专题2.13 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.13等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 题型目录 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明.................................1 【题型2】遇到中点作中线求值或证明.........................................2 【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线.............................2 【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线...............................3 【题型5】倍长中线构造等腰三角形...........................................4 【题型6】截长补短构造等腰三角形...........................................5 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形.....................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 【例1】（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在和中，，，，相交于点D，是的平分线，并且．请问线段，，，是什么数量关系？并证明你的结论． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 【题型2】遇到中点作中线求值或证明 【例3】（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，，分别是，上的点，且，试探究线段与之间的关系，并说明理由． 【变式1】（22-23八年级上·四川泸州·期中）中，，D是中点，于E，于F，求证：．    【变式2】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）在上学期学习全等三角形的知识时小美碰到一个这样的怪题：“如图，在中，平分，D是的中点，求证：”，当时，小美用的论证方法是倍长中线，今天，小美又研究了一种全新的方法：过点D分别作和的垂线，再证三角形全等即可．请你也用这种全新的方法完成论证． 【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，C，D在延长线上，E在上，且．求证：． 【变式1】（22-23八年级上·湖南常德·期末）已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上． (1)若点和点重合（如图①），求证：． (2)若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明． 【变式2】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【题型5】倍长中线构造等腰三角形 【例5】（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【题型6】截长补短构造等腰三角形 【例6】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，都是等边三角形，E，F分别是上两个动点，满足．与交于点G，连接． （1）的度数是 ； （2）若，，则 ． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，为的角平分线，，，则 ． 【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，四边形中，，，若四边形的面积是64，则的长为 ． 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 【例7】（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    【变式1】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知，的平分线恰好交于上一点，已知，，则 ．               【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，BD垂直AD于点D，连接AB，有，则AB的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.13 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 题型目录 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明.................................1 【题型2】遇到中点作中线求值或证明.........................................4 【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线.............................7 【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线...............................10 【题型5】倍长中线构造等腰三角形...........................................14 【题型6】截长补短构造等腰三角形...........................................17 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形.....................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 【例1】（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在和中，，，，相交于点D，是的平分线，并且．请问线段，，，是什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作于点，则，可证明，得，，由等腰三角形的“三线合一”证明，再根据角平分线的性质证明，可证明，则，所以． 解：， 证明：作于点，则， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，取中点，连接，则由三线合一定理得到，再证明，进而证明，则，即可证明． 证明：如图，取中点，连接， ，点E是的中点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． (2)除与外所有的等腰三角形为： 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可； （2）由题意求出，再求出其他角的度数，即可得到答案． 解：（1）证明：过点A作于点F， ， ， ， ， ； （2）证明：解：， ， ， ， ， ， ， ， 除与外所有的等腰三角形为：． 【题型2】遇到中点作中线求值或证明 【例3】（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，，分别是，上的点，且，试探究线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键．连接，易证，可得，，由余角的性质可得，可得结论． 解：，，理由如下： 如图，连接， ，，为的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， ， 综上，，． 【变式1】（22-23八年级上·四川泸州·期中）中，，D是中点，于E，于F，求证：．    【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，利用三线合一的性质可得出平分，然后利用角平分线的性质即可得证． 解：证明∶连接，    ∵，D是中点， ∴平分， 又于E，于F， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）在上学期学习全等三角形的知识时小美碰到一个这样的怪题：“如图，在中，平分，D是的中点，求证：”，当时，小美用的论证方法是倍长中线，今天，小美又研究了一种全新的方法：过点D分别作和的垂线，再证三角形全等即可．请你也用这种全新的方法完成论证． 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点D作于点E，于点F，则有，再根据，利用HL证明，即可得到，进而得到结论． 解：过点D作于点E，于点F， 则， 又∵平分， ∴， 又∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，等量代换得到，求得，即，根据全等三角形的性质得到； （2）过点作，交于，根据平行线的性质得到，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的判定与性质求解即可． 解：（1）证明：为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：过点作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 解：∵等边， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，C，D在延长线上，E在上，且．求证：． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 过点D作，则，然后证明，根据三角形内角和求出即可证明． 解：证明：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴． ∵，∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·湖南常德·期末）已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上． (1)若点和点重合（如图①），求证：． (2)若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，进而得出，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作交的延长线于点，同（1）的方法证明，进而即可得出结论． 解：（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）成立，理由如下， 如图所示，过点作交的延长线于点， ∴ ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形， 同（1）可得， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 解：过作交于，如图所示： ，是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 【题型5】倍长中线构造等腰三角形 【例5】（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A；(2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题关键是根据倍长中线构造出全等三角形． （1）证明即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，根据即可求解． 解：（1）在和中 ， ， 故选：A． （2）延长到，使，连接，如图所示， ， ， ∵是中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解． 解：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 【题型6】截长补短构造等腰三角形 【例6】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，都是等边三角形，E，F分别是上两个动点，满足．与交于点G，连接． （1）的度数是 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /60度 8 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，进而证明，得出，然后根据三角形的外角的性质即可得出答案． （2）延长到点，使，连接，先证明都是等边三角形，再得出，证明，得出即可得出答案． 解：（1）∵都是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：延长到点，使，连接， ， ∴是等边三角形， ， ∵都是等边三角形， ， ，故， ， ， ∴的长为8． 故答案为：；8． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，为的角平分线，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．在上截取，使，连接，根据角平分线的定义，得到，利用“”证明，得到，，再利用三角形外角性质得到，进而得到，即可求出的长． 解：在上截取，使，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：10． 【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，四边形中，，，若四边形的面积是64，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形及等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式进行解答先根据四边形内角和定理判断出，再延长至点，使，连接，由全等三角形的判定定理得出，故可得出是直角三角形，再根据四边形的面积为即可得出结论． 解：延长至点，使，连接， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 故答案为：． 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 【例7】（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质．延长交于点G，证明，从而可得是等腰三角形，，点F是中点，判断出是的中位线，继而可得出答案． 解：延长交于点G，    ∵平分， ∴， ∵垂直， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 【变式1】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知，的平分线恰好交于上一点，已知，，则 ．               【答案】7 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．延长交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出． 解：延长交的延长线于点， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：7． 【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，BD垂直AD于点D，连接AB，有，则AB的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．延长交于点．先证明，可得，从而得出，再证明，可得，最后求解即可． 解：延长交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$