第07讲 直线与圆、圆与圆综合问题（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第07讲 直线与圆、圆与圆综合问题 【人教A版2019】 模块一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 3．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 4．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 5．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【题型1 直线与圆的位置关系的判断】 【例1.1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【解题思路】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【解题思路】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C. 【例1.2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【解题思路】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解. 【解题思路】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 【变式1.1】（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立. 【解题思路】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1.2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【解题思路】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交. 【解题思路】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交. 故选：C. 【题型2 弦长问题】 【例2.1】（2024·湖北·模拟预测）过三点，，的圆与直线交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出圆的方程，再利用弦长公式求解作答. 【解题思路】依题意，设圆的方程为：，， 于是，解得， 则圆的方程为，即，其圆心为，半径， 点到直线的距离为， 所以. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【解题思路】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【解题思路】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解题思路】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 【题型3 切线问题、切线长问题】 【例3.1】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【解题思路】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 【例3.2】（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【解题思路】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 【变式3.1】（2024·广西南宁·一模）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】当斜率不存在时可知满足题意；当斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程. 【解题思路】当过的直线斜率不存在时，方程为，与圆相切，满足题意； 当过的直线斜率存在时，设方程为，即， 圆的圆心到的距离，解得：， ，即； 直线的方程为或. 故选：C. 【变式3.2】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 【解题思路】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 【例4.1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解. 【解题思路】若，则圆心到直线的距离， 则圆上恰有两个点到直线的距离等于， 反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于， 则，即或，不一定， 所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件. 故选：A. 【例4.2】（23-24高三上·贵州贵阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程分别为、，由题意可知，这两条直线与圆都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解题思路】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为， 设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为， 则，解得或， 所以，直线、均与圆相交， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式4.1】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【解题思路】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可. 【解题思路】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 【变式4.2】（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出平行于直线且距离为2的直线方程，再求出与圆心较近的直线与圆相交，另一条平行直线与圆相离的的范围. 【解题思路】圆的圆心，半径， 设与直线平行且距离为2的直线方程为， 则，解得，直线，， 点到直线的距离，到直线的距离， 由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，得圆与直线相交，且与直线相离， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【题型5 直线与圆中的面积问题】 【例5.1】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解题思路】由圆，可得圆心，半径为， 设点到直线的距离为，圆心到直线l的距离为， 可得，则， 又由，所以面积的最大值为. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由圆的切线性质，四边形的面积，当时，最小，即可求出. 【解题思路】由圆的切线性质，四边形的面积 ， 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二下·河南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 【解题思路】（1）设出点坐标，由题意得到点坐标，代入圆的方程可得； （2）先求出直线过定点，确定过点的弦的最小值，再求三角形高的最大值，从而确定所求三角形面积的最大值. 【解题思路】（1）由题意，设，由，得, 为圆：上的动点，所以， 所以点的轨迹方程为：. 即曲线的方程为：. （2）将的方程整理为， 令解得所以过定点. 如图： 当时，取得最小值，此时，所以，解得， 直线的方程为， ，. 由（1）可知，曲线是圆心为，半径为3的圆，点到的距离为，所以点到的距离， 故面积的最大值为. 【变式5.2】（23-24高二上·广西南宁·开学考试）已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【解题思路】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可， （2）当时，直线的方程为，而四边形的面积，由圆的性质可得当最小时，切线长最短，此时，求出直线的方程，联立两直线方程可得点的坐标. 【解题思路】（1）由已知，圆心到直线：的距离等于半径， 即. 解得：或. （2）当时，直线的方程为，四边形的面积 ∵为直角三角形， 当最小时，切线长最短，显然当时， ∴ 四边形的面积最小值为. 此时，，， ∴直线：，即. 由，解得，即. 【题型6 直线与圆中的最值问题】 【例6.1】（24-25高一上·湖南·开学考试）如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，设，计算，并将表示为关于的函数，然后转化为动点到两定点的距离即可. 【解题思路】如图①所示，分别以为轴建立平面直角坐标系，连接, 则,，直线 所以， ， 即 故上式相当于点到点的距离之和，且， 即, 如图②所示，作关于轴的对称点， 则, 所以. 所以的最小值为. 故选：B. 【例6.2】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 【解题思路】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B. 【变式6.1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【解题思路】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 【变式6.2】（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【解题思路】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【解题思路】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 【题型7 直线与圆中的定点定值问题】 【例7.1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标． 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可； （2）设出直线的方程和直线的方程，分别与圆的方程联立写出的坐标，进而写出直线的方程，化简即可证明直线经过定点，并求出定点的坐标. 【解题思路】（1）因为圆心在直线上，设圆心为 又因为圆经过点 则，解得， 所以圆心半径为， 所以圆的标准方程为 （2）由圆与轴分别交于两点，不妨设， 又为直线上的动点，设，则 则方程为，方程为， 设， 联立方程，解得， 所以，即，即. 联立方程，解得， 所以，即，即. 当时， ， 所以直线的方程为 化简得所以直线过定点. 当时，，此时过定点. 综上，直线过定点.    【例7.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【解题思路】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程； （3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可. 【解题思路】（1）解：设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆 轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）解：因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，    因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 【变式7.1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点 ，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【解题思路】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【变式7.2】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【解题思路】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 模块二 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 3．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型8 圆与圆的位置关系的判断】 【例8.1】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【解题思路】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【解题思路】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D. 【例8.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【解题思路】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【解题思路】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 【变式8.1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【解题思路】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【解题思路】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 【变式8.2】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【解题思路】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系. 【解题思路】圆： ，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D. 【题型9 两圆的公共弦问题】 【例9.1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【解题思路】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 【例9.2】（2024·河南·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解. 【解题思路】将两圆方程相减可得直线的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为， 则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：D. 【变式9.1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【解题思路】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D. 【变式9.2】（23-24高二上·四川巴中·期中）已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（    ）个. （1）若在内，则； （2）当时，与共有两条公切线； （3）当时，与的公共弦所在直线方程为； （4），使得与公共弦的斜率为. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据点与圆的位置关系判断方法判断（1）；利用两圆的位置关系判断（2）； 通过判断圆与圆的位置关系确定与的公共切线的条数，通过将两圆方程相减， 确定两圆的公共弦的方程，判断（3）（4）. 【解题思路】因为：，：， 所以：，：， 则，，，，则， 由在内，可得，即，故（1）错误； 当时，，，，， 所以，所以两圆相交，共两条公切线，故（2）正确； 当时，：，：，两圆相交 由，得：，即故（3）正确； 公共弦所成直线的斜率为，令，无解，故（4）错误. 故选：B. 【题型10 两圆的公切线问题】 【例10.1】（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【解题思路】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B. 【例10.2】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解题思路】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式10.1】（2024高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解题思路】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式10.2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两圆有四条公切线得两圆外离，由两圆的位置关系可得答案. 【解题思路】因为两圆有四条公切线，所以两圆外离， 因为圆的圆心为，半径为4， 圆，可得， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，代入原点求出距离和半径对比可判断. 【解题思路】由圆的标准方程，知圆心为， 则原点与圆心的距离为，因为， 所以，即原点在圆外. 故选：B. 2．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【解题思路】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【解题思路】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【解题思路】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 【解题思路】由圆的方程，得圆心，半径， 如图，切线长，当最小时，最小， 最小值为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值. 故选：C.    5．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【解题思路】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D. 6．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【解题思路】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 7．（23-24高三上·山东临沂·期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求以为直径的圆的方程，再让两圆相减得到直线的方程，即可求解直线所过的定点. 【解题思路】以为直径的圆的方程为， 即，圆， 两圆方程相减就是直线的方程，即可， 整理为， 联立，得， 所以直线恒过定点. 故选：A. 8．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系求解即可. 【解题思路】因为的圆心为， 圆的圆心为， 因为直线为圆的切线，所以，， 又因为，所以， 可得，又， 所以，且平分， 所以， 则， 则最小值即的最小值， 即圆心到的距离， 所以， 所以的最小值为， 故选：B.    二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）（多选）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆上有且只有一个点满足，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．3 D．5 【解题思路】设，由两点间的距离公式得，又圆上有且仅有一点P满足条件，分两圆外切和内切，即可得到答案. 【解题思路】设，由， 得， 整理得， 又圆上有且仅有一点满足， 所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得. 综上可知，或. 故选：AD. 10．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【解题思路】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解. 【解题思路】对于选项A，直线的方程可化为 ，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【解题思路】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【解题思路】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 0或 . 【解题思路】首先利用弦长公式求圆心到直线的距离，再设直线的方程，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【解题思路】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【解题思路】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【解题思路】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，延长至使，那么点到距离的最大值与最小值之积为 . 【解题思路】根据题意，设，则，从而可求点的坐标，消元后得的轨迹方程为，其中，结合图象可求点到的距离的最大、最小值. 【解题思路】根据题意，设， 则， 此时令，由， 则， 消去可得的轨迹方程为，其中， 如图，,, 点到的距离的最小值为， 又, 所以点到的距离的最大值为， 所以距离的最大值与最小值之积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【解题思路】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【解题思路】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解题思路】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解题思路】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 18．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【解题思路】（1）计算出弦长后，圆心，借助公共弦的性质及题目所给条件计算即可得； （2）设点到的距离为，到的距离为，借助垂径定理及面积公式表示出四边形面积后，借助二次函数的性质计算即可得. 【解题思路】（1）由，可得其圆心为，半径， 点到的距离为， 故， 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，所以，解得，即， 到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （2）假设点到的距离为，到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 所以，所以四边形面积的最大值14，最小值． 19．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 【解题思路】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程； （2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证. 【解题思路】（1）因为是弦的中点， 所以，即， 所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为. （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 代入，得. 设，，则，是方程的两解， 则，，， 根据根与系数的关系，得， 即. 若，则直线过点，舍去； 所以，即， 直线的方程为，故直线过定点. 当直线斜率不存在时，设直线：， 与曲线的方程联立，可得，，则，解得， 故直线的方程为，恒过点. 综上，直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线与圆、圆与圆综合问题 【人教A版2019】 模块一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 3．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 4．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 5．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【题型1 直线与圆的位置关系的判断】 【例1.1】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【例1.2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【变式1.1】（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【题型2 弦长问题】 【例2.1】（2024·湖北·模拟预测）过三点，，的圆与直线交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2.1】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2.2】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 切线问题、切线长问题】 【例3.1】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例3.2】（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·广西南宁·一模）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3.2】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 【例4.1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例4.2】（23-24高三上·贵州贵阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【变式4.2】（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 直线与圆中的面积问题】 【例5.1】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二下·河南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 【变式5.2】（23-24高二上·广西南宁·开学考试）已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【题型6 直线与圆中的最值问题】 【例6.1】（24-25高一上·湖南·开学考试）如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【变式6.1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【变式6.2】（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【题型7 直线与圆中的定点定值问题】 【例7.1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标． 【例7.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【变式7.1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式7.2】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 模块二 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 3．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型8 圆与圆的位置关系的判断】 【例8.1】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【例8.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【变式8.1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【变式8.2】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【题型9 两圆的公共弦问题】 【例9.1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【例9.2】（2024·河南·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（23-24高二上·四川巴中·期中）已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（    ）个. （1）若在内，则； （2）当时，与共有两条公切线； （3）当时，与的公共弦所在直线方程为； （4），使得与公共弦的斜率为. A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10 两圆的公切线问题】 【例10.1】（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例10.2】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式10.1】（2024高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 2．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 5．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 6．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·山东临沂·期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）（多选）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆上有且只有一个点满足，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．3 D．5 10．（23-24高二下·河南·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 三、填空题 12．（23-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，延长至使，那么点到距离的最大值与最小值之积为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 18．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 19．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$