专题2.6 直角三角形三个知识点八类题型（知识点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.6 直角三角形三个知识点八类题型（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点一】直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余； 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即； 5、常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC. 【知识点二】直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形; 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形; 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形. 【知识点三】直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定方法有：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写为“HL”。这是直角三角形特有的判定方法，其中“H”代表斜边，“L”代表直角边. 题型目录 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值与证明..............................1 【题型2】利用含30度的直角三角形三边关系求解或证明.......................2 【题型3】利用含30度和45度的直角三角形三边关系求解或证明................3 【题型4】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求值或证明..............3 【题型5】利用勾股定理和等面积法求值或证明................................4 【题型6】利用有一个角是直角的三角形是直角三角形进行证明或求值............5 【题型7】三角形一边上中线等于这边一半三角形是直角三角形的证明............6 【题型8】利用HL证明直角三角形全等求值或证明.............................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值与证明 【例1】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，已知中，，于，平分交于，交于． 求证：． 【变式1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 【题型2】利用含30度的直角三角形三边关系求解或证明 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，如图，在中，，，，交于点，，求的面积． 【变式1】（23-24八年级下·山东德州·开学考试）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【题型3】利用含30度和45度的直角三角形三边关系求解或证明 【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，,求的值． 【变式1】（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，一艘轮船在小岛A的北偏东方向距小岛海里的B处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时． 【题型4】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求值或证明 【例4】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）在四边形中，，M、N分别是的中点．   (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 【变式1】（22-23八年级上·广西北海·期中）如图，在一块含的三角板（）右侧作以为斜边的，过点B作的垂线，分别交于点E、F，连接．设，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形中，，，连接、.是的中点，连接、.若的面积为32，则的长为 ． 【题型5】利用勾股定理和等面积法求值或证明 【例5】（2023·湖北宜昌·一模）已知：如图，点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与，分别交于E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，，与交于点P，则点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图， 在中，，，， P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为 ． 【题型6】利用有一个角是直角的三角形是直角三角形进行证明或求值 【例6】（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， (1)求证：； (2)猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 【变式1】（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，D是的中点，，则 ． 【题型7】三角形一边上中线等于这边一半三角形是直角三角形的证明 【例7】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．   (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 【变式1】（21-22八年级下·山东滨州·期中）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式2】（19-20九年级上·山东青岛·单元测试）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【题型8】利用有HL证明直角三角形全等求值或证明 【例8】（2022·浙江丽水·一模）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 【变式1】（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．6 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 直角三角形三个知识点八类题型（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点一】直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余； 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即； 5、常用关系式：由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC. 【知识点二】直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形; 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形; 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形. 【知识点三】直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定方法有：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写为“HL”。这是直角三角形特有的判定方法，其中“H”代表斜边，“L”代表直角边. 题型目录 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值与证明..............................1 【题型2】利用含30度的直角三角形三边关系求解或证明.......................4 【题型3】利用含30度和45度的直角三角形三边关系求解或证明................7 【题型4】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求值或证明..............9 【题型5】利用勾股定理和等面积法求值或证明................................12 【题型6】利用有一个角是直角的三角形是直角三角形进行证明或求值............15 【题型7】三角形一边上中线等于这边一半三角形是直角三角形的证明............18 【题型8】利用HL证明直角三角形全等求值或证明.............................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值与证明 【例1】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，已知中，，于，平分交于，交于． 求证：． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质、角平分线定义等知识，先由角的互余关系得，再由角平分线定义得，则，然后由对顶角相等得，则，即可得出结论，熟练掌握等腰三角形的判定和角的互余关系是解题的关键． 证明：，， ， 平分， ， ， 又， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 解：如图， 在与中， ， ， ， ， ， 故选：C 【变式2】（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 解：∵在中，，， ∴， 分两种情况讨论， 如下图，当时，则， 此时，即， ∴①， ∵②， 由②①，可得， ∴； 如下图，当时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， 由，可得， ∴． 综上所述，的所有可能的度数为或． 故答案为：或． 【题型2】利用含30度的直角三角形三边关系求解或证明 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，如图，在中，，，，交于点，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形．过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而利用等角对等边可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得和的长，从而可得的长，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得的长，从而利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 的面积 ． 【变式1】（23-24八年级下·山东德州·开学考试）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出各角的度数，再根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半求解即可．此题考查三角形内角和性质，含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 解：∵， 设为，为，为， 可得：， 解得：， ∴，，， ， ∴则等于 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，含30度直角三角形的性质；由，当最小时，最大；而当时，最小；由含30度直角三角形的性质可求得的最小值，从而求得的最大值． 解：∵， ∴当最小时，最大； 而当时，最小，如图； ∵， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 【题型3】利用含30度和45度的直角三角形三边关系求解或证明 【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，,求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、含直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明可得；再根据含直角三角形的性质以及勾股定理可得，最后代入化简即可． 解：在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用含的直角三角形及等腰直角三角形的性质即可求解． 解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查含的直角三角形及等角对等边，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，一艘轮船在小岛A的北偏东方向距小岛海里的B处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度；掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴海里， 在中，根据勾股定理得， （海里）， ∵，， ∴， ∵海里， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：海里/小时 故答案为：． 【题型4】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求值或证明 【例4】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）在四边形中，，M、N分别是的中点．   (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)．证明见解析； (2)1 【分析】本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形． （1）在直角中，中线；在直角中，；在中，N是中点，所以，根据这些条件很容易推出； （2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得，所以． 解：（1）解：猜想． 证明：连接， ，M是的中点，    ∴， ，M是的中点 ∴， ， ， （2），M是的中点， ， , ， 同理， ， ， 是等腰直角三角形， ∵点N是的中点，， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·广西北海·期中）如图，在一块含的三角板（）右侧作以为斜边的，过点B作的垂线，分别交于点E、F，连接．设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质证得，得到，，利用三角形外角性质得到，再由整理可得． 解：∵是含的三角板，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 【点拨】此题考查了直角三角形的性质，等边对等角的性质，三角形外角性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形中，，，连接、.是的中点，连接、.若的面积为32，则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边行中线的性质可求，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质求得，利用直角三角形的面积公式计算可求解． 解：，是的中点， ， ， ，， ，，， ， , ∴， ∴． 故答案为：16． 【题型5】利用勾股定理和等面积法求值或证明 【例5】（2023·湖北宜昌·一模）已知：如图，点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与，分别交于E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据，可证明，根据全等三角形的性质，可得证明的结论； （2）设，根据等腰直角三角形的性质，得，根据全等三角形的性质，可得，根据勾股定理列式计算可得答案． 解：（1）证明：∵C是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中，由勾股定理得． 解得． ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，（1）利用证明三角形全等，再利用性质证明对应边相等；（2）利用勾股定理是解题关键． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，，与交于点P，则点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的判定． 设点B到的距离为h，证，得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出即可． 解：设点B到的距离为h， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即点B到的距离为， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图， 在中，，，， P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当时，最小，最大，再根据面积法求出，根据折叠得：，进而可得出答案． 解：∵，，， ∴， 根据折叠可知，， 则， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 当时，， ∴此时， ∴此时， 故答案为：． 【题型6】利用有一个角是直角的三角形是直角三角形进行证明或求值 【例6】（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， (1)求证：； (2)猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析. 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． （1）根据题意，得到，再由三角形全等的判定与性质求证即可； （2）延长交点，交点，如图所示，结合直角三角形性质，由（1）中全等的性质，在中，得出即可得证． 解：（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：． 理由如下： 延长交点，交点，如图所示： 在中，，，则， ， 由（1）中可知， ， 在中，，则， ． 【变式1】（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，D是的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的特征，根据等腰三角形的性质得，，再根据直角三角形的特征即可求解，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 解：连接，如图： ，， ， D是的中点，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【题型7】三角形一边上中线等于这边一半三角形是直角三角形的证明 【例7】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．   (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析; (2); (3)或，证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，，利用中点求出，进而得，然后根据三角形内角和得出结论； （2）根据含的直角三角形的性质，及中线性质，证为等边三角形，在证，根据折叠得； （3）根据三个角都有可能为直角，分类讨论，利用折叠性质和等边三角形性质得结论． 解：（1）沿直线翻折得到， ， 是的边上的中线， ， ， ， ， 是直角三角形． （2），， ， ， 是的边上的中线， ， ， 为等边三角形， 沿直线翻折得到， ，， ， （3）①当时， 是的边上的中线， ， ②如图，当时   ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， ， ， 是的边上的中线， ， ； ③如图当时， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， 【点拨】本题考查了直角三角形的判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质及等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 【变式1】（21-22八年级下·山东滨州·期中）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知条件得到CD是AB边的中线，且，即CD=AD=BD，得到2（∠A+∠B）=180°，求得∠ACB=90°，即可得到该三角形是直角三角形． 解：在△ABC中，CD是AB边的中线，且， ∴CD=AD=BD， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD， ∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°， ∴2（∠A+∠B）=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=90°， 故选：C． 【点拨】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键． 【变式2】（19-20九年级上·山东青岛·单元测试）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【分析】先画出图形，写出已知和求证，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠1，∠2=∠B，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠B+∠A+∠1=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可证得△ABC是直角三角形． 解：如图：已知：平分，且， 求证：是直角三角形． 证明：∵， ∴． 同理． ∵， 即， ∴， 即：， ∴是直角三角形． 【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用，证明一个命题时，必须先画出图形，写出已知和求证，再进行证明． 【题型8】利用有HL证明直角三角形全等求值或证明 【例8】（2022·浙江丽水·一模）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且． (1)求证：． (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析; (2) 【分析】（1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，得出，再利用勾股定理即可得出答案． 此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是根据证明． 解：（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ． 在中，， ， 即， ． 【变式1】（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和作垂线的尺规作法，角平分线性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由作法得平分，垂直，由角平分线性质定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，，即可求解；理解作法，掌握相关的判定方法及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 解：由作法得： 平分， 垂直， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键． 解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可证：， ， ， 解得：， ， 故答案：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$