精品解析：人教版2023-2024学年八年级下册期末数学试卷（1）

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 1.70，1.65 B. 1.70，1.70 C. 1.65，1.65 D. 3，4 4. 如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 5. 由下列长度组成的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D 图象经过第一、二、四象限 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，E为的中点，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8. 如图，直线 和分别与x轴交于点A，点B，则不等式组解集为（　　）． A. B. C. 或 D. 9. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 10. 已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 出租车从乙地返回甲地的速度为 D. 出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 12. 某班将从甲、乙两位学生中选派一人参加学校的环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是87分，方差分别是，，你认为成绩更稳定的选手是________（填“甲”或“乙”）． 13. 已知点A(2a，－b)与点B(-6，-2)关于坐标原点对称，则a+b=______ 14. 若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ____________________． 15. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则__________． 16. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点F，则的最小值为________． 17. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是______． 三、解答题（共49分） 18. 计算：． 19. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：； 八年级组同学的分数分别为：． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 91 95 八 91 93 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l解析式为与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． （1）求直线的解析式； （2）求面积． 21. 如图，平行四边形中，，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求菱形的面积． 22. 为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元． （1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】代数式在实数范围内有意义， ， 解得， 故选B． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除除法，幂的乘方，和合并同类根式，熟练掌握各项运算法则并正确计算是解题的关键．根据二次根式的乘除法法则，幂的乘方，合并同类根式法则逐一计算，即可作出判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项运算错误，符合题意； ，故B选项运算正确，不符合题意； ，故C选项运算正确，不符合题意； ，故D选项运算正确，不符合题意； 故选A． 3. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 1.70，1.65 B. 1.70，1.70 C. 1.65，1.65 D. 3，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可． 【详解】解： ∵15÷2＝7……1，第8名的成绩处于中间位置， ∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.70， ∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.70； ∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.65， ∴这些运动员跳高成绩的众数是1.65； 综上所述，可得这些运动员跳高成绩的中位数是1.70，众数是1.65． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了众数和中位数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数和中位数的含义和求法． 4. 如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得到，推出，由此判断B；由得到，由此依据B判断C选项；添加，由此证明，得到，推出，由此判断D；由此得到A选项符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能； 故选：A． 【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5. 由下列长度组成的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理便可很快判断所给定的三角形是否为直角三角形，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角． 【详解】解：A选项：∵，∴这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； B选项：∵，∴这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； C选项：∵，∴这三条线段能组成直角三角形，符合题意； D选项：∵，∴这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，判断三边能否构成直角三角形，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移2个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确． 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，E为的中点，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线定理和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是求解的关键．根据斜边中线定理可以求出的长，再根据勾股定理可求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点， ∴，，， 又∵为边中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，直线 和分别与x轴交于点A，点B，则不等式组的解集为（　　）． A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集．根据图象求解即可． 【详解】解：解：∵直线 和分别与x轴交于点A，点B， ∴的解集为， 故选B． 9. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由折叠的性质得，，，，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选： A． 10. 已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（ ） A B. 点F的坐标为 C. 出租车从乙地返回甲地的速度为 D. 出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用. 利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可判断A选项； 根据A选项中a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可得到直线的解析式，把代入可求得点G的坐标，进而得到点F的坐标，从而判断B选项； 由B选项中点F的坐标，再结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，从而判断C选项； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，结合货车和出租车的速度进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可判断D选项． 【详解】结合图象，可得， 设直线的解析式为， 将代入解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，得， 故A选项正确； 根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， 可得此时出租车距离乙地为， 出租车距离甲地为， 把代入，可得，解得， 货车装完货时，，可得， 根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度＋货车的速度）， 根据直线的解析式为，可得出租车的速度为， 相遇时，货车的速度为， 故可设直线解析式为， 将代入，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，可得，解得， ， ， 故B选项正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得, ， 出租车返回时的速度为， 故C选项正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距， 此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为， ①出租车和货车第二次相遇前，相距时； 可得， 解得， ②出租车和货车第二次相遇后，相距时； 可得， 解得， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距． 故D选项错误． 故选：D 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：且， ∴， 故答案为：． 12. 某班将从甲、乙两位学生中选派一人参加学校的环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是87分，方差分别是，，你认为成绩更稳定的选手是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断． 【详解】∵甲、乙的平均成绩都是87分，方差分别是，， 又∵方差， ∴乙的成绩更稳定，所以选乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键． 13. 已知点A(2a，－b)与点B(-6，-2)关于坐标原点对称，则a+b=______ 【答案】a+b= 1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得2a-6=0，-b-2=0，解出a、b的值，然后可得a+b的结果． 【详解】由题意得：2a-6=0，-b-2=0， 解得：a=3，b=-2， a+b=3-2=1， 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 14. 若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得，，，证明，得到，设，则，，从而得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，为正方形的对角线， ，，， 平分， ， 将绕点顺时针旋转得到，， ，，， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点F，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短是解题的关键． 如图，连接，由，可得，证明四边形是矩形，则，当值最小时，的值最小，当时，的值最小，由，可求，然后作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当值最小时，的值最小， ∵当时，的值最小， ∴，即， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 17. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意推导一般性规律，然后作答即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律． 三、解答题（共49分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简二次根式进而计算得出答案； 【详解】解： ． 19. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：； 八年级组同学的分数分别为：． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 91 95 八 91 93 （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1），94，； （2）八年级学生了解情况更好，理由见解析； （3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义． （1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级组同学的分数，可得； （2）可以对比优秀率； （3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得． 【小问1详解】 解：观察条形统计图可得，七年级选取的学生竞赛成绩的中位数在组， 组同学的成绩按从小到大排列为：， ∴排在第10位，第11位的是， ∴； 观察扇形统计图和八年级组同学的成绩可得，考94分的人数最多， ∴； 由条形统计图可知，七年级得分在90分及以上的人数有：（人）， ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：∵， ∴八年级学生成绩优秀率高于七年级学生成绩的优秀率， ∴八年级学生的了解情况更好． 【小问3详解】 解：七年级优秀人数（人）， 七年级优秀人数（人）， （人）， ∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，直线与相交于点P． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要查了求一次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，再联立解析式求出点P的坐标，然后根据三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴的面积为． 21. 如图，平行四边形中，，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求菱形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点O，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理求出的长，得出的长即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得，， ∴． ∴菱形的面积． 22. 为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元． （1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）100元，50元． （2）A，B两种纪念品各50件，150件时，利润最大，最大利润为7500元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解； （2）根据题意列一元一次不等式求解；建立变量利润与商品A数量的函数解析式，根据一次函数性质求解． 【小问1详解】 设购进A，B两种纪念品每件各需x元，y元，则 ， 解得，， 答：购进A，B两种纪念品每件各需100元，50元． 【小问2详解】 设购进纪念品A件数为m（），销售两种商品的利润为w，则 ，解得，即， ， ∴当时，w取最大值，最大值， ， 答：当购进A，B两种纪念品各50件，150件时，利润最大，最大利润为7500元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质；根据题意确定等量关系、不等关系、变量间关系是解题的关键． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$