2024-2025学年新人教版七年级数学上册点拨训练第二章第06讲 有理数的乘法运算律（解析版）

新人教版七年级数学上 点拨*训练 第2章 第06讲 有理数的乘法运算律 学习目标： 1. 掌握多个有理数相乘的积的符号法则. 2. 理解有理数的乘法运算律，并能熟练地运用运算律简化运算. 老师告诉你 选择有理数乘法运算律的三个原则： 1. 有互为倒数或积为整数的两个因数，运用交换律、交换律使它们先乘；2.括号外的因数是括号内的所有分母的公倍数时，利用分配律计算；3.有带分数时，可以把带分数化成假分数，也可以把带分数拆成一个整数和真分数的和的形式。 注意：（1）在改变因数的位置时，要连同该数的符号一起交换；（2）利用分配律时不要漏乘，不要弄错符号。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 ：多个有理数相乘 多个有理数相乘时，要根据负因数的个数先确定积的符号，再把绝对值相乘。 【新知导学】 例1-1．计算： (1)； (2)； (3)． 【对应导练】 1．四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（    ） A．1 B．0 C．3 D．1或3 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 知识点2 ：有理数的乘法运算律 （1）乘法的交换律、结合律、分配律用字母表示分别为：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac. （2）在应用乘法分配律时，应注意：①括号外的项要乘以括号内的每一项；②当括号外的项是负数时，一定要注意带上“－”号乘进去. （3）乘法的运算律，可以推广到多个数的情况. 乘法交换律、结合律：abcd=b(ac)d 【新知导学】 例2-1．用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【对应导练】 1．运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 2．下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．计算： 4．计算： 2、 题型训练 1. 有理数乘法运算律的应用 1．简便计算下列各题： (1)； (2)． 2．用简便方法计算：． 2. 有理数乘法运算律的活用 3．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 4．有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 3. 分配律的逆用 5．计算： 6．简便运算 7．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 8．简便计算 (1) (2) (3) 3、 课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（   ） A． B． C． D． 2．用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 4．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 5．下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 6．同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 7．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 8．下列运算过程中，有错误的是（　　） A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2 B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7） C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣ D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）] 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．对于整数a，b，规定一种新运算，等于由a开始的连续b个整数的积，例如，，则 ． 10．计算的结果为 ． 11．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝ 12．计算：= 13． ． 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．计算： (1)； (2)． 15．脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) 16．计算与解释 一道计算测试题为，小明计算如下： 解： ① ② （    ）．③ (1)解题过程中第①步计算运用的运算律是______．第②步计算运用的运算律是______． A．乘法结合律    B．乘法交换律    C．乘法分配律 (2)第③步运算结果是______． 17．阅读材料 利用运算律进行简便计算： 例1 ； 例2 ． 请你参考上面的例题，用运算律简便计算： ① ②． 18．下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 19．巧算． (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新人教版七年级数学上 点拨*训练 第2章 第06讲 有理数的乘法运算律（解析版） 学习目标： 1. 掌握多个有理数相乘的积的符号法则. 2. 理解有理数的乘法运算律，并能熟练地运用运算律简化运算. 老师告诉你 选择有理数乘法运算律的三个原则： 1. 有互为倒数或积为整数的两个因数，运用交换律、交换律使它们先乘；2.括号外的因数是括号内的所有分母的公倍数时，利用分配律计算；3.有带分数时，可以把带分数化成假分数，也可以把带分数拆成一个整数和真分数的和的形式。 注意：（1）在改变因数的位置时，要连同该数的符号一起交换；（2）利用分配律时不要漏乘，不要弄错符号。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 ：多个有理数相乘 多个有理数相乘时，要根据负因数的个数先确定积的符号，再把绝对值相乘。 【新知导学】 例1-1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【对应导练】 1．四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为（    ） A．1 B．0 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，几个非零有理数相乘，奇数个负数相乘积为负数，偶数个负数相乘积为正数． 【详解】解：四个不为零的数相乘，积为负数，则负因数的个数为1或3， 故选：D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 3．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 【答案】，，，，；0，1，2，3，4，，，，，；几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 故答案为：，，，，． 故答案为：0，1，2，3，4，，，，，． 几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 知识点2 ：有理数的乘法运算律 （1）乘法的交换律、结合律、分配律用字母表示分别为：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac. （2）在应用乘法分配律时，应注意：①括号外的项要乘以括号内的每一项；②当括号外的项是负数时，一定要注意带上“－”号乘进去. （3）乘法的运算律，可以推广到多个数的情况. 乘法交换律、结合律：abcd=b(ac)d 【新知导学】 例2-1．用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数运算和乘法运算律； （1）运用乘法结合律求解即可； （2）运用乘法分配律求解即可； （3）运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 【对应导练】 1．运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律的认识，熟练掌握乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律是解题的关键．利用乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律的定义判断即可． 【详解】解：， 运用了乘法分配律进行计算， 故选：C． 2．下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 4．计算： 【答案】39 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 5．用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2、 题型训练 1. 有理数乘法运算律的应用 1．简便计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）先把写成，然后按照乘法分配律计算即可； （2）先把写成，然后按照乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意，运用乘法分配律展开，再根据有理数的加减法运算即可求解． 【详解】解： ． 2. 有理数乘法运算律的活用 3．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【详解】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 4．有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 3. 分配律的逆用 5．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法．利用有理数乘法分配律计算，即可求解． 【详解】解： 6．简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 7．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 8．简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了乘法分配律： （1）先把百分数化为小数，然后利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （2）先把百分数和分数化为小数，然后利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）先把原式变形为，进而得到，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3、 课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握多个有理数的乘法法则是解题的关键．将选项依次代入，得出运算结果即可． 【详解】解：A中、，是负数，故选项不符合题意； B中、，是负数，故选项不符合题意； C中、，不是正数，故选项不符合题意； D中、，是正数，故选项符合题意； 故选：D． 2．用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．若，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是乘法的分配律．利用乘法的分配律把原式化为，再展开整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 4．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 5．下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键． 将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意； B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意； C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意； D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键. 根据乘法分配律计算即可. 【详解】解： 故选：C. 7．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解． 【详解】解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个， 正因数的个数可能为4个或2个或0个． 故选：D． 8．下列运算过程中，有错误的是（　　） A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2 B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7） C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣ D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）] 【答案】A 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意； B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意； C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合题意； D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．对于整数a，b，规定一种新运算，等于由a开始的连续b个整数的积，例如，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【详解】解： ． 10．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律逆运算，先把减法转化为加法，然后利用乘法运算律逆运算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝ 【答案】2023 【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具体的运算，总结出一般规律为：再利用规律解题即可得到答案． 【详解】解： ＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…． 故答案为： 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，有理数的混合运算，列代数式，掌握利用代数式总结数字的变化规律是解题的关键． 12．计算：= 【答案】 【分析】把化成，化成，然后再利用乘法分配律的逆运算解答． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查乘法分配律，注意观察题目中数字构成的特点和规律，善于灵活运用运算定律或运算技巧，巧妙解答． 13． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算律，根据题意直接计算即可． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．计算与解释 一道计算测试题为，小明计算如下： 解： ① ② （    ）．③ (1)解题过程中第①步计算运用的运算律是______．第②步计算运用的运算律是______． A．乘法结合律    B．乘法交换律    C．乘法分配律 (2)第③步运算结果是______． 【答案】(1)B，C (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算和乘法运算律，根据有理数的运算律进行解答和计算即可． （1）根据计算使用的运算律进行解答即可； （2）完成解答过程，写出答案即可． 【详解】（1）解：有题意可知，解题过程中第①步计算运用的运算律是乘法交换律．第②步计算运用的运算律是乘法分配律． 故答案为：B，C （2）解： ． 故答案为： 17．阅读材料 利用运算律进行简便计算： 例1 ； 例2 ． 请你参考上面的例题，用运算律简便计算： ① ②． 【答案】①；② 【分析】①原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； ②原式变形后，逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：① ； ②原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（）根据乘法分配律进行简算； （）根据乘法交换律和结合律进行简算； （）先利用加法结合律，再算减法； （）先算除法，再算减法； （）根据减法的性质，以及加法交换律进行简算； （）根据乘法分配律进行简算； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 19．巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$