大单元复习01 集合与常用逻辑用语 -2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（人教A版2019专用）

大单元复习01 集合与常用逻辑用语（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 5 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 5 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 6 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 6 【考点4】根据集合的包含关系求参数 7 【考点5】空集的性质及应用 8 【考点6】交集运算 9 【考点7】并集运算 9 【考点8】交、并、补混合运算 10 【考点9】Venn图 11 【考点10】集合新定义 13 【考点11】充分条件与必要条件 14 【考点12】充要条件 14 【考点13】全称量词与存在量词 16 【考点14】全称量词与存在量词的否定 16 知识梳理 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 六、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 七、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 八、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 九、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 十、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 十一、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 十二、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 十三、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 十四、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 十五、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 十六、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 十七、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 十八、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 十九、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 二十、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 二十一、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 二十二、全称量词命题的否定 (1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二十三、存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 热考题型 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 三、填空题 6．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 . 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 二、多选题 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 三、填空题 6．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 3．（23-24高一上·北京·期中）若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 二、多选题 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 5．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 三、填空题 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【考点4】根据集合的包含关系求参数 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、多选题 4．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 5．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【考点5】空集的性质及应用 一、单选题 1．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 3．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 二、多选题 4．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 三、填空题 6．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【考点6】交集运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知集合，若为单元素集合时，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（2024高一·全国·专题练习）若集合，，满足，则实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 5．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 三、填空题 6．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 【考点7】并集运算 一、单选题 1．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 5．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 三、填空题 6．（24-25高三上·辽宁·开学考试）设，若，则实数的取值集合为 . 【考点8】交、并、补混合运算 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 2．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知非空集合都是的子集，满足，，则（  ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【考点9】Venn图 一、单选题 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 3．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ）    A．3 B．4 C．7 D．8 二、多选题 4．（24-25高一上·福建龙岩·开学考试）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）设集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为 . 【考点10】集合新定义 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 2．（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 二、多选题 4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 5．（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 三、填空题 6．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 【考点11】充分条件与必要条件 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．（23-24高一下·浙江·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）下列命题是真命题的有（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 三、填空题 6．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【考点12】充要条件 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（    ） A．集合与集合是同一个集合 B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件 C．对于任何两个集合A，B，恒成立 D．，，则 5．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 三、填空题 6．（21-22高一·湖南·课后作业）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的 ； （2）“，”是“”的 ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的 ； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的 ． 【考点13】全称量词与存在量词 一、单选题 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 二、多选题 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 三、填空题 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【考点14】全称量词与存在量词的否定 一、单选题 1．（24-25高一上·广西·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．不等式成立的一个充分不必要条件是或 D．当时，方程组有无穷多解 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下面四个命题，其中错误的是（    ） A．，恒成立； B．，； C．，； D．， 三、填空题 6．（23-24高一上·全国·课后作业）某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“，函数的图象在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“，函数的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？ .（填“是”或“否”） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习01 集合与常用逻辑用语（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 5 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 5 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 8 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 10 【考点4】根据集合的包含关系求参数 12 【考点5】空集的性质及应用 15 【考点6】交集运算 18 【考点7】并集运算 20 【考点8】交、并、补混合运算 23 【考点9】Venn图 26 【考点10】集合新定义 29 【考点11】充分条件与必要条件 32 【考点12】充要条件 35 【考点13】全称量词与存在量词 39 【考点14】全称量词与存在量词的否定 41 知识梳理 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 六、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 七、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 八、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 九、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 十、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 十一、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 十二、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 十三、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 十四、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 十五、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 十六、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 十七、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 十八、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 十九、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 二十、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 二十一、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 二十二、全称量词命题的否定 (1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二十三、存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 热考题型 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 三、填空题 6．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B A ABD ABD 1．B 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 2．B 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 3．A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4．ABD 【分析】分，，，求出实数，利用元素的互异性检验，得到答案. 【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意. 故选：ABD. 5．ABD 【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案. 【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或． 故选：ABD 6．5 【分析】根据元素与集合的关系，建立关于m的方程，解方程及验证得解. 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ① 当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ② 当时，，满足题意，则实数m的值为 故答案为：. 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 二、多选题 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 三、填空题 6．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B D D ABD ABD 1．B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 2．D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 3．D 【分析】根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 4．ABD 【分析】分，，，求出实数，利用元素的互异性检验，得到答案. 【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意. 故选：ABD. 5．ABD 【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案. 【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或． 故选：ABD 6． 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 3．（23-24高一上·北京·期中）若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 二、多选题 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 5．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 三、填空题 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D B AB ABD 1．D 【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可. 【详解】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 2．D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 3．B 【分析】利用一元二次方程的解法，分类讨论运算即可得解. 【详解】解：当时，方程不是一元二次方程，舍去； 当时，方程的解集为单元素集合， 即方程有两个相等的实根， ∴，解得：； 综上，. 故选：B. 4．AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 5．ABD 【分析】分别按一次方程、二次方程讨论，即可确定的取值. 【详解】当时，，解得，所以，符合题意； 当时，由题意，得，解得或. 故选：ABD 6． 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 【考点4】根据集合的包含关系求参数 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、多选题 4．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 5．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A D B BD BCD 1．A 【分析】先解一元二次不等式再根据集合间的关系求参． 【详解】，； 由可以推出，所以， a的取值范围是． 故选：A. 2．D 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由集合且，得，所以. 故选：D 3．B 【分析】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果． 【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立； 若，解得，此时,，,,，不成立； 若，解得，此时,，,3,，不成立； 综上所述：． 故选：B． 4．BD 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 5．BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 6． 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 【考点5】空集的性质及应用 一、单选题 1．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 3．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 二、多选题 4．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 三、填空题 6．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B D BCD BCD 1．B 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 2．B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 3．D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 4．BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 5．BCD 【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D. 【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误； 空集是任何集合的子集，则，故B正确； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确； 空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确. 故选：BCD. 6． 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 【考点6】交集运算 一、单选题 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知集合，若为单元素集合时，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（2024高一·全国·专题练习）若集合，，满足，则实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 5．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 三、填空题 6．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C BCD ABD 1．B 【分析】将代入方程求出，再求集合即可. 【详解】由可知， 当时，，解得：或，即. 故选：B 2．B 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 3．C 【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可； 【详解】因为集合，若为单元素集合， 则方程组只有唯一解， 所以，整理可得， 当时，方程变为，此时，符合题意； 当时，， 所以或， 故选：C. 4．BCD 【分析】先用列举法表示集合，再由得出，对进行分类讨论即可确定的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以当时，，满足，即符合题意； 当时，，要满足，则有或，解得或； 综上所述，的值可能是. 故选：BCD. 5．ABD 【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可. 【详解】对于A，若，则成立，即A正确； 对于B，若，则成立，即B正确； 对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误； 对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确. 故选：ABD 6． 【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 【考点7】并集运算 一、单选题 1．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 5．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 三、填空题 6．（24-25高三上·辽宁·开学考试）设，若，则实数的取值集合为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D B A BD ABD 1．D 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 2．B 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】依题意得解得. 故选：B 3．A 【分析】根据补集运算求出，然后利用数轴分析可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故选：A 4．BD 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 5．ABD 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【详解】，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 6． 【分析】化简集合，即可根据分别求解. 【详解】由可得, 由于,故, 因此， ， ， 故实数的取值集合为， 故答案为： 【考点8】交、并、补混合运算 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 2．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知非空集合都是的子集，满足，，则（  ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D A ABD ABC 1．D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 2．D 【分析】由题意可得，再根据，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 又全集， 所以. 故选：D. 3．A 【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，，，， 若，则，，所以，与题意矛盾，所以， 同理可证，，， 所以. 故选：A 4．ABD 【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项. 【详解】对于A，由可得，故A正确； 对于B，由，可得，从而，故B正确； 对于C、D，结合与，可知，又，所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 5．ABC 【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，， 所以，故A正确； 集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确； ，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：ABC.    6． 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 【考点9】Venn图 一、单选题 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 3．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ）    A．3 B．4 C．7 D．8 二、多选题 4．（24-25高一上·福建龙岩·开学考试）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）设集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D AC AC 1．B 【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 2．C 【分析】利用文氏图，列式求解. 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 3．D 【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解. 【详解】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为， 所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个. 故选：D. 4．AC 【分析】根据图验证B,C,D再利用交集补集定义判断A. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误， 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC 5．AC 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合运算直接判断即得. 【详解】依题意，图中阴影部分在集合中，不在集合中， 因此该阴影部分表示的集合为或，AC正确，BD错误. 故选：AC 6．7 【分析】根据韦恩图判定阴影表示的集合，结合真子集的概念计算即可. 【详解】因为，所以， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为， 故其真子集个数为个. 故答案为：7 【考点10】集合新定义 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 2．（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 二、多选题 4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 5．（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 三、填空题 6．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C B B AC BC 1．C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 2．B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 3．B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 4．AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 5．BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 6． 【分析】根据定义，先求A❀B，再求其补集即可. 【详解】因为U=Z, 所以A❀B=， 所以❀= 故答案为：. 【考点11】充分条件与必要条件 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．（23-24高一下·浙江·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）下列命题是真命题的有（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 三、填空题 6．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B A A BCD ACD 1．B 【分析】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B. 2．A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 3．A 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 4．BCD 【分析】根据必要条件的定义求解. 【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小， 观察选项，BCD符合， 故选：BCD. 5．ACD 【分析】借助集合的运算，充分条件、必要条件及充要条件的定义即可解决. 【详解】对于A，因为 时，一定有； 同时 时，一定有. 所以“”是“”的充要条件.故A正确； 对于B，因为时，一定有； 但是当时，若，则， 所以，时，不一定成立. 所以“x”是“”的必要不充分条件.故B错误； 对于C，因为时，一定有； 但是当时，与的大小关系不确定， 所以时，不一定成立. 所以“”是“”的必要不充分条件.故C正确； 对于D，因为5是有理数， 所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件.故D正确. 故选：ACD 6．充分 【分析】根据集合之间的关系，利用充分条件与必要条件的定义分析判断即可得解. 【详解】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 【考点12】充要条件 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（    ） A．集合与集合是同一个集合 B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件 C．对于任何两个集合A，B，恒成立 D．，，则 5．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 三、填空题 6．（21-22高一·湖南·课后作业）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的 ； （2）“，”是“”的 ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的 ； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C B A ABD BD 1．C 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 2．B 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 3．A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 4．ABD 【分析】根据集合、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，集合，集合， 所以两个集合不是同一个集合，所以命题是假命题. B选项，当“为空集”时，可能， 此时都不是空集，所以命题是假命题. C选项，根据交集和并集的定义可知，恒成立，命题是真命题. D选项，由于集合的元素不相同，所以两个集合不相等，所以命题是假命题. 故选：ABD 5．BD 【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可； 对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可； 对C， 问题转化为求在区间有解即可； 对D， 由化简即可判断. 【详解】对A， ，若，则， 当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确； 对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确； 对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确. 故选：BD 6． 充要条件 既不充分又不必要条件 充分而不必要条件 充要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一分析判断即可得出答案. 【详解】解：（1）若，则，则充分性成立， 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件； （2）当，则，所以充分性不成立， 当，则， 即推不出，，则必要性不成立， 所以“，”是“”的既不充分又不必要条件； （3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立， 当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立， 所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件； （4）若，则是方程的一个根成立，则充分性成立， 当是方程的一个根时，则有，则必要性成立， 所以“”是“是方程的一个根”的充要条件. 故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）充要条件. 【考点13】全称量词与存在量词 一、单选题 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 二、多选题 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 三、填空题 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C C D BC AB 1．C 【分析】根据给定条件，结合全称量词命题、存在量词命题的真假判断逐一判断各个命题即得. 【详解】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 2．C 【分析】利用命题的否定是真命题，来求解参数范围. 【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题， 因为，， 所以，又因为，所以， 故选：C. 3．D 【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假. 【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D 4．BC 【分析】根据题意，求得当命题为真命题时，的取值范围，即可得到结果. 【详解】若命题为真命题，则，解得，则当命题为假命题时，. 故选：BC 5．AB 【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断. 【详解】对于A，方程的判别式，故A正确； 对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误. 故选：AB. 6． 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点14】全称量词与存在量词的否定 一、单选题 1．（24-25高一上·广西·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．不等式成立的一个充分不必要条件是或 D．当时，方程组有无穷多解 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下面四个命题，其中错误的是（    ） A．，恒成立； B．，； C．，； D．， 三、填空题 6．（23-24高一上·全国·课后作业）某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“，函数的图象在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“，函数的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？ .（填“是”或“否”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B D ACD ABC 1．B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出结果即可； 【详解】命题“”的否定是. 故选：B. 2．B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解. 【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，②错误； 对于③，若，则且，反之，，， 成立， 因此是的充分不必要条件，③正确； 对于④，，而，则，④正确， 所以正确结论的个数为2. 故选：B 3．D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 4．ACD 【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可. 【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； 对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确； 对D，当时，方程组等价于，所以方程组有无穷多解，故D正确. 故选：ACD. 5．ABC 【分析】依次对选项进行判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，解得：，是无理数，则也是无理数，故B错误； 对于C，由于对任意实数满足都成立，故C错误； 对于D，由原不等式得， 所以，都有成立，故D正确； 故选：ABC 6．是 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.全称量词命题的否定是存在量词命题.命题为假命题，则其否定为真命题.命题为真命题，则其否定为假命题. 【详解】若命题“，函数的图象在x轴的下方”是假命题， 则其否定“，函数的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题． 若命题“，函数的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题， 则其否定“，函数的图象在x轴的下方”是假命题. 所以两位同学所出题目的条件互为充要条件. 故两位同学所出的题，求解m的取值范围是一致的． 故答案为：是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$