大单元复习01 集合与常用逻辑用语训练-2025-2026学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

大单元复习01 集合与常用逻辑用语（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 1 【热考题型】 5 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 5 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 7 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 9 【考点4】根据集合的包含关系求参数 12 【考点5】空集的性质及应用 14 【考点6】交集运算 17 【考点7】并集运算 19 【考点8】交、并、补混合运算 22 【考点9】Venn图 24 【考点10】集合新定义 27 【考点11】充分条件与必要条件 30 【考点12】充要条件 32 【考点13】全称量词与存在量词 35 【考点14】全称量词与存在量词的否定 37 知识梳理 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 六、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 七、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 八、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 九、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 十、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 十一、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 十二、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 十三、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 十四、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 十五、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 十六、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 十七、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 十八、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 十九、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 二十、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 二十一、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 二十二、全称量词命题的否定 (1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二十三、存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 热考题型 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 1（单选）（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 2（单选）（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 3（单选）（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4（多选）（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 5（多选）（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）已知，且，，，则取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别将各选项代入集合，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案. 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 6（填空）（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解. 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 1（单选）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2（单选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 3（单选）（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 4（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 5（多选）（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解. 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 6（填空）（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 【答案】或5 【分析】根据题意可得，或，求出后，再由集合中的元素具有互异性分析判断即可. 【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且， 所以，或， 当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意， 当时，得或， 当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去， 当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意， 综上，或. 故答案为：或5 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 1（单选）（2023高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案. 【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D 2（单选）（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 3（单选）（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解. 【详解】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 4（多选）（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以. 故选：AC 5（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分类讨论：，然后求解出的取值即可. 【详解】当时，，满足条件； 当时，若中仅有一个元素，则，此时， 若，则，满足， 若，则，满足， 故选：ABD. 6（填空）（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 【考点4】根据集合的包含关系求参数 1（单选）（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 2（单选）（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案. 【详解】当时,即,时成立; 当时,满足,解得; 综上所述:. 故选:C. 3（单选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 4（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 5（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 6（填空）（22-23高一上·江西·阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点5】空集的性质及应用 1（单选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以是的真子集，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 2（单选）（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 3（单选）（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 4（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 5（多选）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 6（填空）（22-23高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【考点6】交集运算 1（单选）（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2（单选）（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数. 【详解】因为， ， 所以，所以的子集个数为． 故选：D． 3（单选）（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 4（多选）（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：可知，故A错误； 对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误； 对于选项C：可知为的真子集，故C正确； 对于选项D：因为为的真子集，且， 所以，故D正确； 故选：CD. 5（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为， 所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即， 综上，，故D错误. 故选：AB 6（填空）（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 【考点7】并集运算 1（单选）（22-23高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 2（单选）（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 3（单选）（24-25高三上·重庆·期末）设全集，集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合和并集定义可判断各选项正误. 【详解】因为 所以即，即表示全体奇数构成的集合. 对于AD选项，集合中的元素分别是由4的偶数倍和奇数倍的数组成，故AD错误； 对于BC选项，集合B中的元素是由全体偶数减1对应的数组成，即集合B中的元素是由全体奇数组成， C中的元素是由4的倍数减1对应的数组成，为部分奇数，故B正确，C错误. 故选：B 4（多选）（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 【答案】ABD 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【详解】，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 5（多选）（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）设集合或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合间的关系求出参数范围，再逐项判断即可. 【详解】由题知，， 若等价于或，解得或，故A、B正确； ，则，故C正确； ，则，故D错误； 故选：ABC. 6（填空）（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 【考点8】交、并、补混合运算 1（单选）（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知为的子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集，补集的运算判断即可． 【详解】解：集合M，N均为R的子集，且， 则， 则， 故选：C 2（单选）（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又集合，所以或. 故选：B 3（单选）（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再利用集合的并交补运算即可得解. 【详解】因为，， 又， 所以，. 故选：B. 4（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意作出Venn图，结合图形逐一判断各选项即可得解. 【详解】由题意作出如图所示的Venn图，    由，知，没有共同元素， 所以，所以，A项正确； 而，仅才有成立，B项错误； 由图可知，仅才有成立，此外皆有，C项错误； 而，D项正确． 故选：AD． 5（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，，若集合，则P可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】首先求，再根据，结合选项，即可判断. 【详解】因为，， 所以或，或， 因为集合，所以集合可以是AB. 故选：AB 6（填空）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 【考点9】Venn图 1（单选）（2023·广东·模拟预测）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可. 【详解】， 选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意； 选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意， 故选：B 2（单选）（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 3（单选）（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 4（多选）（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 5（多选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意利用集合的交集、补集的运算，结合韦恩图和选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 6（填空）（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 【考点10】集合新定义 1（单选）（2023高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算，得到元素个数. 【详解】，则，则中元素的个数为 故选：C 2（单选）（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 3（单选）（2025高一上·全国·专题练习）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【详解】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B 4（多选）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 5（多选）（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 6（填空）（24-25高一上·上海·期中）设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【分析】根据题意，依次写出符合条件的“好集”. 【详解】 . 故答案为：9 【考点11】充分条件与必要条件 1（单选）（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 2（单选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 3（单选）（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4（多选）（23-24高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 故选：AC. 5（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 故选：BCD 6（填空）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【考点12】充要条件 1（单选）（2024·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 2（单选）（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 3（单选）（24-25高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 4（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 5（多选）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】对A，化简集合A，利用公式计算；对，利用充分、必要条件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A：集合，且， 所以集合A的真子集个数为，A错误； 对于B：若“方程有一个正根和一个负根”,则， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确； 对于C：解，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D：若，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：BD. 6（填空）（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 【考点13】全称量词与存在量词 1（单选）（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 2（单选）（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 3（单选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 4（多选）（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 5（多选）（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】考虑与两种情况，结合方程有根，得到的取值范围，求出答案. 【详解】当时，，为真命题，则成立， 当时，若为真命题，则，解得且， 综上，为真命题时，的取值范围为. 故选：BCD 6（填空）（23-24高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点14】全称量词与存在量词的否定 1（单选）（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用全称量词命题的否定即可解答. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：B. 2（单选）（2025高二下·北京·学业考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】命题“，”为存在量词命题，它的否定为全称量词命题， 即，， 故选：A 3（单选）（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 4（多选）（2024·广东惠州·二模）下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 5（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 6（填空）（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得，列不等式求的取值范围. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习01 集合与常用逻辑用语（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 1 【热考题型】 5 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 5 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 6 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 6 【考点4】根据集合的包含关系求参数 7 【考点5】空集的性质及应用 8 【考点6】交集运算 8 【考点7】并集运算 9 【考点8】交、并、补混合运算 10 【考点9】Venn图 10 【考点10】集合新定义 12 【考点11】充分条件与必要条件 13 【考点12】充要条件 14 【考点13】全称量词与存在量词 14 【考点14】全称量词与存在量词的否定 15 知识梳理 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 六、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 七、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 八、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 九、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 十、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 十一、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 十二、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 十三、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 十四、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 十五、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 十六、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 十七、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 十八、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 十九、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 二十、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 二十一、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 二十二、全称量词命题的否定 (1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二十三、存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 热考题型 【考点1】根据元素与集合的关系求参数 1（单选）（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2（单选）（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 3（单选）（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 5（多选）（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）已知，且，，，则取值可能为（    ） A． B． C． D． 6（填空）（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 【考点2】利用集合元素的互异性求参数 1（单选）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 2（单选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3（单选）（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 5（多选）（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 6（填空）（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 【考点3】根据集合中元素的个数求参数 1（单选）（2023高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 2（单选）（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 3（单选）（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 4（多选）（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 5（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 6（填空）（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【考点4】根据集合的包含关系求参数 1（单选）（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2（单选）（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ） A． B． C． D． 3（单选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 4（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 5（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 6（填空）（22-23高一上·江西·阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为 ． 【考点5】空集的性质及应用 1（单选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（单选）（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 3（单选）（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 4（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 6（填空）（22-23高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【考点6】交集运算 1（单选）（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2（单选）（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3（单选）（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6（填空）（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 【考点7】并集运算 1（单选）（22-23高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高三上·重庆·期末）设全集，集合（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 5（多选）（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）设集合或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6（填空）（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【考点8】交、并、补混合运算 1（单选）（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知为的子集，且，则（    ） A． B． C． D． 2（单选）（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，，若集合，则P可以是（    ） A． B． C． D． 6（填空）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 【考点9】Venn图 1（单选）（2023·广东·模拟预测）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3（单选）（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 4（多选）（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 5（多选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6（填空）（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【考点10】集合新定义 1（单选）（2023高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（单选）（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（单选）（2025高一上·全国·专题练习）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 4（多选）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 5（多选）（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 6（填空）（24-25高一上·上海·期中）设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【考点11】充分条件与必要条件 1（单选）（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3（单选）（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（多选）（23-24高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 5（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 6（填空）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【考点12】充要条件 1（单选）（2024·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 4（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 5（多选）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 6（填空）（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【考点13】全称量词与存在量词 1（单选）（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 3（单选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 6（填空）（23-24高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【考点14】全称量词与存在量词的否定 1（单选）（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2（单选）（2025高二下·北京·学业考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3（单选）（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·广东惠州·二模）下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 5（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 6（填空）（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $