专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）重难点题型专训（8大题型+24道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训（8大题型+24道拓展培优） 题型一 将军饮马之线段和最值 题型二 将军饮马之线段差最值 题型三 将军饮马之两定一动最值 题型四 三点共线最大值 题型五 双对称关系求周长最小值 题型六 两定两动型最值 题型七 两动一定最值 题型八 费马点最值问题 将军饮马中最短路径问题四大模型 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 将军饮马之线段和最值】 【例1】如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（    ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．延长与直线的交点，即为点 2、如图，在中，，，，现以为边往外作等边，在边上找一点，使得点到点和点的距离和最小，则这个最小值为 ．    3．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【经典例题二 将军饮马之线段差最值】 【例2】如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ． 1．如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的面积是 (3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 3．如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上画出点D，使． (3)在直线上画出点P，使最大． 【经典例题三 将军饮马之两定一动最值】 【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 1．如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是（    ） A．作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B．过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C．作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P D．延长与直线l的交点，即为点P 2．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 3．点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【经典例题四 三点共线最大值】 【例5】如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 1、已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1． （2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值． 2、如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是 ． 3、如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ． 【经典例题五 双对称关系求周长最小值】 【例5】如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为 ．    3．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【经典例题六 两定两动型最值】 【例6】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ． 2、如图，在等边中，，是边上的中线，点P是上一点，且．如果点M、N分别是和上的动点，那么的最小值为 ．    【经典例题七 两动一定最值】 【例7】如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为 ．      1、如图所示，在等边中，点D、E、F分别在边、，上，则线段的最小值是（　　） A．边上高的长 B．线段的长度 C．边的长度 D．以上都不对 2、如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 3、如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．    【经典例题八 费马点最值问题】 【例8】【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 1、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 2、如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 3、【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 1．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（    ）      A．10 B．17 C．14 D．13 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在正方形中，，动点是正方形内一点，满足，则点到、两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．10 C． D． 4．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（      ）    A． B． C． D． 6．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 7．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2023春·八年级课时练习）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）如图，在三角形中，，三角形的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，点．若点为边的中点，为线段上一个动点，则三角形周长的最小值是______．    12．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________． 14．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为____________． 15．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 16．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________． 17．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于_____．    18．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_____． 19．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．    20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 21．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图： (1)在图1中作线段的垂直平分线； (2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小． 22．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，． (1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）． (2)连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 23．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小． (1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）； (2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比 长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？ 24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训（8大题型+24道拓展培优） 题型一 将军饮马之线段和最值 题型二 将军饮马之线段差最值 题型三 将军饮马之两定一动最值 题型四 三点共线最大值 题型五 双对称关系求周长最小值 题型六 两定两动型最值 题型七 两动一定最值 题型八 费马点最值问题 将军饮马中最短路径问题四大模型 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 将军饮马之线段和最值】 【例1】如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 1．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（    ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．延长与直线的交点，即为点 【答案】C 【分析】先找出点对称点，连接，再根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：正确作法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点， ， 理由如下：在上异于点的位置任取一点，连接，，， ，、关于直线对称， ， ， 最短， 故选：C． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 2、如图，在中，，，，现以为边往外作等边，在边上找一点，使得点到点和点的距离和最小，则这个最小值为 ．    【答案】4 【分析】延长到点E使得，连接交于点N，此时点到点和点的距离和最小，即为长度，根据含30度角的直角三角形的性质及等边三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，利用等腰三角形三线合一的性质即可求解． 【详解】解：延长到点E使得，连接交于点N，此时点到点和点的距离和最小，即为长度，    ∵，，， ，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴垂直平分线段且交于点F， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质及距离最短问题，包括等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，的最小值是 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出 【详解】（1）解：若， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线交与点N， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图：连接， ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②过点作于点，交于点， 垂直平分 最小 的面积是． 的最小值是 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键． 【经典例题二 将军饮马之线段差最值】 【例2】如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：如图，过点作直线于点． 直线，直线， ， ，， ， ， ， 与重合时，的值最大， 当与重合，与重合时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 1．如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ． 【答案】123° 【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB， ∵∠ABC=114°， ∴∠CDE=180°-114°=66°， ∴∠MCD=90°-66°=24°， 又∵AB=BC， ∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°， 故答案为：123°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的面积是 (3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理； （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）延长，交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）的面积是 （3）如图所示，延长，交直线于点， 此时，为最大值， 则点即为所求． 由勾股定理得，， 最大值为． 故答案为：． 3．如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上画出点D，使． (3)在直线上画出点P，使最大． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、；顺次连接、、所得的三角形即为所求． （2）连接交直线于点D即可作答； （3）延长交直线于点P即可作答； 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）如图， 点D即为所求； 证明：根据对称性可知， 根据对顶角相等可得：， 即有； （3）如图， 点P即为所求． 证明：如图，当点P在处时，根据三角形三边的关系可知：； 当点A、C、P在三点共线时，此时有：； 综上有：，当且仅当点A、C、P在三点共线时取等号， 即点P满足要求． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，三角形三边的关系等知识，掌握轴对称图形的性质，是解答本题的关键． 【经典例题三 将军饮马之两定一动最值】 【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 1．如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是（    ） A．作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B．过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C．作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P D．延长与直线l的交点，即为点P 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．先找出点对称点，连接，再根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：正确作法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点， ， 理由如下：在上异于点的位置任取一点，连接，，， ，、关于直线对称， ， ， 最短， 故选：C． 2．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了轴对称，以及含30度角的直角三角形的特征，正确确定如何使线段的和最小是关键． （1）要使最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P； （2）根据三角形两边之差小于第三边，当点A，B，Q三点共线时，最大，延长交直线l于Q； （3）过点A作交直线l于G，根据直角三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 3．点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    【经典例题四 三点共线最大值】 【例5】如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可． 【详解】解：垂直平分， ， 又，， ， 在上取点，连接、、， 垂直平分， ， ， 在中， 当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键． 1、已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1． （2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，|PB﹣PA|的最大值为3． 【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可； （2）由于PA=PA1，则|PB﹣PA|=|PB﹣PA1|，而由三角形的三边关系可得|PB﹣PA1|≤A1B，当P、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，点P为所作，|PB﹣PA|的最大值是A1B的长，为3． 【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 2、如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解． 【详解】解：连接PC， ∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线， ∴BP=CP， ∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE， ∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点， ∴的最大值=6÷2=3． 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键． 3、如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 在中，， 当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键． 【经典例题五 双对称关系求周长最小值】 【例5】如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°， ∴∠ADC＝180°﹣32°， 由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣32°） ＝32°， ∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°， ∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′） ＝180°﹣32°-32° ＝116°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为 ．    【答案】 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵的垂直平分线交于点，交于点，点在直线上， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，最小，即此时的周长最小， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的周长最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 3．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 【经典例题六 两定两动型最值】 【例6】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ． 【答案】10 【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此，所以最小值为，用勾股定理算出即可． 【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N， ∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称， ∴，， ∴， ∴AM＋MN＋EN的最小值是， ∵AD＝AB＝4，E是AD中点， ∴，， ∴，， ∵∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键． 2、如图，在等边中，，是边上的中线，点P是上一点，且．如果点M、N分别是和上的动点，那么的最小值为 ．    【答案】13 【分析】作点P关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，连接，根据等边三角形的性质得出，，根据三线合一得出，，证明垂直平分，得出，根据轴对称的性质得出，，，证明为直角三角形，得出，根据，由两点之间线段最短，得出当点M在处，点N在处时，最小，且最小值为的长度，即最小值为5． 【详解】解：作点P关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，连接，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的中线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵点P关于的对称点为， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在处，点N在处时，最小，且最小值为的长度，即最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 【经典例题七 两动一定最值】 【例7】如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为 ．      【答案】6 【分析】过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 1、如图所示，在等边中，点D、E、F分别在边、，上，则线段的最小值是（　　） A．边上高的长 B．线段的长度 C．边的长度 D．以上都不对 【答案】A 【分析】作于点D，当、时，线段有最小值，根据等边三角形的性质可得，进而得结论． 【详解】解：如图，作于点D，当、时，线段有最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值是边上高的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． 2、如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ 作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键． 3、如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，连接，，根据等腰三角形三线合一性质可得是边上的中线，则垂直平分，，得到，则线段的长为的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接， ∵，， ∴是边上的中线，   ∴垂直平分，直线是等腰的对称轴， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点， ∴， ∴当点、、三点共线且点与点重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．也考查了含的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质． 【经典例题八 费马点最值问题】 【例8】【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得， ， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键． 1、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 【答案】+ 【分析】以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN；根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值． 【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN． 由旋转可得，△AMN≌△ABP， ∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN， ∴△PAM、△ABN都是等边三角形， ∴PA=PM， ∴PA+PB+PC=PM+MN+PC； （3）当AC=BC=1时，AB=2， 当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB， ∴AQ=AB==CQ，NQ=， 此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+ 2、如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 3、【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①3；②150°； (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值； ②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°， 则，， ∴为等边三角形， ； ②∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°， 又∵是等边三角形， ∴∠PAC+=60°， ∴∠BAP=， 在△ABP与中，， ∴△ABP≌（SAS）， ∴ ∴，， ， 又∵旋转，∴； （2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到， 则， 在中，， ， ， 又∵， ，， 过作⊥BC交BC的延长线于点D， 则， ， （30°所对的直角边等于斜边的一半）， ， ，为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题． 1．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（    ）      A．10 B．17 C．14 D．13 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，再根据勾股定理求解即可． 【详解】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，能够根据题意找出点E是解题的关键． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在正方形中，，动点是正方形内一点，满足，则点到、两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】设中边上的高是h，即可得出，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离，再根据勾股定理即可解答． 【详解】设中边上的高是h， ∵， ∴， ∴， 动点P在与平行且与的距离是4的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离， 在中， ∵，， ∴， 即的最小值为10． 故选：B． 【点睛】本题考查了对称-最短线路问题，三角形面积，正方形的性质，勾股定理，得出动点所在的位置是解题的关键． 4．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点F，连接，与交于点M， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∵点E、点F关于对称， ∴F在上， ∴， ∴， 即最小，且为， ∵， ∴，即点F为中点， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到取得最小值时点M的位置是解题的关键． 5．（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．    设中边上的高是． ， ， ， ， 动点在与平行且与的距离是2的直线上， 在中，，， ， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键． 6．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作直线，过点作于点，延长交于点，由图可知，根据面积关系求出长度即可． 【详解】解：如图，过点作直线，过点作于点，延长交于点． 是等腰直角三角形，且， ，，， ， ， 点的运动轨迹是直线， ， 解得， ， 的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查了最短距离问题、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识，根据题意添加相应辅助线是解题关键． 7．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 在和中， ， ， ， 欲求的最小值，只要求出的最小值， 当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 在中，，，， ， 的最小值是7， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键． 8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， ∴，， ∴，， 则即为的周长最小值， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（2023春·八年级课时练习）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接， ∴，, ∴， 当三点共线，时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 11．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）如图，在三角形中，，三角形的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，点．若点为边的中点，为线段上一个动点，则三角形周长的最小值是______．    【答案】 【分析】根据轴对称—最短路径得到是的最小值，再根据等腰三角形的性质及三角形的面积即可解答． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴有最小值为， ∵在三角形中，点为边的中点， ∴， ∵三角形的面积是，， ∴， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴三角形周长的最小值是， 故答案为；   【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称—最短路径，三角形的面积公式，根据题意找到有最小值是解题的关键． 12．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，可得的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，则，， ∴ 即的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即的周长的最小值为10， ∴①⑤正确， 故答案为：①⑤． 【点睛】此题考查轴对称——最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 14．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为____________． 【答案】 【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P， ∴， ∴，此时P点到A与B的距离和最小， 过作，延长与交于点M， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与C点的距离是， 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键． 16．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________． 【答案】8 【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长， ∴的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 17．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于_____．    【答案】3 【分析】根据是的平分线确定出点关于的对称点在上，根据垂线段最短，过点作于交于，根据轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，，过点作于，利用三角形的面积求出，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过作于交于，    则， 是的平分线， ， ， ， ， 点关于的对称点在上， 过点作于交于， 由轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，， 过点作于， ，， ， 解得， 是的平分线，与关于对称， ， 是等腰三角形， ， 即的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点的位置是解题的关键． 18．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接交与点，连结，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长． 【详解】解：连接交与点，连结． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， ． ． 当点位于点处时，有最小值，最小值． 的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．能结合垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一得出BM+MD的最短值即为AD是解题关键． 19．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连结交于点，交于点，当、、、共线时，的周长最小，先求，则． 【详解】解：如答图①，分别作点关于直线，的对称点，，    则，． 的周长， 当，，，四点共线（如答图②）时，的周长取到最小值． ，， ． 根据轴对称的性质可得，． 又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得， 又 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短的方法，灵活应用三角形、四边形内角和是解题的关键． 20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键． 21．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图： (1)在图1中作线段的垂直平分线； (2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P和点M，则直线即为所求； （2）以点A为圆心，以适当长度为半径画弧与直线交于点E和点F，分别以点E和点F为圆心，以同样长度为半径画弧，两弧相交于点A和点H，则与互相垂直平分，连接，交于点N，则点N即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， （2）解：如图所示，点N即为所求， 由作图可知，与互相垂直平分， ∴点A与点H关于直线成轴对称， ∴， ∴, 当点H、N、D三点共线时，取得最小值， ∴点N满足要求． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质、轴对称的作图和性质等知识，熟练掌握作图方法是解题的关键． 22．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，． (1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）． (2)连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①6cm；②存在，8cm 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）①利用线段垂直平分线的性质得，可得答案； ②根据垂直平分线的性质得点关于直线的对称点为点，要使的值最小，则连接与直线的交点即为点，即的最小值即可的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）①垂直平分， ， 的周长 ， 又， ； ②如图， 垂直平分， 点关于直线的对称点为点， 要使的值最小，则连接与直线的交点即为点， 当点与点重合时，最小值， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 23．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小． (1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）； (2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比 长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)元；元 【分析】（1）先作出点关于河流的对称点，然后连接，与河流的交点即为所求作的水站的位置，此时最小． （2）先求出每米水管的费用，然后列方程组求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，水站修在点处才能使所需的管道最短． （2）解：水管每米的费用为：（元）， 由题意得，， 解得， ∴村所付水管费用为（元）， 村所付水管费用为（元）， 【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键． 24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50° (2)∠AMN =2∠B-90°，理由见解析 (3)①6cm；②存在，图见解析，8cm 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值． 【详解】（1）解：∵AB=AC，∠B=70°， ∴∠B=∠C=70°， ∴， ∵MN垂直平分AB， ∴， ∴． 故答案为：50°． （2）解：∠AMN =2∠B-90°；理由如下： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B， 又∵MN是AB的垂直平分线， ∴∠ANM=90°， ∴∠A+∠AMN=90°， ∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B−90°． （3）①∵MN是AB的垂直平分线 ∴AM=BM ∵C△BCM =BM+BC+CM =AM+MC+BC =AC+BC =14cm， 又∵AB=AC=8cm， ∴BC=14-8=6（cm）； ②∵MN是AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∴点B关于直线MN的对称点为点A， ∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P， ∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm， ∴PB＋CP的最小值是8cm． 【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$