第二十四章 圆（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十四章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ） A．6 B． C．9 D．12 5．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 6．如图，点在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 9．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 10．如图，是的直径，，分别与相切于点A，点C，若，，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么 ． 12． 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 13．如图，为的弦，的半径为，于点，交于点，且，则弦的长是 ． 14．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 15．如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 16．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ． 17．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 18．如图，中，，，点在射线上运动，连接交外接圆于，则的最小值为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．    20．（10分）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为． (1)求另外两个扇形的圆心角； (2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）． 21．（10分）如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若 计算结果保留) (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 22．（10分）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 24．（10分）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 25．（10分）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 26．（10分）如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)写出与的位置关系_________； (2)求证：是切线； (3)若，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，直接根据圆周角定理即可得解。 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【详解】平面内有一点到圆心的距离为4，． 该点在圆外， 点符合要求． 故选：D． 3．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ） A．6 B． C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 5．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了扇形的面积计算公式，将面积是，弧长是，代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：C. 6．如图，点在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选D． 7．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆周角于圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆周角于圆心的关系得，再根据圆内接四边形的性质得，由此可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选B． 8．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案． 【详解】． 故这个正多边形的边数为12． 故选B． 【点睛】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 9．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果． 【详解】∵为外一点，，分别切于，两点， ∴， 故选B． 10．如图，是的直径，，分别与相切于点A，点C，若，，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据切线长定理结合已知条件得出为等边三角形，得出，，求出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，分别与相切于点A，点C， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么 ． 【答案】60° 【分析】根据圆周角与圆心角的关系即可求解. 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为60°． 【点睛】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理的性质. 12． 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当时，直线与圆相切，即可得出结果． 【详解】解：当时， 与相切； 故答案为：． 13．如图，为的弦，的半径为，于点，交于点，且，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，连接，利用线段差求出的长，再通过勾股定理求出的长，即可运用垂径定理求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵， ∴即， 解得， 故答案为： 15．如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键． 根据为直径，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，得出，证明，得出，证明，根据等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ， ， ， ， ， ∵是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案是：． 16．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型． 连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ，，， ，，， 以点为圆心，的长为半径作弧， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 故答案为：． 17．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，中，，，点在射线上运动，连接交外接圆于，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】如图，连接，首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动（是等腰直角三角形，，），连接交于，此时的值最小． 【详解】连接，则， ∵， ∴点在以为弦的一段圆弧上运动，圆心角为， 设圆心为，连接， 则为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（当且仅当是与圆弧的交点时取等号）， ∴线段的长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．    【答案】 【分析】根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可得，再利用含角的直角三角形的特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中“弧、弦、角的关系”等知识点．熟记相关结论即可． 20．（10分）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为． (1)求另外两个扇形的圆心角； (2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，根据周角为，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数； （2）利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度， 由题意得：， 解得：， 另外两个扇形的圆心角分别为： 答：另外两个扇形的圆心角分别为和． （2）解：由扇形面积公式得：， 答：圆心角为的扇形的面积． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键． 21．（10分）如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若 计算结果保留) (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）阴影部分的面积是长方形的面积减去半圆的面积，再减去三角形的面积，且，由此即可求解； （2）根据（1）中的计算结果，将代入计算即可． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∴ ，即阴影部分的面积是． （2）解：由（1）可知，， ∴， 即时，阴影部分的面积是． 【点睛】本题主要考查圆与三角形，长方形的综合运算，理解图形的组成，找出各图形间的关系是解题的关键． 22．（10分）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】如图，四边形ABCD即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 24．（10分）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 【答案】（1）120°；（2）90°，72°；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案； （2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案； （3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是正三角形， ∴， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∴； （2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理， ， ∴； 由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理， ∴， ∴； 故答案为：90°；72°； （3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=； 故答案为：； 【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数． 25．（10分）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆的切线的性质，得到，根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到，进而得出，推出，得到，即可证明结论； （2）根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为圆O的切线， ． 平分， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． 是的切线．    （2）解：， ， ， ． ． 是直径， ， ， ． 在中，，， ． ． 26．（10分）如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)写出与的位置关系_________； (2)求证：是切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的半径长为． 【分析】（1）由，是的直径，得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，由，得，则垂直平分，所以，即可证明是的切线； （3）由，证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，则的半径长为． 【详解】（1）解：交的延长线于点，是的直径， ， ， 故答案为：； （2）证明：连接， 平分交于点， ， ， 垂直平分， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （3）解：， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$