数列5大易错知识点汇编训练-2025届高考数学一轮复习

数列5大易错知识点汇编-2025年高考数学一轮复习卷 【易错知识点大集结】 目录导航 易错知识点一:数列的概念 易错知识点二:等差数列 易错知识点三:等比数列 易错知识点四:数列求和问题 易错知识点五:数列新定义问题 易错知识点一:数列的概念 1.在数列中,,,则( ) A.8 B.1 C.18 D.19 2.已知数列的前5项依次为,按照此规律,可知( ) A.8 B.12 C.16 D.32 3.如果,,那么称数列和“同增减”,以下说法中错误的是( ) A.两个单调递增数列和是同增减的 B.和任意数列有和同增减 C.和任意数列有和同增减 D.和任意正数数列有和同增减 4.“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,具体数列为即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契数列”,为数列的前项和,若,则( ) A. B. C. D. 易错知识点二:等差数列 5.已知正项等差数列满足,则 . 6.已知数列的通项公式为,记数列的前项和为,则 . 7.已知数列均为等差数列,且其前n项和分别为和.若,则 . 8.等差数列的前项和分别为,若,则 . 易错知识点三:等比数列 9.已知数列是首项为3,公比为9的等比数列,数列满足. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前项和. 10.已知数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 11.已知等比数列的各项均为正数,且. (1)求的通项公式; (2)令,记,求. 12.数列的前n项和为,且. (1)求证:数列为等比数列,并求其通项公式; (2)令,数列的前n项和为.求证:. 易错知识点四:数列求和问题 13.已知数列满足,. (1)求证:是等差数列,并求的通项公式; (2)记,求. 14.已知是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为,且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)定义在数列中,使为整数的叫做“调和数”,求在区间内所有“调和数”之和. 15.设数列的前n项和为,已知. (1)求的通项公式; (2)设,数列的前n项和为,求. 16.已知数列的前n项和为,,. (1)求证:是等比数列; (2)求数列的通项公式; (3)若,数列的前n项和为,求. 易错知识点五:数列新定义问题 17.若数列满足,且,则称数列为“稳定数列”. (1)若数列为“稳定数列”,求的取值范围; (2)若数列的前项和,判断数列是否为“稳定数列”,并说明理由; (3)若无穷数列为“稳定数列”,且的前项和为,证明:当时,. 18.对于,若数列满足,则称这个数列为“K数列”. (1)已知数列1,2m,是“K数列”,求实数m的取值范围. (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”,且其前n项和使得恒成立?若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由. (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若,试判断数列是否为“K数列”,并说明理由. 19.定义:一个正整数称为“漂亮数”,当且仅当存在一个正整数数列,满足①②: ①; ②. (1)写出最小的“漂亮数”; (2)若是“漂亮数”,证明:是“漂亮数”; (3)在全体满足的“漂亮数”中,任取一个“漂亮数”,求是质数的概率. 20.对于数列,定义:如果函数使得数列的前项和小于,则称数列是“控制数列”. (1)设,证明:存在,使得等差数列是“控制数列”; (2)设,判断数列是否为“控制数列”,并说明理由; (3)仿照上述定义,我们还可以定义:如果存在实数使得数列的前项积小于,则称数列是“特控数列”.设,其中,证明:数列是“特控数列”. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 答案 D A B B 1.D 【分析】利用给定的递推公式,依次计算即得结果. 【详解】因为,, 所以,. 故选:D. 2.A 【分析】利用观察法求出数列的通项公式即可得解. 【详解】数列的前5项依次为,则, 所以. 故选:A 3.B 【分析】根据数列“同增减”的定义逐一判断即可. 【详解】A注意到两个数列都是单调递增的,从而,,满足,A正确 B考虑,则,不满足题意,B错误. C由,C正确 D注意到且的时候,从而D正确. 故选:B. 4.B 【分析】利用斐波那契数列的定义,递推公式计算即可. 【详解】由题意可知:, 所以 , 所以. 故选:B 5.1 【分析】根据等差数列下标和性质可得,即可得结果. 【详解】因为为等差数列,且, 则,即, 且,所以. 故答案为:1. 6.52 【分析】先确定的正负,再分和求出的表达式,代入计算即可; 【详解】令, 所以当时,,当时,, 所以,当时,; 当时, , 所以, 故答案为:52. 7. 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简,结合条件求出答案即可. 【详解】因为为等差数列,且, 所以 , 故答案为:. 8. 【分析】利用等差数列和的关系求解即可. 【详解】等差数列的前项和分别为, 故, 故. 故答案为: 9.(1); (2) 【分析】(1)利用等比数列的通项公式可得,利用数列的递推式作差可得,从而得解; (2)由(1)求得,再利用错位相减法即可得解. 【详解】(1)因为数列是首项为3,公比为9的等比数列, 所以,所以, 由, 得当时,, 两式相减,得,即, 又当时,也符合, 所以. (2)设, 则, 故., 两式作差得, 即, 所以. 10.(1), (2),. 【分析】(1)利用得出数列是等比数列,从而可得通项公式; (2)由已知求得,得出是等差数列,求出其前项和,然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系,从而求得结论. 【详解】(1)由,则当时 两式相减得,所以. 将代入得,, 所以对于,故是首项为2,公比为2的等比数列, 所以. (2). , 因为当时,当时, 所以当时,, 当时,. 故. 11.(1); (2). 【分析】(1)根据给定条件,求出数列的首项及公比即可求出通项公式. (2)由(1)求出,再利用错位相减法求和即得. 【详解】(1)设正项等比数列的公比为,由,得, 解得,所以的通项公式为. (2)由(1)知,, 则, 于是, 两式相减得, 所以. 12.(1)证明见解析, (2)证明见解析 【分析】(1)利用与的关系式,消去,即可证明为等比数列,求得通项; (2)将数列的通项进行裂项,再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】(1)因为①, 所以当时,②, ①②得:,即(*), 又当时,,即,所以, 由(*)可得,, 则数列为以2为首项,2为公比的等比数列,故; (2)由(1)知, 故, 因,,故得. 13.(1)证明见解析; (2) 【分析】(1)根据所证数列的结构,可知对题目所给等式取倒数,然后移项即可证明,然后求出数列 的通项,变形即可的通项; (2)用列项求和的方法即可. 【详解】(1)因为, , 即, 数列是首项, 公差的等差数列, 故, (2)因为, =. 14.(1) (2)1086 【分析】(1)结合等比中项的知识求得等差数列的公差,从而求得通项公式. (2)利用列举法写出“调和数”,结合等比数列前项和公式求得. 【详解】(1)因为成等比数列, 所以, 因为是各项均为正数,公差不为0的等差数列,设其公差为, 所以, 所以, 所以. (2)设,所以, 令,且b为整数, 又由,, 所以b可以取1,2,3,4,5,6, 此时分别为, 所以区间内所有“调和数”之和 15.(1) (2) 【分析】(1)利用可求通项; (2)利用分组求和法可求. 【详解】(1)当时,; 当时,即, 而,故,, 所以是首项为1,公比为2的等比数列, 所以满足通项,所以. (2)当为奇数时,,当为偶数时,, . 16.(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据等比数列定义证明即可; (2)应用前n项和公式及通项公式关系计算即可; (3)先求等差数列的和,再应用裂项相消求和. 【详解】(1)因为, 所以是首项为公比为的等比数列. (2), 当时,, 当时,, (3)因为, 所以,, 17.(1) (2)数列不是 “稳定数列”,理由见解析. (3)证明见解析. 【分析】(1)将数据代入已知不等式,求解即可; (2)先利用求出数列的通项公式,然后再判断是否满足“稳定数列”定义即可; (3)先利用,建立不等式,两式相加化简,得,构成一个新的数列,有然后,讨论其相邻两项的正负,分别计算即可. 【详解】(1)由“稳定数列”的定义可知,, 解得,又因为,所以. (2)数列不是 “稳定数列”,理由如下 令,得, 当时,, 检验,当时,, 故,所以,, 要使为“稳定数列”,则需, 即恒成立; 所以有, 显然不可能恒小于等于零, 故不能恒成立, 所以数列不是 “稳定数列”; (3)由题可知,且, 则与两式相加 得 , 令, 则有, 分类讨论, 第一类, , ,, 因为,所以有, 所以有, 得, 第二类,, 则有, 则有,, , 得到, 因为, 所以, 因为, 所以, 所以当为偶数时,,得, 当为奇数时,, 又因为, 所以, 所以, 所以得. 【点睛】关键点点睛:该题为数列新概念题,第一问和第二问,按照其概念计算即可;第三问,需要建立新的递推公式,得到一个找到数列不同项之间的关系,然后建立不等式求解即可. 18.(1) (2)不存在,理由见解析 (3)答案见解析 【分析】(1)根据题意得到,且,,再解不等式组即可; (2)首先假设存在等差数列符合要求,从而得到成立,再分类讨论和的情况,即可得到答案. (3)首先设数列的公比为q,则,根据题意得到,从而得到为最小项,同理得到为最小项,再利用“数列”的定义得到,或,,再分类讨论即可得到答案. 【详解】(1)由题意得,且,解得,所以实数m的取值范围是. (2)不存在.理由:假设存在等差数列符合要求,设公差为d,则, 由得. 由题意,得对均成立,即. 当时,; 当时,恒成立, 因为,所以,与矛盾, 所以这样的等差数列不存在. (3)设数列的公比为q,则. 因为的每一项均为正整数,且, 所以在中,为最小项. 同理,中,为最小项. 由为“K数列”,只需,即. 又因为不是“数列”,且为最小项, 所以,即. 由数列的每一项均为正整数,可得, 所以或. 当时,,则. 令,则, 又, 所以为递增数列,即, 因为, 所以对于任意的,都有,即数列为“K数列”. 当时,,则. 因为,所以数列不是“K数列”. 综上所述,当时,,数列为“K数列”; 当时,,数列不是“K数列”. 【点睛】关键点点睛:需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行列式分析,属于难题. 19.(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为; (2)反复利用“漂亮数”定义中的恒等式,并通过该恒等式得到新的恒等式,即可证明结论; (3)先确定的全部可能值,然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可. 【详解】(1)若是“漂亮数”,设满足. 则,所以,即. 故,得,从而,所以. 此时,假设,则. 但由于,故的全部可能取值就是,,,,,验证即知它们都不等于,矛盾; 所以. 由即知是“漂亮数”. 所以最小的“漂亮数”是. (2)若是“漂亮数”,设满足. 则,所以,即. 此时有 . 再由,即知. 而,由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”. (3)若,设满足. 则,所以,即. 而,故,即. 所以,得,即. 由于,故. 而,故,即. 若,则,所以. 假设,则,矛盾. 所以,故,得. 故只可能,从而,得,而,故. 但,矛盾. 所以只可能或. 当时,有,所以. 从而,,得,即. 再由知,分别代入,使得是正整数的有,对应的分别为. 当时,有,所以. 从而,,得,即. 再由知,分别代入,使得是正整数的有,对应的分别为. 综上,全体满足条件的有,,,,,. 这表明满足条件的全部为. 所以的全部可能值为,其中是质数的有. 从而是质数的概率为. 【点睛】关键点点睛:本题的关键点在于对新定义的理解,只有理解了定义,方可解决相应的问题. 20.(1)证明见解析 (2)是,理由见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)结合等差数列求和公式,令,,即可得证; (2)构造函数,借助导数研究其单调性可得,即可得,从而可得数列的前项小于; (3)借助第二问中所得得到时,,从而得到当时,有,再构函数,利用导数得到其单调性从而证明即可得证. 【详解】(1)不妨设等差数列的首项为,公差为d,前n项和为, 则, 取,,,则, 有,即, 即存在,使得等差数列是“控制数列”; (2)数列是“控制数列”,理由如下: 令,, 当时,,当时,, 故在上单调递增,在上单调递减. 则,即,时取等号. 则, 记数列的前n项和为, 则, 即,即数列是“控制数列”; (3)要证数列是“特控数列”,即证, 因为,所以,, 对两边取对数,有, 即证,即证, 由(2)知当时,, 则当时,有, 则只需证,即证, 即证, 由,则,则, 令,,则, 故在上单调递减,则, 即在上恒成立,即, 故, 即数列是“特控数列”. 【点睛】关键点点睛:最后一问关键点在于借助第二问中所得得到时,,从而得到当时,有. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$