第06讲 直线的交点坐标与距离公式（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第06讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版2019】 模块一 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线. 【题型1 直线的交点坐标问题】 【例1.1】（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【例1.2】（2024高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 直线系方程】 【例2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【例2.2】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式2.2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型3 点到直线的距离公式的应用】 【例3.1】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【例3.2】（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高三上·陕西西安·期中）费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当的三个内角都小于时，在内部存在唯一的点，使到三角形三个顶点距离之和最小，且点满足：.在直角坐标系内，的费马点为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【题型4 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例4.1】（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【变式4.1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·天津和平·开学考试）已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【题型5 与距离有关的最值问题】 【例5.1】（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【例5.2】（2024·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 【变式5.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线方程为. (1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 【变式5.2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 模块三 点、线间的对称关系 1．点关于点的对称 2．直线关于点的对称 3．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线的对称 5．六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 【题型6 点（或直线）关于点对称】 【例6.1】（23-24高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式6.1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【变式6.2】（19-20高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 【题型7 点关于直线对称】 【例7.1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高二·全国·课后作业）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B．5 C． D． 【题型8 直线关于直线的对称问题】 【例8.1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【变式8.2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直角坐标平面内的两点. (1)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； (2)一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 6．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 7．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 二、多选题 9．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 10．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 11．（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 13．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 16．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 18．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 19．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版2019】 模块一 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线. 【题型1 直线的交点坐标问题】 【例1.1】（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【解答过程】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D. 【例1.2】（2024高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 【解答过程】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，    ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【解题思路】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【解答过程】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【解答过程】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D. 【题型2 直线系方程】 【例2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【例2.2】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【解答过程】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【解题思路】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【解答过程】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式2.2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【解题思路】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【解答过程】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为：. 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型3 点到直线的距离公式的应用】 【例3.1】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【解题思路】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【解答过程】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标. 【解答过程】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出点坐标，利用点到直线的距离公式可得，再根据的范围可得答案. 【解答过程】由，解得， 可得， 则到直线的距离， 因为，所以，所以. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高三上·陕西西安·期中）费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当的三个内角都小于时，在内部存在唯一的点，使到三角形三个顶点距离之和最小，且点满足：.在直角坐标系内，的费马点为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【解题思路】确定，直线的方程为，再计算点到直线的距离即可. 【解答过程】如图所示：为等腰三角形，轴于，是中点， 故，，故，    ，直线的方程为，即， 故点到直线的距离为. 故选：D. 【题型4 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例4.1】（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【解答过程】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【解题思路】利用平行线间的距离公式求解即可. 【解答过程】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】由两平行直线间的距离定义和公式可求. 【解答过程】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值， 其最小值为平行直线 与的距离， 直线的方程可化为， 所以 故选：C. 【变式4.2】（23-24高二上·天津和平·开学考试）已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论. 【解答过程】直线与直线平行且两者之间的距离是， ，(负值舍去)， . 故选：B. 【题型5 与距离有关的最值问题】 【例5.1】（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【解题思路】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【解答过程】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 【例5.2】（2024·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 【解题思路】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果. 【解答过程】令，，由已知可得点，分别在直线，上， 设线段的中点为，则， 到原点的距离， 依题意点在直线上， 所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为， 因此的最小值为，因此的最小值等于. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线方程为. (1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 【解题思路】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时即可． 【解答过程】（1）由直线方程得 ， 因为，所以，解得， 所以直线恒过定点； （2）由（1）知，直线恒过定点， 则直线与已知直线垂直时，点到已知直线距离最大， 可知就是所求最大值， 直线的方程为，即， 因为直线与已知直线垂直， 所以，解得； 且. 【变式5.2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【解题思路】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程； （2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 模块三 点、线间的对称关系 1．点关于点的对称 2．直线关于点的对称 3．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线的对称 5．六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 【题型6 点（或直线）关于点对称】 【例6.1】（23-24高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【例6.2】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【解答过程】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【变式6.1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【解题思路】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【解答过程】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为：. 【变式6.2】（19-20高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 【解题思路】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【解答过程】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为：. 【题型7 点关于直线对称】 【例7.1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【解答过程】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【例7.2】（23-24高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程. 【解答过程】过作关于直线的对称点，则在直线上， 设，根据且的中点在直线上，得， 解得，所以， 又，所以直线方程为，故方程为， 故选：D. 【变式7.1】（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作点关于直线对称的点，连接交直线于点，求出坐标即可. 【解答过程】 由题直线分别与轴交于两点， 则， 设点关于直线对称的点为， 则，所以， 则直线， 联立， 所以. 故选：A. 【变式7.2】（23-24高二·全国·课后作业）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B．5 C． D． 【解题思路】利用点关于直线对称点，找出最短路程. 【解答过程】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程. 如图所示， 设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【题型8 直线关于直线的对称问题】 【例8.1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 【例8.2】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【解答过程】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故选：A. 【变式8.1】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【解题思路】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【解答过程】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【变式8.2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直角坐标平面内的两点. (1)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； (2)一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 【解题思路】（1）求出直线的斜率，进而求出方程； （2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程． 【解答过程】（1）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为， 由直线方程的点斜式得直线的方程为， 即； （2）设关于轴的对称点为，则点， 所以， 则直线， 即反射光线所在的直线方程为． 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解. 【解答过程】解：∵直线与直线平行， ∴，解得， ∴直线， 又∵直线可化为， ∴两平行线之间的距离． 故选：C． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【解答过程】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可. 【解答过程】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【解题思路】求出直线过定点.然后可知当时，点到直线l：的距离最大，进而根据两点间的距离公式得出最值.根据斜率公式，以及两条直线的位置关系得出直线的斜率，代入整理即可得出答案. 【解答过程】将直线l：变形可得， 解可得，所以直线过定点. 当时，点到直线l：的距离最大，最大值为. 又，直线的斜率为， 所以，，解得， 所以，直线的方程为， 整理可得. 故选：A. 5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【解题思路】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【解答过程】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 6．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）. 【解答过程】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 7．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长. 【解答过程】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【解题思路】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【解题思路】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【解答过程】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 10．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【解题思路】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【解答过程】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【解题思路】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 或 ． 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 13．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 或 . 【解题思路】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【解答过程】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【解题思路】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．. 【解答过程】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 15．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【解题思路】（1）利用两直线平行，斜率相等，得到，解得或，再检验即可得出，能平行，利用两平行线间的距离公式即可求出结果； （2）根据条件，得出直线过定点，从而得到：当时，原点到的距离最大，进而可得出直线的方程为. 【解答过程】（1）因为，所以直线的斜率为， 又，若，则斜率必存在，所以且斜率为， 由，得到或， 当时，，，此时与重合，不合题意， 当时，，，此时，所以，能平行， 两平行线之间的距离为. （2）由，得到，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 此时直线的斜率为，直线的斜率不存在， 所以此时的直线的方程为. 16．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【解题思路】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【解答过程】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【解题思路】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【解答过程】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 18．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 19．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【解题思路】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案； （2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论. 【解答过程】（1）因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以． （2）设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或． 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即， 所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去）， 联立方程和，解得， 所以即为同时满足条件的点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$