第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线方程为，代入点的坐标求得C，即可得出答案. 【解答过程】设所求直线方程为， 又过点，则可得，解得， 则所求直线方程为 故选：A. 2．（5分）（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【解答过程】由， 得， 即, 解得 故选：C 3．（5分）（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【解答过程】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 4．（5分）（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【解题思路】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【解答过程】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 5．（5分）（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【解答过程】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 6．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于的方程组，解之即可得解. 【解答过程】因为点在圆上的动点，点满足， 设，，则， 所以，即， 代入圆的方程，可得，即， 可得两圆的公共弦的方程为，即， 又因为两圆的公共弦的方程为，可得 ，解得. 故选：C. 7．（5分）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点. 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【解答过程】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 8．（5分）（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知直线：与圆心为且半径为的圆相交于，两点，直线：与圆交于，两点，则四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知可得圆的方程，求得交点，坐标，进而可得与中点坐标，求得直线恒过定点，当与垂直时，四边形的面积最大，可求得四边形的面积的最大值． 【解答过程】解：根据题意，圆的圆心为且半径为， 所以圆的方程为，即， 直线：与圆相交于，两点， 则有，解得或，所以、的坐标为，， 则，且的中点为， 直线：，变形可得，直线恒过定点， 当与垂直时，四边形的面积最大， 此时的方程为，变形可得，经过点， 所以， 故四边形的面积的最大值， 故， 所以四边形的面积的最大值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 【解题思路】对于，通过是否成立来判断；对于B，将代入即可判断；对于C，将直线变形为，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解. 【解答过程】对于，当时，那么直线为， 直线为，此时两直线的斜率分别为和， 所以有，所以，故A选项正确； 对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误； 对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，故C选项正确； 对于，当平行时，，解得：或， 当时，两直线重合，舍去； 当时，直线为为， 此时两直线的距离，故D选项正确. 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【解题思路】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【解答过程】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【解题思路】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【解答过程】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 【解题思路】利用斜率公式结合给定条件求出目标直线的斜率和定点，写出方程即可. 【解答过程】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 【解题思路】首先求点关于直线的对称点，再根据点也在反射光线上，即可求解. 【解答过程】设点关于直线的对称点， 则，解得：，即， 点在反射光线上，则， ，整理为， 所以反射光线所在直线方程的一般式为. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 【解题思路】根据圆的切线的几何性质可推出，可看作点到的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【解答过程】由题意知的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， ， 则， 设，则， 当且仅当三点共线时取等号， 此时的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二·全国·课后作业）已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【解题思路】（1）根据斜率公式运算求解； （2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解. 【解答过程】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是．    16．（15分）（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1） ， ，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2） ， ，若，则，由此求参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 17．（15分）（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解； （2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性． 【解答过程】（1）圆：即， 当时，圆：， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为， 圆：的圆心，半径， 圆心到公共弦所在直线的距离， 则两圆的公共弦长为. （2）不存在，理由如下： 圆：可化为， 则圆心，半径， 又圆：的圆心，半径， 假设存在实数a，使得圆和圆内含， 则圆心距， 即，此不等式无解， 故不存在实数a，使得圆和圆内含. 18．（17分）（23-24高二上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上． （1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程 （2）当时，求折痕长的最大值． 【解题思路】当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为，即可得出． 当时，折痕长为当时，折痕所在直线交BC于，交y轴于利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出． 【解答过程】解：（1）①当时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为． ②当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，， 所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有， 故点G的坐标为， 从而折痕所在的直线与OG的交点线段OG的中点为， 故折痕所在直线的方程为，即． 综上所述，折痕所在直线的方程为． 当时，折痕的长为 当时，折痕所在的直线交直线BC于点，交y轴于点． , ,则在上， ，， 的取值范围为， 故点M在线段上． ， 折痕长度的最大值为 而，故折痕长度的最大值为 19．（17分）（23-24高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【解题思路】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【解答过程】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 5．（5分）（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点. 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知直线：与圆心为且半径为的圆相交于，两点，直线：与圆交于，两点，则四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 10．（6分）（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 11．（6分）（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 13．（5分）（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 14．（5分）（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二·全国·课后作业）已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 16．（15分）（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 17．（15分）（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 18．（17分）（23-24高二上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上． （1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程 （2）当时，求折痕长的最大值． 19．（17分）（23-24高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$