1|; (3)x=. 【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知，，则 ；的中点的坐标为 . 【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点02平面直角坐标系中的基本公式 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则 (1)=(x2-x1,y2-y1); (2)= (3)x=，y= 【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为 . 【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知的顶点和重心，则上的中点坐标是 ． 难点：含参问题 示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【题型1：两点间的距离公式】 例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标． 变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标． 变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，，且，求x的值. 变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d． （1）若，求c的值； （2）若，求d的值； （3）若，求证：． 变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为，，根据下列条件，分别求点A的坐标． （1），的坐标为-3； （2），． 变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则（    ） A．-3 B．3 C．6 D．-6 变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，，，则点C的坐标为 ． 【方法技巧与总结】 对两点间距离公式的几点说明 （1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|= （2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广. （3）若B点为原点，则AB=|OA|= （4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1| (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1| 【题型2：中点坐标公式的应用】 例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则的坐标为 A．17 B．1 C．-1 D．-17 变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，则线段AB的中点坐标为(    ) A． B． C． D． 变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段的端点及中点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= . 变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若，是平行四边形的两个顶点，与交于点，则C，D的坐标分别为 . 变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标分别为，求D点坐标． 【方法技巧与总结】 中点公式的两个应用 （1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量. （2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点. 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2020高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 4．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（    ） A．-1 B．-7 C．4 D．-4 5．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则向量的坐标为 A．4 B．-4 C． D．2 二、多选题 6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（    ） A．的坐标的坐标 B． C．的坐标 D．的坐标 7．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 三、填空题 8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 9．（19-20高二·全国·课后作业）已知点，，，则△中边上的中线长 ，△的面积为 ． 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知，在y轴上的点P满足，求P的坐标． 11．（21-22高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为和的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为． (1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明． (2)设A和B两点的坐标分别为和2，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$