第二十四章 圆（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十四章 圆（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    ) A． B． C． D．答案不唯一 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，是⊙O的直径，，与⊙O相切于点A，交⊙O于点D，连接，若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 5．如图，四边形是的内接四边形，延长到点E ，则与的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 7．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 10．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 12．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ． 13．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ． 14．如图，已知是圆O的直径，，是圆O的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 15．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 16．如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 17．如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ． 18．如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 20．（10分）将一个半径为cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比1∶2∶3，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②其中最小一个扇形的面积． 21．（10分）如图，是的两条弦，利用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 22．（10分）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 23．（10分）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 24．（10分）如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 25．（10分）已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 26．（10分）已知为的直径，为上一点，． (1)如图①，点是弧上一点，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线l和相交，进行判断即可． 【详解】解：∵直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ， ∴． 故选：C． 2．如图所示，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    ) A． B． C． D．答案不唯一 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 4．如图，是⊙O的直径，，与⊙O相切于点A，交⊙O于点D，连接，若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由是⊙O的直径，，得，，由切线的性质得，而，所以，则是等边三角形，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵与⊙O相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，四边形是的内接四边形，延长到点E ，则与的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，以及同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵延长到点E ， ∴， ∴； 故选A． 6．下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解 “在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键． 【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意； B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长；符合题意，故结论正确； C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意； D.同圆或等圆中，相等的弦，所对的弧相等；结论错误，故不符合题意； 故选：B． 7．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 8．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 9．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 10．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．过点O作于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，得到，由的半径为2，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，， ， 的半径为2， 与射线的位置关系为相切， 故答案为：相切． 12．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决． 本题考查切线的性质、圆内接四边形，等边对等角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，作于H， ∵直径于H，，为的切线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出的长． 14．如图，已知是圆O的直径，，是圆O的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质、圆周角定理及扇形面积公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 如图：连接，根据平行四边形的性质及圆的性质可得，再根据中位线定理得，然后由切线的性质及扇形面积公式、三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接OF， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴F是的中点， ∴， ∵是圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 16．如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题 【详解】解：∵， ∴ ∵C为的中点， ∴， 在绕点O旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ∵， ∴， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵C为的中点， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为： 17．如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，由且过圆心，得到 再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 且过圆心， 在中， 在中， 在中，． 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ． 【答案】2或 【分析】当与和相切时，点为的中点，此时的半径为2；当与相切点时，连接，延长交于点，根据切线的性质得到，根据矩形性质得到，根据垂径定理得到，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的半径． 【详解】解：当与和相切时，为的直径，点A和为切点， 点为的中点，此时的半径为2； 当与相切点时， 连接，延长交于点，如图， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， 即此时的半径为， 综上所述，的半径为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了圆与矩形综合．熟练掌握矩形性质，圆切线的性质：垂径定理，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答． 【详解】解：∵、为的两条弦， ∴ ∴ ∴ 20．（10分）将一个半径为cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比1∶2∶3，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②其中最小一个扇形的面积． 【答案】①这三个扇形的圆心角分别是：、、；② 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，认识平面图形，掌握周角的定义和扇形的面积即可解答该题，属于基础题． ①三个圆心角的度数之和为，据此进行解答； ②根据扇形的面积公式进行解答． 【详解】解：①设三个圆心角的度数分别是、、，则， 解得． 故这三个扇形的圆心角分别是：、、； ②圆心角为的扇形最小，其面积为：． 21．（10分）如图，是的两条弦，利用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，连接，过点O作交于点D，则点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 连接，过点O作交于点D，则点D即为所求． 22．（10分）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 23．（10分）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 24．（10分）如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，扇形面积的计算； （1）根据圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得：，再根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后根据等角的补角相等可得，即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的面积，然后根据圆周角定理可得，从而根据阴影部分的面积=的面积+扇形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴； （2）解：为直径， ， 过点作于点， ， ， 阴影部分的面积为． 25．（10分）已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等： （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，由题意可得，则，即可得到 （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，，再由平行线的性质得到，据此证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 26．（10分）已知为的直径，为上一点，． (1)如图①，点是弧上一点，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由为的直径，，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接，与相交于，由是的切线，得到，求得，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质得到，由为的直径，得到，由垂径定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 为的直径，， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：连接，与相交于， 是的切线， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$