青海省西宁市大通回族土族自治县2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题

青海省大通具教学研究室 2025 届高三开学摸底考试 数 学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水答字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:高考范围。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A-{xNx2<4,B-(-1,0,1,2,3),则AOB= A./1,2 B./0,1,2 C.-2,-1,0.1,2,3 D.-1,0,1,2 2.已知复数z满足(4-3i):-1+2i,则c一 C D 3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆,则该圆锥的体积为 643r C.643t B.16r A.48π D. 4.已知双曲线C的渐近线方程为2x士3y-0,且C经过点(一6,2v②),则C的标准方程为 5.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春 秋》的合称,为弘扬中国传统文化,某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座,每 部名著安排1次讲座,若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻,则排法种数为 B.AA{ C.AAA{ A.A/A{ D.AA 6.已知圆x^+一4关于直线/的对称圆为x{}+}-8x十4y十16-0,则直线/的方程为 C.2x--5-0 A.2x十y-3-0 B2-2y-8-0 D.2+2y-0 7.已知等差数列(a。)的前n项和为S.,若Sts>0,Ss<0,则的取值范围是 A.() B.(-)(1) C.(~)(~) D.(,1) 【高三开学摸底考试·数学 第1页(共4页)】 25-L-038C A.4049 B.2025 C.4048 D.2024 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知n,n是两条不同的直线,a,3是两个不同的平面,则下列命题为真命题的有 A.若ma,n|B,则a/③ B.若]3,mCa,nC3,则nn C.若g/B,m/B,则n/ D.若m,n为异面直线,mCa,nC3,m/,n/a,则a/ A.f()在[0,]上单调递增 B./(x)的图象关于直线x一- 对称 D.f()在[上仅有1个零点 11.已知曲线C的方程为x*三y,C;是以点A(0,a)为圆心、1为半径的圆位于y轴右侧的部 分,则下列说法正确的是 A.曲线P.的焦点坐标为(,o) B.曲线过点(1,a) 7_7 C.若直线y一x十2被C所截得的线段的中点在C。上,则a的值为 D.若曲线re在P:的上方,则a5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.-组数据24,78,47,39,60,18,28,15,53,23,42,36的第75百分位数是 13.已知tana-3,tan(a十3)=-5,则tan(2a+3)=__. 14.如图,在矩形ABCD中,AB-4.BC-2,点E,F分别在线段BC,CD上,且/EAF-,则 AE.AF的最小值为 【高三开学摸底考试·数学 第2页(共4页)】 25-L-038C 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin(B+C)=bsin(A+C)+csin(A+B) -sinC. (1)求角A; 16.(本小题满分15分) 近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100 万辆,继续领跑全球,为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性,某 汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查,数据显示这400人中中老年人共有 150人,且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍;青年中愿意购买新能源车的 人数是愿意购买燃油车的4倍 购车意向 年龄段 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (1)完善2×2列联表,请根据小概率值。一0.01的独立性检验,分析消费者对新能源车和燃 油车的意向购买与年龄是否有关 (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人,再从这9人中随机抽取 4人,求这4人中青年人数的期望 附:2}一 n(ad-c)2 (a+b)(c十d)(o十c)(6十d)n-a十b十c十d. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 2 10.828 第3页(共4页)】 【高三开学摸底考试·数学 25-L-038C 17.(本小题满分15分) 如图,已知平行六面体ABCD-ABCD 的所有校长均相等,AD1平面ABBA,P为 D.C的中点,且PD-PC (1)求证:CCBD: D (2)求平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值 18.(本小题满分17分) 的最大值为③. (1)求圆E的方程; (2)设A,B分别是圆E的右顶点和上顶点,不过原点的直线/与直线AB平行,且与:轴, y轴分别交于点M,N,与圆E相交于点C,D,O为坐标原点 (1)求OCM与ODN的面积之比 (li)证明:CM十 MD为定值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)-(x-a)e+x+a(aCR) (1)若a一4,求f(x)的图象在x一0处的切线方程; (2)若f(x)>0对于任意的x[0,十o)恒成立,求a的取值范围 (3)若数列(a满足a-1且a- 【高三开学摸底考试·数学 第4页(共4页)】 25-L-038C青海省大通县教学研究室2025届高三开学摸底考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.BA={x∈Nx2≤4}={0,1,2}，B={-1,0,1,2,3},所以A∩B=0,1,2}.故选B. 2.A 因为复数：满足(4-80)：=1+2红所以=-得芒牛器=一云+号所以 √()广+（尝）-故选A 3.D设圆锥的底面圆半径为r,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2πr=8π，解得r=4,则圆锥的高 h=V8=平=45，所以该圆锥的体积为V=号矿A=号xX华X4V5=64三，故选D 3 4.A根据题意设双曲线C的方程为4x2一9y2=λ，因为C经过点（一6,2√2），所以4×（一6）2-9×(22) =A,即二72.所以双曲线C的方程为4-9y2=72,即后一首=1.故选A 5.B先将《大学》《论语《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有A种排法，再将《大学X论语》《周易》 看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有A种排法，故总共有AA种排法.故选B 6.C圆x2+y=4的圆心为(0,0)，半径为2，圆x2+y-8x+4y十16=0可化为(x-4)2+(y十2)2=4，圆 心为(4，一2)，半径为2，所以直线1的方程为y-(-1)=2(x一2)，即2x一y一5=0.故选C 7.D由题意知S=15Ca,十a2-15as>0,所以as>0,又S6=16Ca,十as2=8(as十a)<0,所以as十d,< 2 2 0,所以a<一as<0.设等差数列{a}的公差为d,则d=一as<0,所以a>0.所以 +a-十7+a+=2a十15do.所以-4<最所以g-a-1+∈（停，号）.即g |as=a1+7d>0, 的取值范围是（号，）故选D 8.A由f(x)十f(2x)=4,令r=1,得f(1)=2,又令x=0得f(2)=3,再令x=-1,f(一1)十f(3)=4, 又f(-1)=f(1)=2,所以f(3)=2,又f(x+4)+f(-x-2)=f(x+4)+f(x+2)=4,f(-x)十f(2+x) =)+2+)=4,所以+=，4为的-个周期4)=0)=1，罗/0=0)+506× [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=4049.故选A 9.AD若m⊥a,m⊥，则a∥3，故A正确：若a⊥3，mCa,C3,则m与n可能平行，故B错误；若a∥A,m∥B, 则m∥a或mCa,故C错误；过m作平面y∩B=l,又m∥B,所以m∥l,又m,n为异面直线，所以l与n相交， 设l∩u=P,又l∥a,n∥a,nC3,lCB,l∩n=P,所以a∥3，故D正确.故选AD. 10.ABD由题意可知，函数f(x)的最小正周期T=x=红，w=2,∴f(x)=2sin(2x-晋).对于A,当x∈ [0,晋]时，2x-吾∈[-吾，受]f(x)在[0，]上单调递增，故A正确：对于B.f(-晋)= 2sim2×(-晋)-晋]=2sim(-受）=-2，f(x)的图象关于直线x=-若对称，故B正确：对于C, (x-吾)=2sn(2红-吾)≠f故C错误：对于D,当x∈[受x]时，2x-吾∈[晋，]，仅当2x 吾=，即x=受时，f()=0,故D正确.故选ABD, 1山，CD对于选项A,D:x=y,抛物线D的焦点坐标为(O,),故A错误：对于选项 B,圆2的标准方程为：x2+(y-a)2=1(x>0),点(1，a)代入圆T2的方程得1十 (a一a)2=1,所以圆2过点(1，a),故B正确：对于选项C,设y=x十2被所截得 的线段为DE,中点为G,联立y=x十2和T:x=y有x一x一2=0，故 2。==安放%-+2-号G(,昌)e人n:+6ya 2 =1(>0)得+（停-a)广-1.解得a=.放C正确：对于述项D.如图所示， 【高三开学摸底考试·数学参考答案第1页（共4页）】 25-L.-038C 2在T的上方时，a>1且抛物线和圆无交点，联立x2=y和.x2+(y-a)=1有y2十(1一2a)y十a2一1 =0,且△=(1-2a)-4(a2-1)<0,解得a>号，故D正确.故选BCD. 12.50先按照从小到大排序：15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78，共12个数据，12×75%=9，第9,10个 数据分别为47,53，则第75百分位数为4753=50. 2 因为tana=3,lan(a十B)=-5,所以tan(2a+B)=tan[a+(a+月)]=tan a tan(a+ 1-tan atan(a+B) 3-5 14.16√2一16以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), B(4,0),D0,2).设∠EAB=0,则A正=(4,4amn0),A亦=(2am(于-0）.2），0≤an0<号.因为A范. =4,4amm·(2am(停-0）.2）=8am(停-o）+8m0=8+mg9+8ua0=6ngt8an0-8= 1十n0十8(an0叶1)-16≥162-16，当且仅当an9=2一1时等号成立，所以A花·AF的最小值 为162-16. 15.解：(1)因为A+B+C-π，所以asin A=bsin B+csin C-bsin C, 2分 根据正弦定理得仔一a2十2=C,…4分 根据余弦定理得c0sA仔+2-d=1 2bc 2…6分 由于0A<不，所以A=受. …7分 (2)因为Sr=专esin A=号 3=,所以c=2 10分 由余弦定理可知a2=+2-2 ccos A-=1?+22-2X1×2X号 =3, 所以以=√5.…13分 16.解：(1)中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，所以愿意购买新能源车 的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿 意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下2×2列 联表： …2分 购车意向 年龄段 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 …3分 零假设H。:消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， X=409200X50-100X502 250×150×300×100 ≈8.889>6.635=xm.01, 6分 根据小概率值x=0.O1的独立性检验，我们椎断H不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与 年龄有关。………………7分 (2)愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2：1，所以分层随机抽样抽取的9人中6 人是青年人，3人是中老年人，…8分 记这4人中，青年的人数为X,则X的可能取值为1,2,3,4， PX=1)-e=PK=2)-C C-14' 10分 PX-3)-e-”pPX=4-是-高 C 12分 【高三开学摸底考试·数学参考答案第2页（共4页）】 25-L.-038C 所以X的分布列如下： 1 2 3 4 P 5 10 5 2 14 21 42 EBX0=1X分+2x音+3x9+4 5 8 3 14分 所以这4人中青年人数的期望为 15分 17.(1)证明：设Q是CD的中点，连接PQ,因为P是CD的中点，则CC∥PQ, 因为PD=PC,所以PQ⊥CD,所以CC⊥CD.…2分 因为AD⊥平面ABBA1,AAC平面ABBA,所以AD⊥AA:,因为CC∥ D C AA,所以CC⊥AD.…4分 又CD∩AD=D,CD,ADC平面ABCD, 所以CC⊥平面ABCD. 又BDC平面ABCD,所以CC⊥BD.…6分 D (2)解：因为AD⊥平面ABBA,ABC平面ABBA1,所以AD⊥AB,四边形 ABCD是正方形，结合(1)的结论可知DA,DC,DD,两两垂直，以D为原点 建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AD=2.则D(0,0,0),P(0,1,2), B(2,2,0),C(0,2,0), Dd=(0,1,2),Di=(2,2,0),Ci=(2,0,0),Cp=(0,-1,2).…8分 设平面DPB的法向量为m=(x,y,之)， m…D币-=叶2红=0：令y-2,可得m=(2.-2,1 00004++00004400004+0+4+004+04+0e0+t m.Di=2x+2y=0, 10分 设平面CPB的法向量为n=(a,b,c), n.Ci-2a=0, 则 n.Cp=-b+2c=0. 令c=1,可得n=(0,2,1).…12分 设平面CPB与平面DPB的夹角为0，则osTm·Tn3X5 m·n 3=5 5· …14分 所以sin0=V个-cos0= 5 即平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值为 25 15分 a 2 18.解：(1)根据题意 X2c×b=√5， a2=+c2, 故a2=4,b=1, 3分 所以椭圆E的方程为十=1.… 4分 (2)如图所示： 设直线1的方程为y=一号x十mm≠0)，则M(2m,0),N(0,m). …5分 【高三开学摸底考试·数学参考答案第3页（共4页）】 25-L.-038C 1 y=一 +m, 联立方程 后+=1 消去y,整理得x2-2m.x+2r-2=0, 6分 △=42-8(-1)=8-4m2>0,得m<2且m≠0， 设C(xy),D(x),则十=2,1x=2m2-2. 7分 (i)Sw=2mln,S=合m1a, …8分 .△OCM与△ODN的面积之比为1.… 10分 (i)证明：|CM川2+|MD|2=(.x-2m)+i+(x-2m)2+ =-4mm+4m+(-号+m）'+-4m+4m+(-之+m) =号（国+)-号5m函+)+10m =5mr-号(2n-2)-10r+10mr=5. 综上，|CM川2+|MD2=5.…17分 19.(1)解：若a=4,则f(.x)=(.x-4)e十x十4，所以f(x)=(x-4)e十e+1=(x-3)e+1,…1分 所以f(0)=(0-3)e°十1=-2，又f(0)=(0-4)e十4=0，…2分 所以f(.x)的图象在x=0处的切线方程为y一0=一2(x一0)，即2x十y=0.…4分 (2)解：f(x)=(xa)e十e十1=(x-a十1)C十1，…5分 令g(x)=f(x),所以g'(x)=(x-a+1)e十e=(.x-a十2)e 当a一2≤0，即a≤2时，g(x)≥0在x∈[0，十o∞)上恒成立，所以g(x)在[0，十∞)上单调递增，即 f(x)在[0，十∞)上单调递增，所以∫(x)≥f(0)=2一≥0，所以f(x)在[0，十c∞)上单调递增，所以 f(x)≥f(0)=0,符合题意；…6分 当a-2>0,即a>2时，当x>a-2时，g'(x)>0,当0<x<a-2时，g'(x)<0,所以g(x)在(0，a-2)上 单调递减，在(a一2，十∞)上单调递增，即∫(x)在(0，a一2)上单调递减，在(a一2，十∞)上单调递增，又 f(0)=2-a<0,f(a)=(a-a+1)十1=e+1>0,所以存在xo∈(0，a),使得(x)=0,…8分 所以当0<x<o时，了(x)<0,所以f(x)在(0，xo)上单调递减，所以f(x)<f(0)=0,不符合题意. 综上，a的取值范围是（一00,2].…10分 ③证明：因为a。2∈N).所以山=法号-士十号即。士一-号所以日}是公差为 a+1d。 专的等差数列，又站-1，所以-1+(m1)=”生，所以a,名 12分 由(2)知当x>0时，(x-2)e+x+2>0, 所以当≥1，meN时，[n(1+号)-2]e()+n(1+号)+2>0，即1n(1+吴)>子…14分 2 <n(1+2)+ln(1+号)+la(1+号)++ln(1+名)+n(1+号) =n(3x含×号×号×…x×")=h2 2 =ln[(n+1)(n十2)]-ln2,… 16分 所以s+号<h[+1(a+2]-ln2+号，又-lh2+号<0. 所以8+号<n(m+1n+21。 17分 【高三开学摸底考试·数学参考答案第4贞（共4页）】 25-L.-038C青海省大通县教学研究室2025届高三开学摸底考试 请在各面川的答题裤城内作养。通出影形边氧限建域阵荐孝无效： 请弃各圆川的养超联城内作花，想出明和边松圆电区域的答紫无效： 数学答题卡 54本个通满生店的 本题端登修们 韩车立州 竹台复 立购买销隆程本 合计 翠口为次带首年 条形码粘贴处 青车 中老年 合 毛重每，年生人有月信字有车生.角务，年 2单正程组童特特细面白由，香作摩 事着著写T法工雅.能室：量鲜行 有法每样的泡在城减月作样，样东春能铁罐可 传声车光香：卡中保法组方出成 1121 12 组销情，卡有尊平纳何， 4 4 34 4 5 朝减销诗，￥置卫型事 过表 时 选泽置请用26粉笔填换] 1t.J【u1gt01 s[A)月[G1 I 14C11e正a s.)〔J[回o tAd Iea tdi:tod 4E.JC1o1【o1 (A]ING teI Isd 间t411口tC1t3J 率透程带引情使州Q.5毫米的满色字资签字第名写) 请在各题日的尊测区城为作荐。想出距彩洁园定X域的落案无 请在各题目的停增区城内传容。福出短彩边氧啊定区城酶在室农！ 请在各吧目们辉圈不城内传容。整出矩形边区原定风城峰客案： A名开学两强考以：数学第1民（我2民15L0 请在各圈川的答整《城内作春，银岛明后边松限电区域脚容率无 省在各猫日的答超（城内作容，组出即形边松阳定《域的答类无如 卓在各划的爷超区域内作荐，国州业修边根肌建长城的答无 7车小想端对9奶 a丰小鸭满让T行 3(者+题满价7 请在各显目的答道区域内仔荐。地一距形边积果定挥城的将表！ 请在各题日的等驱（城内个荐，超唐更系边框刚见民域的容室X,电 W在各烟甲的年题区城作行菁，见华E那边修限定（城们将案无定 高三开学每张以：验学第2男（其2兵15L3C