湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

长郡中学2025届高三第一次调研考试 数学 本试题卷共4页。时量120分钟，满分150分。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A={xr3-x=0),B={xx2-x-2<0},则AnB= A.{0,1} B.{-1,0y C.{0,1,2) D.{-1,0,1} 2.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则m∥α的一个充分条件是 A.m∥n,n∥a B.m∥B,a∥B C.m⊥n,n⊥a,mca D.mnn=A,n∥a,mca 3.(-2ym的展开式中的常数项是 A.第673项 B.第674项 C.第675项 D.第676项 4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭 祀器具和打击乐器使用的，如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两 个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm,公共底 面的半径为15cm,铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为8gcm3, 现有青铜材料1000kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（注： π≈3.14) A,1 B.2 C.3 D.4 5.已知定义在(0，+o)上的函数x)满足x)<x/代x)一1)(fx)为x)的导函数)，且1) =0,则 A.2)<2 B.f2)>2 C.3)<3 D.3)>3 6.己知过抛物线C:y2=2px(P>0)的焦点F且倾斜角为产的直线交C于A,B两点，M是 AB的中点，点P是C上一点，若点M的纵坐标为1，直线：3x+2y+3=0,则P到C的 准线的距离与P到1的距离之和的最小值为 A.33 B.513 C. 3v3 D.93 26 26 13 26 数学试题（第1页，共4页） ,.已知函数/=2snox+po>0水引，对于任意的xeR,f+)-/侣 ()+(行-=0都恒成立，且函数)在（音0上单调递增，则口的值为 A.3 B.9 C.3或9 D.5 8.如图，已知长方体ABCD-AB'CD中，AB=BC=2,AA=√互，O为正方形ABCD的 中心点，将长方体ABCD-AB'CD绕直线OD进行旋转.若平 D' 面a满足直线OD与a所成的角为53°，直线I⊥a,则旋转的过 程中，直线AB与1夹角的正弦值的最小值为（参考数据： sin53°s4 3 c0s53°≈3 5 A.45-3 B. 35-4 10 10 C.35+3 D. 4V5+3 10 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立A,B两个小组在原产品的 基础上进行不同方向的研发，A组偏向于智能自动化方向，B组偏向于节能增效方向， 一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B组性能得分为：73,70,96,79,94,88， 则 A.A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高 B.A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小 C.A组性能得分的极差比B组性能得分的极差大 D.B组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大 10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或 根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀 具进行斜劈，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中AC,BD分别为两个截面椭圆的 长轴，且A,C,B,D都位于圆柱的同一个轴截面上，AD是圆柱截面圆的一条直径， 设上、下两个截面椭圆的离心率分别为e,e2,则能够保证CD1≥迈4B的e1,e2的值 可以是 A.e=6,= 3 2 B.e1=},e2=5 2 C.e=5 e=40 2 D.e=5,e=5 4 1L.对于任意实数x,y,定义运算“⊕”x⊙y=x-+x+y,则满足条件a田b=b田c的实 数a,b,c的值可能为 A.a=-l0g050.3,b=0.40.3,c=log0.50.4 数学试题（第2页，共4页） B.a=0.403,b=log050.4,c=-l0g050.3 ga=009,b0,c=h0 D.a=802b=h 9’c=0.09 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在复平面内，复数：对应的点为(1,1)，则2-三= 1+: 13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列{am}的通项公式an= ①只是常数，m,n∈N°且m≠n:②a6=2as:③{an}的前n项和存在最小值， 14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时 数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名)，有如下问题：在 ×n的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或 往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右 下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的 走法？此问题的结果即卡特兰数C2m一C2m·如图，现有3×4 的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A走到右 上角B共有 种不同的走法：若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能 在直线AC的右下方，但可以到达直线AC,则有 种不同的走法。 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N,O为坐标原点，△OMN 的重心为G. (1)求点G的轨迹方程： (2)记第(1)问中的轨迹为曲线C,直线1与曲线C相交于A、B两点，点Q0,1), 若点H(√5,0)恰好是△ABQ的垂心，求直线1的方程. 16.(本小题满分15分) 如图，四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与底面所成的角 为45°，母线长为V2,E是BD的中点. (1)已知圆O2内存在点G,使得DE⊥平面BEG,作出点G的轨迹（写出解题过程）： (2)点K是圆O2上的一点（不同于A,C),2CK=AC,求平面ABK与平面CDK所 成角的正弦值。 数学试题（第3页，共4页） 17.(本小题满分15分) 素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶治 学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推 进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一 个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结 束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的， (1)声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为p(0<p<1), 设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为P),求p)的极大值点p. (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴， 有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法 从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到 学习电子琴的学生人数为5，求5的分布列及数学期望. 18.(本小题满分17分) 己知数列{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且a=b=2,ag=8a5,a4=6 (1)求{an},{bn}的通项公式： (2)数列(-1)2 …62 的前n项和为S。,集合A= n.a2 共有5个元素，求实数1的取值范围： (3)若数列{6}中，G=l,6,=1080m≥2，求证：9+GG+G66+… b2-1 +GC3G9…Cm<2. 19.(本小题满分17分) a 设有n维向量ā= 称[a,]=a,+a,4+…+a,b,为向量a和6的内积， a。 b 当[ā，b]=0,称向量ā和万正交.设S为全体由-1和1构成的n元数组对应的向量 的集合。 (0 2 (1)若d= 3 写出一个向量6，使得[a,b]=0: (2)令B={[配，F,eS,}.若meB,证明：m+n为偶数： (3)若=4，f(4)是从S,中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 [ā，b]=0,猜测f(4)的值，并给出一个实例. 数学试题（第4页，共4页）长郡中学2025届高三第一次调研考试 数学参考答案 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D D D A A AD AD BD 6.D【解析】由题得C的焦点为F 号0 设倾斜角为工的直钱AB的方程为y=x- P 与C的方程y2=2px(联立得y2-2y-p2=0 设Ax),B(x2y2),则片+为2=2p=2,p=1,故C的方程为y2=2x,F 由抛物线定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离， 联立抛物线C:y2=2x与直线：3x+2y+3=0,化简得9x2+10x+9=0, 由△=100-4×9×9=-224<0得C与1相离 Q,S,R分别是过点P向准线、直线1：3x+2y+3=0以及 过点F向直线：3x+2y+3=0引垂线的垂足，连接FP,FS, 所以点P到C的准钱的距离与点P到直线I的距离之和PQ+PS=PF+PS≥FS≥FR, 等号成立当且仅当点P为线段FR与抛物线的交点， 所以P到C的准线的距离与P到I的距离之和的最小值为 点F0到直线1：3+2y+3=0的距商，即FR 2+0*3 3 913 V32+2 26 故选：D 7.A【解析】设函数f(x)的最小正周期为T, 因为画数八)在（高0上单调递增。 所以0-(}，得= 因此0<0≤10， 由+}侣知的国象关于直钱x=吾对称， 12 则+p=k+keZ0, 数学答案（第1页，共9页） 由f倒+/侣-小0知f)的图象关于点（年0对格，则o子+p=长xeZ@. ②-①得m君=-)-受kk后Z,令k=6-,则0=6k-3ke乙， 结合0<0≤10可得0=3或9. 当0=3时，代入①得p=子+ke乙，又小受，所以0 4 44 故/（在(80上单润地塔，特合题意： 当0=9时，代入①得p=-晋+红，ke乙，又<受，所以p= 4 时)=2snx-国为-2<9r-<- 20 4 4 故（国在（需0上不是华调递增的，所以=9不持合随意，应合去 综上，0的值为3. 故选：A 8.A【解析】在长方体ABCD-BCD中，ABIIC'D', 则直线AB与I的夹角等于直线CD与I的夹角. 长方体ABCD-AB'CD中，AB=BC=2,AA=√2，O为正方形ABCD的中心点， 则OD'=OC V22+2 +(2=2,又CD'=2, 2 所以△OCD是等边三角形，故直线OD与CD的夹角为60°. 则CD绕直线OD'旋转的轨迹为圆锥，如图所示，∠CD'O=60°. 因为直线OD'与a所成的角为53°，I⊥a,所以直线OD与1的夹角为37°. 在平面CD0中，作D'E,D'F,使得∠ODE=∠ODF=37P 结合图形可知，当I与直线D'E平行时，CD与1的夹角最小，为∠CDE=60°-37°=23°， 易知∠CD'F=60°+37°=97°. 设直线CD与1的夹角为p,则23°≤p≤90°，故当p=23°时sinp最小， 而sin23°=sin(60°-37)=sin60°cos37°-cos60°sin37° -sin60'sin53-cos60cos53 0 故直线4B与1的夹角的正弦值的最小值为4V5-3 10 数学答案（第2页，共9页） 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.AD 10.AD 11.BD【解析】由a⊕b=b⊕c,可得a-b+a+b=b-+b+c,即la--b-=c-a, 若a≤b,c≤b,可得la-b-b-c=c-a,符合题意， 若a≤b,c>b,可得a-b-b-c=2b-a-c,不符合题意， 若a>b,c≤b,可得a-b-b-c=a-c,不符合题意， 若a>b,c>b,可得la-b-b-=c+a-2b,不符合题意， 综上所述a-b≤0，b-c≥0，可得b≥a,b≥c, 故只需判断四个选项中的b是否为最大值即可， 对于A.B.由题知-0gu03=l0g9<1ogal=0,而0<04<0=l, 1og0.4>log0.5=1,所以-logs0.3<0.403<log0.4. (点拨：函数y=l0gx为减函数，y=0.4为减函数)， 对于A,a<b<c:对于B,c<a<b,故A错误，B正确. 对于C,D, -09e1=0-0 e00 (将0.9转化为1-0.1，方便构造函数)构造函数f(x)=(1-x)e,x∈[0，)， 则f'(x)=-x,因为x∈[0,1)，所以f()≤0，f(x)单调递减， 因为f(0)=1,所以f(01)<1, 即0.9e1<L,所以0.09<0.1 (若找达项中的最大位，下面只考判斯二与山号的大小即) -n-n( 3）_0.1+n9=0.1 10✉ h10e+n0-0.), 构逸函数)-。产+n-xeo,,则h(=1上x--=e e'1-x e'(1-x)' 因为x∈[0，)，所以e(1-x)>0,令o(x)=(1-x)-e,则o(x)=-2(1-x)-e, 数学答案（第3页，共9页） 当x[0,1)时，(x)<0,o(x)单调递减，因为o(0)=0, 所以(x)≤0，即H(x)≤0，h(x)单调递减，又h(0)=0,所以h(0.1)<0, 即01 +n0-01)<0,所以0 10 cor<In 蛛上，009<8<ln n。.对于C,a<b<c:对于D,c<a<b,故C错误，D正确. (提醒：本题要比较09与9的大小关系的话可以利用作差法判断， 即0.09-ln 0=0.1x0.9-n 9 =(1-0.9)×0.9+ln0.9, 1 构造函数g(x)=(1-x)x+lr,xe(0,, 则g()=1-2x+=-2+x+1_2x+(x+) 因为x∈(0，，所以g'(x)≥0，g()单调递增，因为g()=0,所以g(0.9)<0, 即009-n号<0，所以0.09<h0) 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 25 【解析】由于复数：对应的点为(1,1)，所以：=1+i, -3=1-i=0-i02-i1-3i13i 故 +22+i(2+i)2-i)555, 13i 故答案为：55 13.n一4（答案不唯一） 14.3514 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)设G(x,y),M(x,),则N(,O),因G为aOMW的重心， x= 2xo 故有： 3, 解得无-行无=，代入+分-9，化简得子+护= 3x 3 又%0，故y≠0，所以G的轨迹方程为+护=1g≠0 (2)因H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ,AH⊥BQ, 数学答案（第4页，共9页） 又如=。二0=-。，所以水=5，故设直线的方程为y=V3x+m(m≠) 与+广三1联立消去少得：13+85+4m2-40 由△=208-16m2>0得m2<13, 35m-4 设1，)B(5,),则+无=-8Bm 13 由10.得气5号山，所以长-同+低+m小+m-0, 所以4x32+V5(m-1)k+x2十m2-m=0, 所以4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m）=0,化简得5m2+11m-16=0, 解得m=1(舍去)或m=-1(满足△>0)，故直线1的方程为y=x-16 5 5 16.【解析】(1)：E是BD的中点，.DE⊥BE 要满足DE⊥平面BEG,需满足DE⊥BG, 又：DEC平面BDE,.平面BEG⊥平面BDE 如图，过B作下底面的垂线交下底面于点G, G3 过G作BE的平行线，交圆O于G,G,则线段GG,即点G的轨迹. (2)易知可以O为坐标原点，O,C,O,O所在直线分别为y, :轴建立如图所示的空间直角坐标系O一贮， 母线长为√5，母线与底面所成角为45°，AC=2BD, ∴02A=2,0B=1,0,03=1, 取K的位置如图所示，连接OK, 数学答案（第5页，共9页） 2CK=AC,.∠COK=60°，即∠xOK=30, 则K5,1,0）,A0,-2,0),B(0,-1),C(0,2,0),D01,), 则4-(N5,30,Bx=(5,2-,C-(5,-10,Dx-(5,0,- 设平面ABK的法向量为万=(，片，)， m4R=0V5x+3y=0 则 ,即 n歌=0'15x+2y-=0' 令x=5,则=1，片=-1，∴=(5，-1，) 设平面CDK的法向量为m=(x2乃2，)， m-C不=0 则 5x,-y=0 ,即 m-D尿=0'5x-52=0 令x3=5,则2=3，乃=3，m=(53,3) 设平面ABK与平面CDK所成的角为O,则 历 cos0= 5x5+(-1)x3+1×305 园 √5x√2I 35 sn0=-eosa=4而 35 17.【解析】(1)24名学生中恰有3名通过测试的概率f(p)=C·p1-p), 则f(p)=C[3p-p)-2p-pP=C3p2(-p户（←8p）,0<p<1, 令f=-0,得p日 所以当0<p<。时，'(p)>0,f(P)单调递增： 8 当g<p<1时，了p)k0,)单调递减， 故f(P）的极大值点P=8 数学答案（第6页，共9页） (2)利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名， 所以5的所有可能取值为0,1,2,3， P6=答紧P6=是 则随机变量5的分布列为 0 2 3 12 18 35 35 35 35 E(5)=0x35+1 +2× 18 412 +3× 35 35 357 18.【解析】(1)设数列{an}公比的为q,数列bn}公差的为d 则由ag=8a45,g=8∴q=2，∴.an=a41q"-=2”, a,=b.=16,即=2+7d=16.d=2,bn=2+(n-1)2=2n. 2)设4=-D6号刘6 则d4n+d4n-1+d4m-2+dm-3=bn+bn-1-bn-2-bn-3=128n-48 ,S4n=(d1+d2+d3+d)+…+(d4m3+d4m2+d4m4+d4m） =m128n-48+80 =64n+16) Smb2=64n+16).2(n+2_32n+80n+2) n.d2 27 20 令f0m=32n+8n+2) 20 则fn+1)-fm=32m+40n+3)_(32n+82n+4) 2+ 24 =-32m2-8m+88_4-4n2-n+1D 20+1 2” 可得f)<f2)>f3)>f(4)>…>fm), 故当n=2时，f()最大 0=60,=1,f10=25 25<1s147 ，即1的取值范围为(25,41、 数学答案（第7页，共9页） (3)由c1=1，cn= (n22),则 n2-1(n+10n-) 当n≥2时， c92…Cn=l 13*2.4* 23 n (n-10(n+)3×4×5×…×n×(n+1) 2n 0m+10 当n=1时，c=1也满足上式 (neN) (n+1)1 .G+GC2+G…C2c3+…+GC2C3…cm =22 <2 (n+1) 故原不等式成立 1 19.【解析】(1)由定义，只需满足4+2b+3动+4h,=0,不妨取b (答案不唯一). 0 (2)对于m∈B,i=1,2,…,n, 片】 存在京= x∈{-1，，= ，∈{l,},使得民，=m. X n 当，=y时，=1；当x≠y时，x=-1.令方= 0,x≠y 所以[民，习=∑xy,=k--)上2k-n. 所以m+n=2k-n+n=2k为偶数. (3)当n=4时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即f(4)=4. 不妨取ā= 1 则有[a,a]=0,[a,a]=0,[a,a]=0,[a,a]=0,[a,a]=0,[a,a]=0. 数学答案（第8页，共9页） 若存在d,使[a,a]=0,则a 1 当a= 时，[a,a=-4: 】 - 当4= 时，[a,a]=-4: 当4= 时，[aa]=-4, -1 故找不到第5个向量与己知的4个向量互相正交. 数学答案（第9页，共9页）