精品解析：重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题

重庆市2025届高三9月考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】计算出后计算真子集个数即可. 【详解】由题得 所以，所以真子集个数为. 故选：A 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】由题可知：， 故在方向上的投影向量为. 故选：B. 5. 已知α，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的变换，再根据两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】由，且，则，则. 则，由，则，， . 故选：A 6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件. 【详解】要在上单调递减， 则，解得， 在为增函数，则， 解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 7. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 人数 1 2 6 5 4 2 下列说法正确的是（ ） A. 这20人年龄的分位数的估计值是46.5 B. 这20人年龄的中位数的估计值是41 C. 这20人年龄的极差的估计值是55 D. 这20人年龄的众数的估计值是35 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据已知条件提供的数据，可分别计算80%分位数，中位数（50%分位数），但无法计算众数和极差. 【详解】因为，故80%分位数落在区间，设其估计值为m，则，解得，故A错误； 又因为，所以中位数（50%分位数）落在区间，设其估计值为n，则，解得，故B正确； 有表格中数据可知极差不超过，故C错误； 因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误. 故选：B. 8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可. 【详解】令， 则. 若，则在上恒成立，则在上单调递减， 则，不符合题意. 若，则当时，，单调递减， 则，不符合题意. 若，则在上恒成立，则在上单调递增， 即，符合题意. 故的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ） A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B. 随机变量 C. 随机变量的数学期望为 D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合分层抽样性质求出各社团所需抽取人数判断A，求随机变量的分布列，判断BD，由期望公式求的期望，判断C. 【详解】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，则 ， 所以，，， 所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，A正确； 随机变量的取值有，，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以B错误； 由期望公式可得随机变量的数学期望，C正确； 因为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程； 对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得； 对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值； 对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点， 由解得，由解得，， 即得， 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因，则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ） A. 面积的最小值为 B. 点到直线的距离为定值 C. 当时，的外接圆半径为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，过作的垂线，分别交于点，设，然后表示出，从而可表示出面积，利用三角函数的性质可求得其最小值，对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，表示出坐标，再由可求出点的坐标，从而可分析判断，对于C，由求出三点的坐标，然后求出，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，对于D，由题意可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】对于A，过作的垂线，分别交于点，则，设， 则在中，， 因为，所以在中，，所以， 所以， 因为，所以当且仅当时，取到最大值， 所以面积的最小值为，所以A正确， 对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，所以，， 所以， 所以， 所以， 所以点到直线的距离为，是定值，所以B正确， 对于C，因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以，， 所以， 所以，， 因为，所以， 所以由正弦定理得， 所以，即的外接圆半径为，所以C错误， 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意合理建立平面直角坐标系，利用坐标计算，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有__________个这样的子集.（要求用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】符合要求子集可分为三类，结合组合的定义求各类子集的个数，再结合分类加法计数原理求出所有的子集的个数. 【详解】从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，其中至少包含两个“”开头的选法可分为类， 第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有； 第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有； 第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有； 由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个. 故答案为：. 13. 在的展开式中，若的系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的展开式可求得，进而可得，裂项相消法可求值. 【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第， 令，可得的系数为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，由题意，由图得或，即或，从而转化为与及的交点个数问题，从而依次讨论即可求解. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，即， 由图可知，或， 则或， 当，函数无解； 当或，函数只有一个解； 当或，函数有两个解； 当，函数有三个解； 当恰有3个零点时， 或或 或或或 或或或或， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，点是的中点. （1）求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，求出体积即可； （2）建立空间直角坐标系，求出直线与平面所成角的正弦值，再把角用反三角的形式表示出来即可. 【小问1详解】 如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥， 由，， 所以，所以，所以， 又因为，点是的中点， 所以，且， 所以， 所以，且， 所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体 为以为底面圆半径，以为高的圆锥， 所以. 【小问2详解】 如图：由上可知：平面，又， ， 所以，所以，为等腰直角三角形， 又由点是的中点，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角 坐标系， 由， ，，，， 所以，又有， 设平面的一个法向量为， 则即 ，令，则， 所以，设直线与平面所成角为， 所以， 所以. 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 17. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） （1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 （2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率； （3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即得； （3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得. 【小问1详解】 该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为； 【小问2详解】 设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． 【小问3详解】 设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以.. 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件的概率问题，把事件分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 【答案】（1）， （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式； （2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以， 显然符合上式，所以， 由题意， 所以. 【小问2详解】 （i）易知， 即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1， 故数列的前2024项和； （ii）由（1）知，而， 所以， 易知，， 所以 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设. ①求； ②记，，求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，表示渐近线方程，从而得到方程组，求出、，即可求出曲线方程； （2）①首先判断直线的斜率均存在且不为，设的方程为，，，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出点坐标，同理可得点坐标，根据、、三点共线，表示出，即可得解；②首先得到，再利用并项求和法及错位相减法计算可得. 【小问1详解】 依题意设双曲线方程为， 则渐近线方程为， 则，解得，所以的方程为； 【小问2详解】 ①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意； 所以直线的斜率均存在且不为， 设的方程为，，，，， 由，得， 则，所以，， 所以，则， 所以，同理可得， 因为、、三点共线，所以， 又，所以， 因为，所以； ②， 所以 ， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2025届高三9月考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 31 D. 32 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知α，，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 人数 1 2 6 5 4 2 下列说法正确的是（ ） A. 这20人年龄的分位数的估计值是46.5 B. 这20人年龄的中位数的估计值是41 C. 这20人年龄的极差的估计值是55 D. 这20人年龄的众数的估计值是35 8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ） A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B. 随机变量 C. 随机变量的数学期望为 D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 10. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 11. 已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ） A. 面积的最小值为 B. 点到直线的距离为定值 C. 当时，的外接圆半径为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有__________个这样的子集.（要求用数字作答） 13. 在的展开式中，若的系数为，则______． 14. 已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，点是的中点. （1）求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小. 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 17. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） （1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 （2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率； （3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设. ①求； ②记，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $