第3章 勾股定理易错训练与压轴训练（4类易错+4类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第3章 勾股定理易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解 1 易错题型二　三角形形状不明时，考虑不全面而漏解 3 易错题型三　等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解 8 易错题型四　求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式 14 压轴题型一　勾股定理的证明方法 19 压轴题型二　以弦图为背景的计算题 29 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 35 压轴题型四　几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程） 40 02 易错题型 易错题型一　没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解 例题：若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 巩固训练 1．已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（） A．c的值只能为 B．c的值只能为 C．c的值为或 D．c的值有无限多个 2．若的两边a，b满足，则第三条边c的值是（    ） A．5 B．或 C．5或 D．5或 3．已知直角三角形两边的长满足，则第三边长为 ． 4．定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则 易错题型二　三角形形状不明时，考虑不全面而漏解 例题：已知是的边上的高，若，，，则的长为 ． 巩固训练 1．在中，，，高，则等于（   ） A．14 B．4或14 C．4 D．9或5 2．在中，，，边上的高为，则的面积是 ． 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________． 4．已知等边的边长为6，为的中点，如果点是射线上的一点，且，那么的长为 ． 易错题型三　等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解 例题：如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．    巩固训练 1．如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是 秒，是等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为，点E在x轴上，点P在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为 ． 3．中，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是筹腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 4．如图，在长方形中，，，E为的中点．点P从点D出发，以2cm/s的速度沿路线运动，运动至点A停止，运动时间为t（s），若为等腰三角形，则t的值为 ． 易错题型四　求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式 例题：如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为 ． 巩固训练 1．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ． 2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 3．如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16，是底面圆的直径，点P是上的一点，且，，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为 ．    4．（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 03 压轴题型 压轴题型一　勾股定理的证明方法 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空； 解：梯形的面积可表示为：______， 也可以表示为：______， ， ， ______ 即； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）． (1)【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张； (2)【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明； (3)【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为，宽为的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为、、，求的值． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理； (2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明． 压轴题型二　以弦图为背景的计算题 例题：（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 2．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 3．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 例题：定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 巩固训练 1．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 2．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 4.定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 压轴题型四　几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程） 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． (3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解 1 易错题型二　三角形形状不明时，考虑不全面而漏解 3 易错题型三　等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解 8 易错题型四　求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式 14 压轴题型一　勾股定理的证明方法 19 压轴题型二　以弦图为背景的计算题 29 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 35 压轴题型四　几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程） 40 02 易错题型 易错题型一　没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解 例题：若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 【答案】3或/或3 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边． 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 巩固训练 1．已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（） A．c的值只能为 B．c的值只能为 C．c的值为或 D．c的值有无限多个 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，分两种情况讨论是解本题的关键．分两种情况：①当为直角边时，②当为直角边，利用勾股定理求出第三边长即可． 【详解】解∶分两种情况∶①当为直角边时，； ②当为直角边，为斜边时，． 故选∶C． 2．若的两边a，b满足，则第三条边c的值是（    ） A．5 B．或 C．5或 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，先求出a和b的值，再设第三边为x，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，， ∴，， 设第三边长为x，由，则共有以下两种情况： ①当时，（负值舍去）， ②当时，即（负值舍去）， ∴第三边长是5或； 故选：C． 3．已知直角三角形两边的长满足，则第三边长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查勾股定理、非负数的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，“如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么”．根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分两种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足， ∴，， 解得：或（负值不合题意，舍去），或（负值不合题意，舍去）， 当6为直角三角形的直角边时，则第三边长为：； 当6为直角三角形的斜边时，则第三边长为：； 综上分析可知，直角三角形的第三边长为或． 故答案为：或． 4．定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理， 根据题意需分类讨论：①当为最长线段时，由勾股定理求出；②当为最长线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：①当为最长线段时， ∵点 M、N是线段的勾股分割点， ∴， ②当为最长线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 易错题型二　三角形形状不明时，考虑不全面而漏解 例题：已知是的边上的高，若，，，则的长为 ． 【答案】或/或 【分析】分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形，如图1，    ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 当是钝角三角形，如图2，    同理得：，， ， 则的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，解题关键是进行分类讨论求解． 巩固训练 1．在中，，，高，则等于（   ） A．14 B．4或14 C．4 D．9或5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理，并根据题意分类讨论是解题关键．分高在外部和高在内部两种情况分类讨论，根据勾股定理求出，，即可求出． 【详解】解：如图1，当高在外部时， 在中，， 在中，， ∴； 如图2，当高在内部时， 在中，， 在中，， ∴； ∴的长为4或14． 故选：B 2．在中，，，边上的高为，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键． 分两种情况: ①为锐角; ②为钝角，利用勾股定理求出、，即可求出的长进而求得的面积． 【详解】解：分两种情况: ①为锐角时，如图    在中 在中 的面积为：； ②当为钝角时，如图    在中 在中 的面积为：； 故答案为：126或66． 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】 根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图， ∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5 在中， 或 故答案为：或 【点睛】 本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键． 4．已知等边的边长为6，为的中点，如果点是射线上的一点，且，那么的长为 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：等边的边长为6，为的中点 则，平分， ∴， ∴ 由题意可得： 当点在的内部时，如图1， 由勾股定理可得： ∴ 当点在的外部时，如图2， 由勾股定理可得： ∴    故答案为：或 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会分类讨论的思想求解问题． 易错题型三　等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解 例题：如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．    【答案】或或 【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：（cm）， 由题意可知共三种情况，如下： ①时，，则，    ∴，解得； ②当时，，    所以， ③当时，即，    所以， 综上所述，当t的值为或或； 故答案为：或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键． 巩固训练 1．如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是 秒，是等腰三角形． 【答案】5或6或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，分类讨论是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ 时： ∵， ∴ ∵ ∴， 解得：； 时： ∵ ∴， 解得：； 时： ∵， 又 ∴ 解得： 故答案为：5或6或 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为，点E在x轴上，点P在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键． 由题意知，分为底，为腰两种情况求解：设，则，分①当为底，则在的垂直平分线与的交点；②当为腰，且时，；当为腰，且时，；分别计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，分为底，为腰两种情况求解： 设，则， ①当为底，则在的垂直平分线与的交点， ∴； ②当为腰，且时， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； 当为腰，且时， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，点坐标为或或， 故答案为：或或． 3．中，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是筹腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】或或 【分析】在中，通过解直角三角形可得出，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰梯形的面积即可． 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 【详解】在中， 则： 沿过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，设该直线与边交于点P．以下有三种情况： ①当时， ∴ ②当时， ③当且点P在边上时，过点B作，垂足为D． ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述：等腰三角形的面积可能为或或， 故答案为：或或 4．如图，在长方形中，，，E为的中点．点P从点D出发，以2cm/s的速度沿路线运动，运动至点A停止，运动时间为t（s），若为等腰三角形，则t的值为 ． 【答案】2或3或 【分析】分三种情况，分别为、、，根据等腰三角形的性质求解即可； 此题考查了勾股定理，垂直平分线，等腰三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想． 【详解】解：①若，由垂直平分线性质可得，点P与C重合， ， ， ； ②如图，若， 设，则， ，， ，解得， ．； ③如图，若， ；， ， ， ， ， ． 故答案为：2或3或 易错题型四　求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式 例题：如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为 ． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：①如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：，此时； ②如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵， ∴从处爬到处的最短路程是． 故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论． 巩固训练 1．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ． 【答案】2.6 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示： ， ∴这段葛藤的长． 故答案为：． 2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将长方体展开，连接、，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，（）； 如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，根据勾股定理可知所用细线最短需要（）． 故答案为：，． 3．如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16，是底面圆的直径，点P是上的一点，且，，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为 ．    【答案】17 【分析】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题；先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可. 【详解】解：如图所示，    ∵圆柱的底面周长为， ∴. ∵，， ∴， 在中， ∴. 故答案为：17. 4．（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 【答案】（）20；（）能，理由见解析． 【分析】（）将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，分三种情况利用勾股定理求出长，再比较即可得到答案； （）利用两点之间线段最短及勾股定理的运用即可； 此题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：（）如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：； 2）如图所示：    由勾股定理得：， ∴（米）＞， ∴钢管能放进电梯． 03 压轴题型 压轴题型一　勾股定理的证明方法 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空； 解：梯形的面积可表示为：______， 也可以表示为：______， ， ， ______ 即； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)，， (2)新路比原路少千米 (3)，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的推导及勾股定理的应用． （1）根据梯形面积公式及梯形面积等于两个小直角三角形的面积和加大直角三角形面积，再整理即可； （2）设，则，在中利用勾股定理建立方程，即可求得x的值，从而求得结果； （3）设，则，分别在、中，利用勾股定理表示出，从而建立方程，求出x的值，最后求出结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； 故答案为：，，； （2）解：设， ， 在中，， 即，解得，即， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：设，则， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． ． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）． (1)【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张； (2)【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明； (3)【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为，宽为的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为、、，求的值． 【答案】(1)1；9；6 (2)，理由见解析 (3)13 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，关键能够分割图形，了解各个部分组成，便可表示各个类型的数量，善用整体代入法，表示出相应部分面积，利用整体代入法求解． （1）根据完全平方公式把化简即可解答； （2）求出阴影部分图形的面积即可； （3）利用图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，得到，，利用整体代入法进而求得答案． 【详解】（1）解：∵， 故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张； 故答案为：1；9；6； （2）解：，理由如下： 图②阴影部分图形的面积可表示为： 或， ， ， ； （3）解：图2中阴影部分的面积为4， ， 图3中阴影的部分面积为15， ， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理； (2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②．见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识； （1）根据面积法即可证明勾股定理； （2）①设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； ②结合题意，首先分别以为直径的半圆面积、以为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（）以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正形面积的和． 即， 化简得：． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴ ∴，满足直角三角形勾股定理； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：． （2）①三个图形中面积关系满足的有3个； 设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为； 根据题意得： 如图4： ，， ∴； 如图5： ，， ∵ ∴； 如图6： ，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； ②； 以为直径的半圆面积为： 以为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积 ∴ 结合（1）的结论： ∴ ∴． 压轴题型二　以弦图为背景的计算题 例题：（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 2．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【答案】(1) (2)2 (3)D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． 故答案为：2； （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：数形结合思想． 3．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)； (2)，证明详见解析； (3)120 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股定理的灵活运用． （1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （2）根据半圆的面积公式：乘π乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （3）易知，设为x，则，，根据勾股定理建立，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：，，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意，，， 由勾股定理得，， 则 ∴； （3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的， ∴， ∵， ∴， 设为x，则，， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， ∴， 的面积， ∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成， ∴该飞镖状图案的面积． 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 例题：定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． （1） 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2） 设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 巩固训练 1．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 2．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 4.定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 压轴题型四　几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程） 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 【答案】(1)垂直平分．理由见解析 (2) (3)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得出结论； （2）由勾股定理可求出答案； （3）证出，由直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）垂直平分． 理由如下：将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 垂直平分． （2）四边形是长方形，， ， ， 又， 在中，， ， ， ， ． （3）证明：设，由折叠的性质可得， ，，． 又点是的中点， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ．， ， ， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5（2）（3）t的值为2.5或10 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． (3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 【知识点】坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①，②，③分别求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：①如图，当时，连接，则点在线段垂直平分线上，也在线段垂直平分线上，    ∴， 由折叠得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图，当时，连接， 由折叠得，，， ∴， 在中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$