空间几何体的表面积与体积过关练习卷——2025届高三数学一轮复习

空间几何体的表面积与体积过关练习卷-高考数学一轮复习专题 一、单选题 1．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（    ） A．1 B． C． D． 3．被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（    ） A．2400 B．1520 C．1530 D．2410 4．如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ）      A． B． C． D． 5．已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ）    A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 10．如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（    ） A．该几何体的体积为 B．直线与平面所成角的正切值为 C．异面直线与的夹角余弦值为 D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（    ）    A．正八面体的外接球体积为 B．正八面体的内切球表面积为 C．若点为棱上的动点，则的最小值为 D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题 12．若正三棱柱的内切球体积为，则该正三棱柱的底面边长为 ． 13．已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ． 四、解答题 15．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)设平面平面，求证：∥； (2)求三棱锥的表面积. 16．如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．    (1)证明：； (2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 17．如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)若，，求四棱锥的体积． 18．如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为DD1的中点.    (1)求点D到平面AEC的距离； (2)已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 19．已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）．    (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D C B C AD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 2．B 【分析】根据题意转化为圆锥的体积公式，以及高的关系，即可求解. 【详解】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为， 该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即， 则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为． 故选：B 3．B 【分析】根据题意，利用棱台的体积公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米， 可得正四棱台的上底面面积为平方米，下底面面积为平方米， 则塔楼主体的体积约为立方米. 故选：B. 4．A 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】    设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 5．D 【分析】利用勾股定理与锥体体积公式可得，构造相应函数，再借助导数研究其单调性即可得其最大值. 【详解】由题意，设内角所对的边为，则有， 则该圆锥的体积， 设，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：D. 6．C 【分析】由题可知，几何体为正四棱台，求出正四棱台高，再由台体的体积公式即可得出答案. 【详解】设正四棱锥的侧棱长为， 连接与交于点，连接，则平面， 因为，所以， 因为，所以在中，， 解得：，所以， 又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体， 则几何体为正四棱台， 连接交于点，所以为的中点， 所以，所以几何体的体积为： .    故选：C. 7．B 【分析】由和得三棱锥体积达到最大值时平面，进而由锥体体积最大值结合体积公式即可求出，从而由球的表面积公式得解. 【详解】设球的半径为R，则由题， 因为，所以三棱锥体积达到最大值时，平面， 所以，故， 所以球的表面积为. 故选：B. 8．C 【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 9．AD 【分析】取点与点重合可判断A；利用面面平行可判断B；判断三棱锥的高和的高是否为定值即可判断C；分别求点到直线的距离可判断D. 【详解】对A，不妨取点与点重合， 因为平面，在平面内，且不过点， 所以异面，即此时异面，A错误； 对B，因为平面，且平面平面， 所以平面，所以平面，B正确，不符合题意； 对C，易知，点到平面的距离为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，C正确； 对D，记的中点分别为，连接， 易知平面，平面，所以， 因为，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 又平面，所以，所以， 所以，D错误. 故选：AD    10．ABD 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解判断，对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解判断，对于C，由于∥，则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解判断，对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，所以A正确， 对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1，所以， 所以，所以B正确， 对于C，设，因为∥，所以或其补角为异面直线与的夹角， ，， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为，所以C错误， 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点，，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D正确. 故选：ABD 11．BCD 【分析】对于A项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，再利用球的体积公式计算即可；对于B项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即可；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明平面，将三棱锥的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得. 【详解】对于A项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，, 在中，，利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的体积为，故A项错误； 对于B项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积， 解得，故它的内切球表面积为，故B项正确；    对于C项，如图，因与是边长为4的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形. 连接与相交于点，此时，则 ，因此取得最小值为，故C项正确； 对于D项，易知，因为平面，平面，所以平面， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图， 12． 【分析】根据球的体积公式可得内切球的半径，根据正三棱柱结构特征可知即为底面正三角形内切圆半径，从而即可得解. 【详解】解：设正三棱柱的内切球的半径为， 则有， 解得， 设正三棱柱的底面边长为， 则正三棱柱的底面三角形的内切圆半径即为正三棱柱内切球半径， 又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径， 所以， 解得. 故答案为： 13． 【分析】求出三棱台上下底面正三角形外接圆的半径，确定球心位置，结合球的截面圆性质求出球半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图， 上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为， 于是，或，解得， 所以球的表面积是． 故答案为： 14． 【分析】由条件先证明，结合面积关系可得，在平面上建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值. 【详解】由已知平面，平面， 所以, 因为平面，平面， 所以， 所以，又， 所以，又的面积是面积的倍， 所以， 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设点的坐标为，则，， 由已知， 所以， 所以，其中，， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧， 过点作，因为平面， 所以平面，即平面， 所以为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积， 因为，， 所以， ， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过证明相似，结合相似三角形的性质证明. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得∥，从而得∥平面，再由线面平行的性质定理证明即可； （2）连接交于，连接，求得，，再根据求解即可. 【详解】（1）证明：由题意可得∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，平面， 又因为平面平面， 所以∥； （2）解：因为，，， 所以，，为正三角形， 连接交于，连接， 则为、中点， 因为， 所以平面，平面，所以，， 从而有， 在中，由余弦定理可得， 所以， 在直角三角形中中，， 所以， 所以为直角三角形，， 又，，， 所以三棱锥的表面积. 16．(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）转化为证明平面，利用圆台性质即可证明； （2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）由题知，因为为圆的直径，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以， 由圆台性质可知，平面，且四点共面， 因为平面，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. （2）圆台的体积，其中， 解得或(舍去). 由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则解得 于是可取. 设直线与平面的夹角为， 则， 故所求正弦值为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）为的中点，可证，由，得，又，可得证平面PAD； （2）为的中点，证明是四棱锥的高，体积公式计算四棱锥的体积． 【详解】（1）分别为的中点，连接， 又E为PD的中点，则有且， 由已知，， 所以，，四边形为平行四边形，有， 为正三角形，，则， 又，平面，， 所以平面PAD； （2），则有，又， 平面，，所以平面， 平面，则， 为的中点，有， 平面，，所以平面， 即是四棱锥的高， ，则， 得四棱锥的体积. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法求得正确答案. （2）先求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】（1）因为正方体中，平面， 由于平面，所以，. 因为正方体的棱长为，E为的中点， 所以. 因为，所以. 设到平面的距离为，， ，解得. （2）设球的半径为，该球的直径为面对角线长，即，， 所以该球的表面积. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证，由题易证； （2）由体积求出的长，建立空间直角坐标系，假设，求出平面的法向量，由余弦值为，求出，进而可求的长. 【详解】（1）因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故，且， 因为平面平面，且， 所以平面 因为平面，所以． （2）设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4， 所以三棱锥的体积为，所以， 因为，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系；    则，，设 因为⊥平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 又， 故 取，则， 得， 因为二面角的余弦值为， 所以 解得：或（舍去），此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$