专题2.4 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.4 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 题型目录 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明.................................1 【题型2】遇到中点作中线求值或证明.........................................2 【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线.............................3 【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线...............................3 【题型5】倍长中线构造等腰三角形...........................................4 【题型6】截长补短构造等腰三角形...........................................5 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形.....................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，平分交于是上一点，且，求证：． 【变式1】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．    【变式2】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，试判断和的大小关系，并说明理由． 【题型2】遇到中点作中线求值或证明 【例2】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知， 如图， 在等边三角形中， 点 D 是边中点， 于F， 延长到E， 使， 连接， 求的度数． 【变式】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型3】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 【例3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【题型4】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 【例4】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．   (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【变式1】．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_______（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长__________． 【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，已知等边三角形的边长为，为边上一点，作于点，为延长线上一点，若，连接交边于点，则的长为 ． 【题型5】倍长中线构造等腰三角形 【例5】如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为 ． 【变式2】（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【题型6】截长补短构造等腰三角形 【例6】（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【变式2】（2023·贵州安顺·二模）已知，如图，在中，点是上一点，平分，则的长为 ． 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 【例7】（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，在四边形中，，和的角平分线恰好与交于点P．若，则的度数为 度，若，，则 ． 【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的角平分线，于，，，的面积是，的面积 ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，是的角平分线，过点作，交的延长线于点．若，则的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 题型目录 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明.................................1 【题型2】遇到中点作中线求值或证明.........................................5 【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线.............................7 【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线...............................9 【题型5】倍长中线构造等腰三角形...........................................16 【题型6】截长补短构造等腰三角形...........................................20 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形.....................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，平分交于是上一点，且，求证：． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质．作于，则，由得出，由角平分线的定义可得，证明，即可得证． 证明：作于， ， ， ， ， 平分交于， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．    【答案】/36度 【分析】连接，过点D作交于点，与交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，等量代换得出，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出，根据等角对等边得出，推得，根据等边对等角得出，结合对顶角相等得出，即，据此设，则，根据三角形内角和定理列出方程，求得，即． 解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图：    ∵D为的垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， 设，则， 故， 解得：， 即． 故答案为：． 【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，试判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，则，利用即可证明； （2）过点E作，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出，结合三角形内角和定理求出，等量代换求解即可． 解：（1）证明：，， 又，， ， ， ， ， 即 ， 在与中， ， ； （2）如图，过点E作，垂足为H ， ， ， ， ， ， ， ， ，，   ， ， ， 【题型2】遇到中点作中线求值或证明 【例3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知， 如图， 在等边三角形中， 点 D 是边中点， 于F， 延长到E， 使， 连接， 求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，中垂线的判定和性质，连接，三线合一，求出，进而得到，根据垂直平分，得到，进而得到即可．掌握等边三角形三线合一，以及中垂线的性质，是解题的关键． 解：连接， ∵等边三角形，为的中点， ∴，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 解：（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 【例3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是，线段DE的长度为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）由题意，得，，根据为等腰三角形可得，进而列方程求解即可； （2）线段的长度是定值，过点M作交于点F，证明，得到，从而求出 解：（1）由题意，得．                 等边的边长为4， ． 当为等腰三角形时，， ． ．                   ． 即．                解得． （2）线段的长度为定值．如图，过点M作交于点F．        ． ， 为等边三角形．      ． ， ．              在和中，， ．          ．                    ．即线段的长度为． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 解：∵等边， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 【例4】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1)； (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；(3)5 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 解：（1）如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_______（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长__________． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)3. 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ． 【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，已知等边三角形的边长为，为边上一点，作于点，为延长线上一点，若，连接交边于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质；过点作交于点，根据平行线的性质，等边三角形的性质，则，是等边三角形，根据，三线合一，则；根据，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，则；再根据，即可． 解：过点作交于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．故答案为：． 【题型5】倍长中线构造等腰三角形 【例5】如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解． 解：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】延长至点F，使，连接，再根据证明≌，可得，，结合角平分线的定义及直角三角形的性质，然后根据等角对等边得出答案. 解：如图所示，延长至点F，使，连接． ∵，， ∴≌， ∴，. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴， 即， ∴. 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，中线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故答案为：2.4． 【题型6】截长补短构造等腰三角形 【例6】（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    【答案】20 【分析】在上截取点，使，连接，首先根据等边三角形的性质，可得，可证得，再根据，可证得，，，根据角之间的关系，可证得，再根据，可证得，得出，根据即可求出结果． 解：证明：如图：在上截取点，使，连接，   ∵， ∴， 为等边三角形， ， 又，且， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 又，， ， ， 在与中， ，，， ， ， ∴ ． 故答案为：20． 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2023·贵州安顺·二模）已知，如图，在中，点是上一点，平分，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到． 在边上取点，使，连接，证明，再根据已知条件证得，进而可以解决问题． 解：如图，在边上取点，使，连接， 平分， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． 故答案为：10． 【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 【例7】（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，在四边形中，，和的角平分线恰好与交于点P．若，则的度数为 度，若，，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先求解，再利用角平分线的定义可得的大小，如图，延长交的延长线于，证明，再证明，利用全等三角形的性质与线段的和差可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，，而， ∴， ∴，而平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：， 【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的角平分线，于，，，的面积是，的面积 ． 【答案】 【分析】延长交于，根据全等三角形的性质得到，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：延长交于， ∵是的角平分线， ∴， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，是的角平分线，过点作，交的延长线于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定与性质，延长，交于点，证明，然后根据性质得到是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 解：延长，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$