精品解析：广东省佛山市顺德区桂洲中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷

桂洲中学2024学年第一学期高三第一次月考 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：刘新才 审核人：王玲玲 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A,求函数 的值域化简B.然后求. 【详解】依题意，，故. 故选B. 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属基础题. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，再根据复数的四则运算计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3. 函数的定义域是 A. [0,2) B. [0,1)∪(1,2) C. (1,2) D. [0,1) 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：函数的定义域满足，解得，且故选B. 考点：函数的定义域 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 5. 如图，在矩形中，M是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意直接求解即可. 【详解】因为在矩形中，M是的中点， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：C． 6. 若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知将不等式进行参变分离得，再根据函数的单调性求得最值，由此可得选项. 【详解】解：因为，所以不等式化为， 又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是． 故选：B． 【点睛】方法点睛：解答本题有两个关键，其一是分离参数得到有解，其二是求出函数在上的最小值． 7. 已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可. 【详解】由，，得， 由，得，解得，则， 则，，， 因此，而， 所以. 故选：D 8. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用换元法求出函数，从而直接代入即可求出的解析式. 【详解】因为，所以令，则， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知复数，则（ ） A. 复数z的虚部为3 B. C. 复数z的实部为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，再结合复数的概念、模及乘方运算逐项判断. 【详解】对于AC，复数，复数的虚部为3，实部为，AC正确； 对于B，，B错误； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D. 【详解】对于A：由，， 所以，即， 所以， 所以，所以与的夹角为，故A错误； 对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于D：由，，则， 若与的夹角为锐角，则且与不能同向， 即，解得且，故D正确； 故选：BC． 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）. A. 是函数的一个单调减区间 B. 的解集为 C. 若，则，或 D. 方程必有两个实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】根据符合函数的单调性即可判断A；分段解不等式再求并集即可判断B；分段解方程即可判断C；利用函数与交点的个数，即可判断D 【详解】对于A：当时，，是由与复合而成，而与都是减函数， 由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A错误； 对于B：如图，当时，由 ，，，所以不成立； 当时，，也即 ，解得，所以的解集为，故B成立； 对于C，当时，，即，解得， 当时，，即，解得，故C正确； 对于D，方程的根是函数与交点的个数， 如图，函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，分段函数解不等式和解方程，函数与方程等，属于中档题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线列式计算即可． 【详解】解：， ， ∵， ， 解得． 故答案为：． 13. 已知实数满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得解. 【详解】解：设， 则，解得， 所以， 因为， 所以， 又因， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 14. 若函数在上为增函数，则取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【详解】函数在上为增函数，则需， 解得，故填. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，为z的共轭复数，且． （1）求m的值； （2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【小问1详解】 已知，则， 由于，得，解得： 【小问2详解】 由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 16. 已知关于的不等式． （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先不等式，因式分解后，讨论的取值，解不等式； （2）将不等式参变分离，转化为求函数的最小值，求实数的取值范围. 【详解】解：（1）不等式可化为， 当时，不等式化为； ①时，，解不等式得， ②时，，解不等式得， ③时，，解不等式得． 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． （2）由题意不等式化为， 当时，，且， 所以原不等式可化为恒成立， 设，，则的最小值为， 所以的取值范围是． 17. 在中，，，，D为BC的三等分点（靠近B点）． （1）求的值； （2）若点P满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】（1） （2），此时 【解析】 【分析】（1）将和分别用，线性表示，再进行数量积运算即可； （2）建立如图所示的坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示将所求式子表示为关于的函数，进而求结果. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 如图建立直角坐标系，则，， 令 所以， ∴ ∴当时，， 此时 18. 已知 （1）求，的值； （2）求满足的实数a的值； （3）求的定义域和值域． 【答案】（1）， （2） （3）定义域为，值域为 【解析】 【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域值域. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由或，解得. 【小问3详解】 的定义域为，值域为 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求，. 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算、正弦定理，边化角及三角恒等变换公式求出，即可得解； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 即， 由正弦定理得， 又， 所以，，， 所以， 所以，， ，所以； 【小问2详解】 ， ，又，即， ， 联立解得，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂洲中学2024学年第一学期高三第一次月考 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人：刘新才 审核人：王玲玲 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是 A. [0,2) B. [0,1)∪(1,2) C. (1,2) D. [0,1) 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，在矩形中，M是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知复数，则（ ） A. 复数z的虚部为3 B. C. 复数z的实部为 D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）. A. 是函数的一个单调减区间 B. 的解集为 C. 若，则，或 D. 方程必有两个实数根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则__________． 13. 已知实数满足，则的取值范围是________. 14. 若函数在上为增函数，则取值范围为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，为z的共轭复数，且． （1）求m的值； （2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 16. 已知关于的不等式． （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 在中，，，，D为BC的三等分点（靠近B点）． （1）求的值； （2）若点P满足，求的最小值，并求此时的． 18. 已知 （1）求，的值； （2）求满足的实数a的值； （3）求的定义域和值域． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $