精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末复习试卷

2023-2024学年北师大七年级数学下册期末复习试卷 考试时间:120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图案中，轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：第一、三个图形不是轴对称图形， 第二、四个图形是轴对称图形， 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，整式的除法运算法则分别记性计算即可判断． 【详解】解：A. ，故该选项运算错误，不符合题意； B. ，故该选项运算正确，符合题意； C. ，故该选项运算错误，不符合题意； D. ，故该选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，整式的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 3. 下列四根木棒中，不能与5cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 4cm B. 8cm C. 10cm D. 14cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 即可进行解答． 【详解】设这个三角形的第三边为xcm 5+8=13（cm），8-5=3（cm） ∴3<x<13 A、B、C均满足条件，D不满足条件； 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练地掌握“两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是解题的关键． 4. 如图，，交于点F，若度，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可知，由，可知． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是补角的性质，以及平行线的性质，掌握角度的基本计算以及平行线性质的应用是解题的关键． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 概率很小的事件不可能发生 B. 打开电视机，正在播放新闻联播是随机事件 C. 任意买一张电影票，座位号是偶数是必然事件 D. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的意义、随机事件及必然事件的含义逐项分析即可作出判断． 【详解】A、概率很小的事件发生的可能性很小，并不是不可能发生，故说法错误； B、说法正确； C、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，而不是必然事件，故说法错误； D、“彩票中奖的概率为1%”意味中奖的可能性为1%，并不表示买100张彩票一定有1张会中奖，故说法错误． 故选：B 【点睛】本题考查了概率的意义、随机事件及必然事件的含义，事件发生的概率是指事件发生的可能性的大小，事件发生的概率小并不意味事件不发生，只是发生的可能性小而已；一定发生的事件叫随机事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，掌握这些是关键． 6. 如图，，，则添加下列条件还不能使的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据所添加的条件判段能否得出即可，判定两个三角形全等的一般方法有：．解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解∶∵， ∴， A．当时，， ∴，根据可以判定，故A不符合题意； B．当时，根据可以判定；故B不符合题意； C．当时，根据可以判定； D．当时，不能判定； 故选：D． 7. 已知am＝6，an＝3，则a2m﹣3n的值为（　　） A. B. C. 2 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】原式利用同底数幂除法法则及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】∵am＝6，an＝3， ∴原式＝（am）2÷（an）3＝36÷27＝， 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 下面是作一个角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明≌，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. 角边角 B. 边角边 C. 边边边 D. 角角边 【答案】C 【解析】 【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，利用SSS得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等． 【详解】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′， 在△ODC和△O′D′C′中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， ∴∠D′O′C′＝∠DOC（全等三角形的对应角相等）． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键． 9. 若的展开式中不含x的二次项，则（　　） A. 0 B. 2 C. 2.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式法则，熟悉掌握法则是关键． 原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含项，求出m的值． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含x的二次项， ∴， ∴． 故选：B． 10. 已知小明家、图书馆和学校在一条直线上，某天小明从家骑自行车去上学，先到图书馆挑选了一些学习资料后，再骑车去学校．若小明离家的距离用y表示，出发时间用x表示，y与x之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. 小明在图书馆停留了10分钟 B. 小明家距离学校1 000米 C. 小明从图书馆到学校用了25分钟 D. 从图书馆到学校的速度是110米/分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．根据图象逐项分析即可． 【详解】解：A．小明在图书馆停留了分钟，故不正确； B．小明家距离学校2100米，故不正确； C．小明从图书馆到学校用了分钟，故不正确； D．从图书馆到学校的速度是米/分钟，正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 如图，AB＝AD，只要再添加一个条件：______，就可以通过“SSS”判定△ABC≌△ADC． 【答案】BC＝DC 【解析】 【分析】根据题目中的条件和图形，可知已经有两条对应边相等，故要想利用“SSS”判定△ABC≌△ADC，则可增加的条件是让对应的第三边也相等． 【详解】解：∵AB＝AD，AC＝AC， ∴只要增加条件BC＝DC，即可通过“SSS”判定△ABC≌△ADC． 故答案为：BC＝DC． 【点睛】本题考查使三角形全等所需添加的条件，理解利用“SSS”判定三角形全等的条件是解题关键． 12. 若多项式x2+mx+是一个多项式的平方，则m的值为_____ 【答案】±． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征即可求出答案． 【详解】解：∵x2＋mx＋＝x2＋mx＋（）2， ∴mx＝±2××x， 解得m＝±． 故答案为±． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 13. 如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为_____． 【答案】110°##110度 【解析】 【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】延长BD交AC于点E， ∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°， ∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°， 则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线DE是解题的关键． 14. 在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中白球2个，黄球1个，红球2个，摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：共5个球，其中有2个红球，则摸到红球的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用概率公式求事件的概率，解题关键是熟练掌握A事件的概率，． 15. 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作，则．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的关系如下表．已知平均每小时蜡烛烧掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是___________。 燃烧时间t（时） 0 1 2 3 4 剩余的高度h（厘米） 18 15 12 9 6 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系、用表关系式表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴t小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为18厘米， ∴剩余的高度h总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 17. 如图，边长分别为的两个正方形并排放在一起，当时，阴影部分的面积为___．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用割补法把图形阴影部面积为：两个正方形面积减去两个三角形面积，用a、b表示出面积并化简，最后配成完全平方形式即可求解． 【详解】 解：∵两正方形面积和为：， 三角形①面积为：， 三角形②面积为：， ∴， 整理得 ， ∵当， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用．此类题主要是应用几何图形的面积间等量的关系，来验证完全平方公式；或者通过完全平方公式求解几何图形的面积的问题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系,更需注意要根据所找到的规律做题． 18. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，三角形外角性质根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， …… ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再算加法； （2）先根据单项式与多形式的乘法，平方差公式计算，再合并同类项． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，单项式与多形式的乘法，平方差公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【解析】 【分析】首先根据乘法公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后根据多项式除以单项式的法则得出答案，将x和y的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解：原式= = =， 将，，代入得 原式 ． 【点睛】本题主要考查的是多项式的乘法和除法的计算法则，属于基础题型．在解决这个问题的时候，公式的应用是非常关键的． 21. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉，已知， , ，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，根据可得，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 22. 如图，等腰和等腰中， ，B、C、D在同一条直线上，求证： （1）； （2） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）由三角形与三角形都为等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质得到两边及夹角相等，利用可得出三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）利用等腰三角形的两锐角为，等量代换得到垂直于，得证． 【小问1详解】 证明：与都等腰直角三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 则，即． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 23. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为多少？ 【答案】（1）必然 （2）9个 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，已知概率求数量，事件的分类： （1）根据 题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量； （3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵只有三个小球，每个小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件， 故答案为：必然； 【小问2详解】 解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有个，个， ∴估算袋中白球的数量为个； 【小问3详解】 解：， ∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为． 24. 弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 12 13 14 （1）上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？ （3）如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式； （4）当物体的质量为时，根据（3）的关系式，求弹簧的长度． 【答案】（1）表中反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐变长． （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了表格表示变量之间的关系，读懂表格时解题的关键. （1）由常量和变量的定义即可得出结果； （2）由表中数据即可得出结果； （3）由上表可知当时，，随后x每增加，弹簧总长y增加，故可求出弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式． （4）根据（3）的关系式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：表中反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； 【小问2详解】 由表中数据可知当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐变长． 【小问3详解】 当时，，随后x每增加，弹簧总长y增加， ∴， 【小问4详解】 当时； 即当物体的质量为时，弹簧的长度为． 25. 如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D． （1）猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明． （2）如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示， ①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由； ②若，时，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2）①发生改变，；②13 【解析】 【分析】（1）证明，可得，CD＝BE， 即可求解； （2）①证明，可得，CD＝BE， 即可求解；②由①可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ∵、分别与过点的直线垂直， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ， ，CD＝BE， ∵ DE＝EC＋CD， ； 【小问2详解】 解：①发生改变． ∵、分别与过点的直线垂直， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ， ，CD＝BE， ∵ DE＝CE-CD， ∴； ②由①知：， ∴， ∴BE的长为1.3. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 26. 【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，当时，求证：； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过F作，可得，再根据两直线平行内错角相等，可推出，从而得出结果； （2）与之间的数量关系为，利用平行线的性质即可求证； （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】证明：（1）如图所示，过F作， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 27. 【知识生成】 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：_________． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则__________． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则_________． 【知识迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________． 【答案】（1）；（2）30；（3）16；（4）． 【解析】 【分析】（1）依据正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式； （2）依据a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（3a+b）（a+3b）=3a2+9ab+ab+3b2=3a2+3b2+10ab，即可得到x，y，z的值； （4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）由图2得：正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∵a+b+c=10，ab+ac+bc=35， ∴102=a2+b2+c2+2×35， ∴a2+b2+c2=100-70=30， 故答案为：30； （3）由题意得：（3a+b）（a+3b）=xa2+yb2+zab， ∴3a2+10ab+3b2=xa2+yb2+zab， ∴x=3，y=3，z=10， ∴x+y+z=16， 故答案为：16； （4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积= x（x+1）（x-1）， ∴x3-x= x（x+1）（x-1）． 故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北师大七年级数学下册期末复习试卷 考试时间:120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图案中，轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四根木棒中，不能与5cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 4cm B. 8cm C. 10cm D. 14cm 4. 如图，，交于点F，若度，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 概率很小的事件不可能发生 B. 打开电视机，正在播放新闻联播是随机事件 C. 任意买一张电影票，座位号是偶数是必然事件 D. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 6. 如图，，，则添加下列条件还不能使的为（ ） A. B. C D. 7. 已知am＝6，an＝3，则a2m﹣3n值为（　　） A. B. C. 2 D. 9 8. 下面是作一个角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明≌，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. 角边角 B. 边角边 C. 边边边 D. 角角边 9. 若的展开式中不含x的二次项，则（　　） A. 0 B. 2 C. 2.5 D. 10. 已知小明家、图书馆和学校在一条直线上，某天小明从家骑自行车去上学，先到图书馆挑选了一些学习资料后，再骑车去学校．若小明离家距离用y表示，出发时间用x表示，y与x之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. 小明在图书馆停留了10分钟 B. 小明家距离学校1 000米 C. 小明从图书馆到学校用了25分钟 D. 从图书馆到学校的速度是110米/分钟 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 如图，AB＝AD，只要再添加一个条件：______，就可以通过“SSS”判定△ABC≌△ADC． 12. 若多项式x2+mx+是一个多项式的平方，则m的值为_____ 13. 如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为_____． 14. 在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中白球2个，黄球1个，红球2个，摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 15. 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____． 16. 一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的关系如下表．已知平均每小时蜡烛烧掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是___________。 燃烧时间t（时） 0 1 2 3 4 剩余的高度h（厘米） 18 15 12 9 6 17. 如图，边长分别为的两个正方形并排放在一起，当时，阴影部分的面积为___．（用含的代数式表示） 18. 如图，在中，，和平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉，已知， , ，，求的度数． 22. 如图，等腰和等腰中， ，B、C、D在同一条直线上，求证： （1）； （2） 23. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为多少？ 24. 弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 12 13 14 （1）上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？ （3）如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式； （4）当物体的质量为时，根据（3）的关系式，求弹簧的长度． 25. 如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D． （1）猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明． （2）如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示， ①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由； ②若，时，求的长． 26. 【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，当时，求证：； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 27. 【知识生成】 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：_________． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则__________． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则_________． 【知识迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$