第01讲函数的概念及其表示-2025届高三数学一轮复习同步专题讲与练（全国通用）

第01讲 函数的概念及其表示 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3.函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4.判断是否为同一个函数的三个要点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点2 函数的定义域与值域 1.具体函数定义域的求法 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0； (ⅱ)偶次根式的被开方数非负数，奇次方根的被开方数为全体实数； (ⅲ)零次幂的底数不等于0，即y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2.抽象函数定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 3.函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4.函数的值域的求法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 知识点3 函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）． (1)设元：设已知函数的一般解析式； (2)列式：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； (3)消元化简：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的解析式，求函数的解析式的问题． (1)设元：先令，注意分析的取值范围； (2)换元：反解出x，即用含的代数式表示x； (3)代入消元：将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4.方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 知识点4 分段函数 1.分段函数的相关概念 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 2.理解 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 3.分段函数的图象及应用 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 思路方法总结 1.求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 （1）分式的分母不能为零. （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. （3）零次幂的底数不能为零，即中. （4）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 2.函数解析式的四种求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 3.求函数值域的七种方法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． （1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． （2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： 如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 典例·举一反三 题型一 函数的概念 例1．给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练 1．将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．存在函数满足：对于任意的，都有（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 . 题型二 同一函数的判断 例2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 跟踪训练 1．下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 题型三 具体函数的定义域 例3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 ．已知函数的定义域为，的定义域为，则 A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为 ． 3．函数的定义域为 . 题型四 抽象函数的定义域 例4．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ． 3．已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1，2]，则函数y=f(2x-1)的定义域为 . 题型五 已知函数定义域求参数 例5．函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 题型六 常见函数值域的基本方法 例6．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 跟踪训练 1．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 2．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 3．求下列函数的值域. (1)，； (2)，； (3)，； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)，. 题型七 换元法求值域 例7．函数的值域为 ． 跟踪训练 1．函数的值域为 ． 2．函数的值域为 . 3．求函数的最大值． 题型八 抽象函数的值域 例8．已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为 . 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ． 2．若函数的值域是，则函数的值域是 . 3．已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（    ） A． B． C． D． 题型九 已知函数值域求参数 例9．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数的定义域与值域均为，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 3．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为 ． 题型十 待定系数法求解析式 例10．已知二次函数满足，且， （1）求二次函数的解析式；（2）求函数的单调增区间和值域． 跟踪训练 1．设函数是一次函数，且，，则等于 A． B． C． D． 2．已知是二次函数，且，，则 ． 3．若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． (1)求的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 题型十一 换元法求解析式 例11．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 3．，则 ． 题型十二 方程组法求解析式 例12．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 3．已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为 ． 题型十三 抽象函数的解析式（赋值法） 例13．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 跟踪训练 1．写出满足的函数的解析式 ． 2．已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 3．已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 题型十四 解析式中的参数值 例14．已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 跟踪训练 1．已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．已知函数，，则 ． 3．设函数，若恒成立，则实数的值为 . 题型十五 分段函数的求值和参数 例15．已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D． 跟踪训练 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数的值为 . 3．已知，函数，若，则 ． 题型十六 分段函数与不等式 例16．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3.函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4.判断是否为同一个函数的三个要点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点2 函数的定义域与值域 1.具体函数定义域的求法 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0； (ⅱ)偶次根式的被开方数非负数，奇次方根的被开方数为全体实数； (ⅲ)零次幂的底数不等于0，即y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2.抽象函数定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 3.函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4.函数的值域的求法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 知识点3 函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）． (1)设元：设已知函数的一般解析式； (2)列式：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； (3)消元化简：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的解析式，求函数的解析式的问题． (1)设元：先令，注意分析的取值范围； (2)换元：反解出x，即用含的代数式表示x； (3)代入消元：将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4.方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 知识点4 分段函数 1.分段函数的相关概念 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 2.理解 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 3.分段函数的图象及应用 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 思路方法总结 1.求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 （1）分式的分母不能为零. （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. （3）零次幂的底数不能为零，即中. （4）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 2.函数解析式的四种求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 3.求函数值域的七种方法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． （1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． （2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： 如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 典例·举一反三 题型一 函数的概念 例1．给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义，结合指数函数、对数函数的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确； 对于B，，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确； 对于C，，取，，不符合函数定义，C错误； 对于D，，，均有唯一确定，符合函数定义，D正确. 故选：ABD 跟踪训练 1．将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念，一个只能对应一个，所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过轴即可. 【详解】解：在原点处的切线斜率为，切线方程为 当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像. 所以的最大值为.    故选：B. 【点睛】思路点睛：函数的关键点：每一个都有唯一的一个确定的数和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的切线超过轴时，一个会有2个和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角. 2．存在函数满足：对于任意的，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的性质，取特殊值推出矛盾排除BD；对于A，令再化简即可；对于C，令再化简即可. 【详解】对于A，因为 ， 令，所以，故A正确. 对于B，，取和得，，故B错误； 对于C，令，所以，即符合题设，故C正确； 对于D，取，；取，，故D错误. 故选：AC. 3．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 . 【答案】 【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意. 【详解】画出函数的图象，如图1所示： 圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示： 此时绕着原点旋转弧度为； 若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示： 此时转过的角度为，不满足题意； 若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示： 此时转过的角度为； 故答案为：. 题型二 同一函数的判断 例2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 跟踪训练 1．下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据函数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，定义域，定义域，不是同一个函数，故A错误； 对于B，定义域，定义域，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与定义域都是，且，两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，定义域，定义域，不是同一个函数，故D错误. 故选：C 2．与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，对原不等式等价变形即可. 【详解】由得， 所以． 故选：C． 3．下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 【答案】BC 【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D. 【详解】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为，所以， 则，故D错误. 故选：BC 题型三 具体函数的定义域 例3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，的定义域为，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为函数的定义域满足：即，所以；的定义域满足：即，所以，故应选. 考点：1、集合及其基本运算. 2．已知函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解. 【详解】根据题意可得,解得 故定义域为. 故答案为： 3．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由具体函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域满足：， 解得且. 故答案为：. 题型四 抽象函数的定义域 例4．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，所以 所以函数的定义域为， 要使有意义，则需要，解得， 所以的定义域是. 故选：D. 跟踪训练 1．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ． 【答案】(-1，1) 【分析】先求的定义域为，再求不等式组的解集可以得到函数的定义域． 【详解】由题意，解得，即定义域为． 【点睛】已知函数的定义域，的定义域为，那么抽象函数的定义域为不等式组的解集． 3．已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1，2]，则函数y=f(2x-1)的定义域为 . 【答案】[2，3] 【分析】已知y=f(2x+1)的定义域，可求得时函数的定义域，进而求出y=f(2x-1)的定义域 【详解】∵函数y=f(2x+1)的定义域为[1，2]，即1 ≤ x ≤ 2 ∴3 ≤ 2x+1 ≤ 5，即函数y=f(x)的定义域为[3，5]. ∴3≤ 2x-1 ≤5，得2 ≤ x ≤ 3， 则，函数y=f(2x-1)的定义域为[2，3] 故答案为：[2，3] 【点睛】本题考查了抽象函数的定义域，利用外层函数定义域相同，求内层函数定义域 题型五 已知函数定义域求参数 例5．函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时直接代入；时利用可得答案． 【详解】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 跟踪训练 1．函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题知，时，恒成立，讨论和两种情况，列出条件，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为全体实数， 则时，恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，则， 解得， 综上知，， 故选：C. 2．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 故选：C. 3．函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 题型六 常见函数值域的基本方法 例6．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)． 【分析】（1）函数可化为，由分式的性质即可求值域； （2）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在定义域上有解，结合判别式即可求值域； （3）函数可化为，讨论，结合基本不等式求值域即可； （4）利用根式、二次函数的性质求值域； （5）分类讨论，去绝对值，转化为一次函数求值域. 【详解】（1），定义域为， 所以其值域为． （2）由表达式知：定义域为，函数可转化为在上有解， ∴当，即时，显然成立； 当时，，整理得，解得且． 综上，函数的值域为． （3）由表达式知，定义域为，而， ∴当时，，当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上，函数的值域为． （4）由，知函数的定义域为，而， ∴，∴函数的值域为． （5）∵，∴当时，； 当时，；当时，， ∴函数的值域为． 跟踪训练 1．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 2．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）利用二次函数性质可求得答案； （2）令可得，结合二次函数性质求得答案； （3）利用分离常数方法即可求得答案； （4）利用换元法再结合二次函数性质即可求得答案； （5）利用三角换元法，结合三角函数性质可求得答案； （6）利用分类讨论的方法可得答案； （7）利用判别式法即可求得答案； （8）利用分离参数的方法，结合基本不等式即可求得答案； 【详解】（1）因为， 故的值域为； （2）令，则， 而，则，故， 即的值域为； （3），因为，故， 所以的值域为; （4）令，则， 当时，取到最大值5，无最小值， 故的值域为； （5）因为，令, 故， 由于，故， 即函数的值域为； （6）， 当时，；当时，；当时，， 故的值域为； （7）因为恒成立，故, 则由可得， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 故的值域为； （8）， 因为，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为； 3．求下列函数的值域. (1)，； (2)，； (3)，； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)，. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）利用一次函数的单调性求解即可； （2）利用二次函数的单调性求解即可； （3）利用指数函数的单调性结合二次函数的单调性求解即可； （4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可； （5）利用符合函数的单调性结合指数函数的单调性求解即可； （6）利用分离常数，结合基本不等式解决即可； （7）利用换元的方法几何函数的单调性求解即可； （8）将绝对值去掉结合一次函数分类讨论求解即可； （9）利用斜率的几何意义求解； （10）利用导数求解函数的单调性求解即可. 【详解】（1）在区间上单调递增， 所以值域为. （2）因为，函数的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为， 所以.所以的值域为. （3），令，则， 在上单调递减，所以， 所以的值域为. （4）的定义域是， 由于，所以， 所以值域为. （5）， 因为 所以原函数的值域为. （6）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为. （7）令，则， 可得 当时，等号成立，所以函数的值域为. （8）因为； 所以函数的值域为. （9）函数的值域可看作由点两点决定的斜率，是定点， 在曲线上， 如图，，，即. （10）时，时，； 时，取最大值；又的值域为. 题型七 换元法求值域 例7．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解. 【详解】令，因为，所以，则， 所以原函数可化为，其对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 跟踪训练 1．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，则，， 所以， 因为，在上单调递减， 所以，所以函数的值域为． 故答案为：. 2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 所以，等号成立 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．求函数的最大值． 【答案】 【分析】通过将两个根式换元为，，函数即为，利用，建立函数与等式的关系即可求得其最大值. 【详解】不妨设，，则， 因，由可得 ，当且仅当时等号成立， 由，因， 故得：，当且仅当时函数取得最大值. 题型八 抽象函数的值域 例8．已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为 . 【答案】， 【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可. 【详解】由函数 的定义域和值域均为 ， 所以要有意义，则需，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 所以，即值域为. 故答案为：， 跟踪训练 1．已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ． 【答案】 【分析】令求出的取值范围，即可得到的定义域，再根据函数图象的变换得到值域不变. 【详解】因为函数的定义域为，值域为， 对于函数，令，解得，即函数的定义域为， 而的图象可以由的图象向左平移个单位得到， 所以的值域与的值域相同，即为. 故答案为：； 2．若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为： 3．已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以. 【详解】对任意,恒有， 令可得， 因为当时,故，所以， 令可得，所以， 当时,,根据已知条件得,即，所以. 故选：ABC. 题型九 已知函数值域求参数 例9．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 跟踪训练 1．已知函数的定义域与值域均为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案. 【详解】解：∵的解集为， ∴方程的解为或4， 则，，， ∴， 又因函数的值域为， ∴，∴. 故选：A. 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 3．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含即可 【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立， 故当时，，又由可得关于对称，且由可得， 故只需包含区间即可，故， 故 故答案为： 题型十 待定系数法求解析式 例10．已知二次函数满足，且， （1）求二次函数的解析式； （2）求函数的单调增区间和值域． 【答案】（1）；（2）单调增区间为，值域为． 【分析】（1）设二次函数，代入条件计算的值，可得到解析式；（2）由复合函数的单调性确定的单调增区间，进而由单调性求出值域. 【详解】（1）设二次函数． ∵，∴．把的表达式代入，有． ∴．∴，．∴． （2）的单调增区间为， 函数的值域为． 跟踪训练 1．设函数是一次函数，且，，则等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解答过程略 2．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 3．若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； 法二：可设，由得到图象的对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； （2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）法一：由为二次函数，可设， ∵，则代入得， 化简：， 因为其对任意都成立，所以， 即． 又因为最小值为-1，且， ∴，解得， ∴； 法二：由为二次函数，可设， ∵函数满足， ∴图象的对称轴为，即， 最小值为-1，且， ∴，∴ ∴； （2）∵，即在上恒成立， 即满足函数的最小值大于． 又∵当时，对称轴为， 故在单调递减，单调递增． ∴在的最小值在取得， 即 ∴， 故的取值范围是. 题型十一 换元法求解析式 例11．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 跟踪训练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求得函数的解析式. 【详解】对于，令，则，所以，， 因此，. 故选：C. 2．已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得. 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 3．，则 ． 【答案】 【分析】利用换元法进行求解即可. 【详解】令， 于是有， 故答案为： 题型十二 方程组法求解析式 例12．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令代换，因为为偶函数，为奇函数，则，与俩式相加即可. 【详解】令代换，则， 因为为偶函数，为奇函数， 则上式化为：， 又， 俩式相加，得. 故选：C 跟踪训练 1．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组法求解析式即可. 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 故选：A． 2．已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可. 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 3．已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】先利用方程组思想结合诱导公式求出或，再利用换元法即可得解，注意函数的定义域. 【详解】由，① 得， 即，② 得：， 所以， 令，则， 所以. 故答案为：. 题型十三 抽象函数的解析式（赋值法） 例13．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 跟踪训练 1．写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得函数解析式. 【详解】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 2．已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 【答案】（不唯一） 【分析】根据所给条件，利用累乘法及换元法即可得解. 【详解】由题意，， 累乘可得，即， 令，则， 所以， 故答案为：（不唯一） 3．已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合已知化简得，利用累加法求得，然后利用错位相减法求和即可求得. 【详解】令，得， 代入，得， 当x为正整数时，， 所以， 所以，代入，得， 所以（且），又当时，也符合题意， 所以（）． 所以， 令， 则， 所以， 所以， 所以. 故选：D 题型十四 解析式中的参数值 例14．已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 跟踪训练 1．已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】根据函数解析式先求的根为或（舍），再求 ，从而可求解. 【详解】令，则，解得或（舍）， 即，解得，故A正确. 故选：A. 2．已知函数，，则 ． 【答案】3 【分析】利用直接代入法结合对应系数相等可得的值，将代入可得结果. 【详解】由题意，得， 即，解得，，因此， 故答案为3. 【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的求法，利用系数相等是解题的关键，属于基础题. 3．设函数，若恒成立，则实数的值为 . 【答案】 【分析】因为恒成立，所以，解得或，验证和，即可得出的值. 【详解】因为恒成立，所以 即，解得：或 当时，，，则不满足条件 当时，，，则满足条件 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题. 题型十五 分段函数的求值和参数 例15．已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，将自变量代入相应的解析式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：B 跟踪训练 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 由于，则． 故选：B 2．已知函数，若，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，且， 当时，可得，即，方程无解； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 3．已知，函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，代入即可逐层求解. 【详解】，所以， 所以， 故答案为： 题型十六 分段函数与不等式 例16．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 跟踪训练 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分或两种情况，分别根据指数函数和对数函数的性质求解即可. 【详解】当时，由得，两边取以e为底的对数得：， 当时，由得，解得， 综上或. 故选：A. 3．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将不等式化为，然后将转化为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得函数在上单调递增．由， 得，注意到， 所以． 从而不等式转化为， 所以，解得． 故选:A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$