第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（5分）（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．（5分）（23-24高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 7．（5分）（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·云南文山·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 10．（6分）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（6分）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是 . 13．（5分）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 14．（5分）（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 16．（15分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 17．（15分）（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，解关于x的不等式． (2)若且，，解关于x的不等式． 18．（17分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19．（17分）（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【解答过程】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 2．（5分）（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【解答过程】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 3．（5分）（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【解题思路】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【解答过程】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 4．（5分）（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【解答过程】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 5．（5分）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【解题思路】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【解答过程】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D. 6．（5分）（23-24高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 【解题思路】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D. 【解答过程】，函数图象与x轴总有两个不同的交点或相同的交点，故A错误； 若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知，解得且，故B错误； 若将函数图象向左平移1个单位，可得到，令，则，即图象经过原点，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴，解得，故D错误. 故选：C. 7．（5分）（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【解答过程】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B. 8．（5分）（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【解题思路】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【解答过程】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·云南文山·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【解题思路】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确. 【解答过程】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 10．（6分）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【解题思路】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D. 【解答过程】对选项A，，当且仅当时取“=”，故A正确； 对选项B， ，当且仅当时取“=”，故B正确； 对选项C， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为，故选项C错误. 对选项D，， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：AB. 11．（6分）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【解题思路】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【解答过程】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，    所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是 . 【解题思路】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【解答过程】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【解题思路】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【解答过程】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【解题思路】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【解答过程】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 16．（15分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【解题思路】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【解答过程】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 17．（15分）（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，解关于x的不等式． (2)若且，，解关于x的不等式． 【解题思路】（1）由已知得，代入所求不等式得从而求得解集； （2）由已知转化为，又，再解含参的一元二次不等式可得答案. 【解答过程】（1）的解集为， ， ， ， 则，即， 所求不等式的解集为. （2）由，， 得， 则，即， 又，则不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．（17分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； （2）根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19．（17分）（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【解题思路】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【解答过程】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$