第12讲直线的交点坐标与距离公式讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的交点坐标与距离公式核心知识点，系统梳理直线交点（含直线系方程）、两点间距离、点到直线距离、平行线间距离及对称问题（点与直线的对称）。承接直线方程基础，搭建从方程求解到几何度量再到变换应用的学习支架，为解析几何后续学习铺垫。 资料通过“知识再现”模块系统梳理概念，分题型设计例题与变式训练。对称问题中表格归纳特殊位置对称点，培养几何直观（数学眼光）。题型从基础到综合，如三条直线构成三角形的条件分析，提升推理能力（数学思维）。课中助力分层教学，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

第12讲 直线的交点坐标与距离公式 知识再现 一．两条直线的交点坐标 1、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 注意：若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 2、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 二，两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 三， 点到直线的距离 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． 四 ，两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 五，对称问题 1．点关于点的对称 2．直线关于点的对称 3．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线的对称 题型一：两条直线的交点问题 例1.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 解析：联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：B. 例2.已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为，故选：B. 例3.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 解析：联立，解得，故两直线的交点为. 因为交点在第一象限，所以，解得.故选：A. 变式训练 1.已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以.故选：C 2.若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得，由题知，解得，即实数a的取值范围为.故选：A 3.若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或.故选：C. 题型二：三条直线的相交问题 例4.若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C. 例5.已知直线和能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 解析：已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形，若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且．故选：C． 变式训练 1.已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 代入得：.故选：C 2.若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由 得 所以两条直线交于点， 当也过时，， 解得，此时三条线交于同一点，不能构成三角形， 当与平行时，有，则，也不能构成三角形， 当与平行时，由，则，也不能构成三角形， 所以，故选：B 题型三：直线的交点系方程 例6.设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 解析：方法一：由，得，所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 例7.经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上，，解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 变式训练 1.过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则，所以所求直线为. 故答案为： 2.已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）. 【分析】（1）利用两直线的斜率即可判定，联立方程即求； （2）利用点斜式即求或设直线系方程即得. 【详解】（1）∵， ∴两直线相交，联立两直线方程得解得即两直线交点为. （2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即. 解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为， 整理得， ∴，∴， 整理得所求直线方程为. 题型四：两点间的距离公式 例8.三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 解析：由题设，则. 故选：B. 例9.已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，解得，故， 则两点间的距离为.故选：C 例10.在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为，故选：C. 变式训练 1.已知，，，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式计算出，，的长度即可判断 【详解】，，， ，，，， 是直角三角形．故选：A． 2.已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等. 【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）， 有，，则， ，，， 所以四边形ABCD是梯形. 故选：A. 3.已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点C在x轴上，设点，则， 所以， 化简可得：，所以. 故选：D. 题型五：点到直线的距离公式 例11.点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故答案为：. 例12.已知到直线的距离等于4，则a的值为 ． 【答案】10或 【分析】利用点到直线距离公式可直接构造方程求得a的值． 【详解】由到直线的距离等于4， 则，解得或．故答案为：10或． 例13.已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或.故选：C. 变式训练 1.已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 解析：根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为.故选：C. 2.已知、、，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据两点间距离公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由、可得直线方程为， 由、可得， 点到直线的距离为：， 所以的面积为， 故答案为： 3.已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)面积的最小值为 【分析】（1）判断出直线过定点，在根据直线不经过第四象限求得的取值范围. （2）求得两点的坐标，从而求得面积的表达式，利用利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）直线，即， 所以直线过定点，是直线的斜率，所以. （2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以 取；取； 所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立. 题型六：平行线间的距离公式 例14.两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离.故选：A 例15.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）． A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 解析：因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，即， 所以两平行线之间的距离.故选：B 例16.若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ． 【答案】或 解析：设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图， 两平行线间的距离，则，又， 所以直线与两平行线的夹角满足，则， 因为两平行线斜率为，所以倾斜角为，所以直线的倾斜角为或． 故答案为：或． 变式训练 1.两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为.故选：D 2.已知直线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 解析：在直线上取点， 则与之间的距离即为点到直线的距离， 即为. 故选：A. 3.设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 解析：由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以.故选：C. 题型七：点与直线的对称问题 例17.已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【解析】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以.故选：C. 例18.点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D. 例19.直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 以代换原直线方程中的得，即.故选：D. 例20.直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得， 则直线与直线交于点， 在直线上取点， 设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为.故选：D 变式训练 1.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 解析：, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离.故选：D. 2.直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 解析：设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。故选：B. 3.与直线关于坐标原点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.故选：D. 4.已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 解析：（1）设，由题意可得，解得，的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $第12讲直线的交点坐标与距离公式 知识再现 一。两条直线的交点坐标 1、直线的交点与方程的解 求两直线Ax+By+C1=0(AB,C,≠0)与A2x+B2y+C2=0(AB,C2≠0)的交，点坐标， Ax+By+C=0 只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可. Ax+B3y+C,=0 注意：若有 AB C A B,C, 则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有4-8+二，则方程组无解，北时两直线平行； A B2 C2 苦有1+。，则方程组山唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐麦 2、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线 系方程中除含有x,y以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数. 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系 经过两直线1：Ax+By+C,=0,I2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为 Ax+By+C,+1(A2x+B2y+C2)=0,其中1是待定系数 在这个方程中，无论1取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线2 二，两点间的距离 1、距离公式：平面内两点(x,y),P2(x2,y》2)间的距离公式为： 1PP=Vx-x2)2+(y-2)2 【注意】公式中卫和卫位置没有先后之分，也可以表示为： P=Vx2-x2+(y2-y)2 三，点到直线的距离 1、定义：过一，点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该，点到直线的距离，即垂 线段的长度。 Ax+By。+C 2、距离公式：点P(x,y)到直线：Ax+By+C=0的距离d= A2+B2 第1页共16页 【注意】(1)直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式 (2)点到直线的距离是直线上的，点与直线外一点的最短距离， 四，两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公亚线段的长 2、距离公式：两条平行直线l:Ax+By+C,=0,2:Ax+By+C2=0(C,≠C2), 它们之间的距离为：d=lS-C V4+B 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x和y的系数对应相等， 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为，点到直线的距离，在任一条直线上任取一，点（一 般取直线上的特殊，点)，此，点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离， 五，对称问题 1.点关于点的对称 求点P关于点A(α，b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP'的中点来求解 设P(xo,o),对称中心为A(a,b),则P关于A的对称点为P(2a-xo,2b一yo). 2.直线关于点的对称 求直线I关于点A(a,b)对称的直线I'的步骤： (1①)由平行直线系设出直线'的方程； (2)在1上任取一点P(x,y),求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y); (3)将P的坐标代入直线'的方程，求出参数，得到'的方程. 3.两点关于某直线对称 第2页共16页 设点A(xo,o)关于直线1的对称点为B(x,y). x+xo=t (I)直线I的斜率不存在时，设直线：x=t, 2 y=yo X=Xo (2)直线l的斜率为0时，设直线y=t,则 y+yo=t' 2 (3)直线1的斜率存在且不为0时，设点A(xo,%)关于直线I:Ax十By+C=0的对称点为B(x,y). kAB·k=-1 则 A· x十+B.y十必+C=0'由此可求出B(x川. 2 2 A(xo,o)】 4() B(x,y) 1 ·B(x,y) (④)几种特殊位置的对称： 皮 对称轴 对称点坐标 x轴 (a,-b) y轴 (a,b) y=x (b,a) P(a,b) y--x (b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n血≠0) (a,2n-b) 4.直线关于直线的对称 第3页共16页 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线，与对称轴I相交于点P,则交点P必在1关于I对称的直线l2上，再求出11上除点P外 任意一个已知点P关于I对称的点P2,那么经过交点P及点P的直线就是I2 (2)若已知直线1，与对称轴1平行，则11关于1对称的直线12到直线1的距离和11到直线1的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出1关于1对称的直线l2. 题型一：两条直线的交，点问题 例1.过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点，且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是 (). A.2x-y+3=0 B.2x-y+5=0 C.x+2y-4=0 D.2x-y-3=0 例2.已知直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直，则它们的交，点坐标为（) A.（-1,-3) B.(-2,-1 c.（ D.(-1,-2 第4页共16页 例3，若直线y=x+2k十1与直线y=-x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范国 () A.（-,3) B.（-) c.【--打 D [-] 变式训练 1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为P(1,p),则m-n+p的值是() A.24 B.0 C.20 D.-4 2.若直线：ax+y-4=0与直线l2:x-y-2=0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是 () A.（-1,2) B.（-1,+o0 C.（-0,2 D.（-0,-1)U(2,+∞) 3.若三条直线2x+y-4=0,x-y十1=0与ax-y+2=0共有两个交，点，则实数a的 值为() A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1 第5页共16页 题型二：三条直线的相交问题 例4若三条直线2x+y-4=0,x-y十1=0与ax-y+2=0共有两个交点，则实数a 的值为() A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1 例5.已知直线ax+y+1=0,x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围 是() A.a≠-2 B.a≠±l C.a≠-2且a≠±l D.a≠-2且a≠1 变式训练 1.已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点，则实数k=（) A.-1 B.1 C. n.4 第6页共16页 2.若三条直线x+3y+7=0,x-y-1=0,x+2y+n=0能围成一个三角形，则n的值可能 是() 3 A.2 B.1 c 题型三：直线的交点系方程 例6.设直线1经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形， 则直线1的方程为一 例7.经过点P(L,0)和两直线l:x+2y-2=0,2:3x-2y+2=0交，点的直线方程为 第7页共16页 变式训练 1.过两直线2023x-2022y-1=0和2022x+2023y+1=0的交，点且过原点的直线方程 为 2.已知两直线1：3x-y+4=0和l2:x+y-4=0. (1)判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； (2)求过与☑的交点且斜率为-2的直线方程. 题型四：两点间的距离公式 例8.三角形的三个顶，点为A(3,-2),B(3,4),C(-5,4),D为AC中，点，则BD的长为 () A.3 B.5 C.9 D.25 第8页共16页 例9.已知过A(m,2),B(-m,m-I)两点的直线的倾斜角是45°，则A,B两，点间的距离为() A.2 B.6 C.2W2 D.3v2 例10.在平面直角坐标系x0y中，原，点0到直线l1:x-2y+4=0与l2:3x+y-9=0的 交点的距离为() A.10 B.2W3 c.13 D.V15 变式训练 1.已知A(5,-1),B(1,1,C(2,3),则△ABC是（) A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(3,4),C(3,2),D(1,1), 则四边形ABCD是() A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 第9页共16页 3.已知A(-1,2),B(0,4),点C在x轴上，且AC=BC,则点C的坐标为() (09cD.(号o 题型五：点到直线的距离公式 例11.，点(2，-1)到直线x-y+3=0的距离为_ 例12.已知A(a,2)到直线3x-4y-2=0的距离等于4，则a的值为 例13.已知A-3,4),B(6,3)两，点到直线：ax+y+1=0的距离相等，求a的值（) B.9 D 第10页共16页