第二十八章 锐角三角函数 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十八章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 3,AB= 5,则 sinA 的值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 2. 当 A 为锐角,且 1 2 <cos∠A< 3 2 时,∠A 的范围是(　 　 ) A. 0°<∠A<30° B. 30°<∠A<60° C. 60°<∠A<90° D. 30°<∠A<45° 3. 已知∠A 是锐角,且满足 3tanA- 3 = 0,则∠A 的大小为(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 无法确定 4. 已知∠A 是锐角,且 tanA= 2 3 ,则 sinA 的值是(　 　 ) A. 2 13 13 B. 3 13 13 C. 2 5 D. 无法计算 5. 如果 sin2α+cos230°= 1,那么锐角 α 的度数是(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AB = 6,AC = 2,CD⊥AB 于点 D,设∠ACD=α,则 cosα 的值为(　 　 ) A. 2 2 3 B. 2 2 C. 2 2 D. 1 3 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在等边三角形 ABC 中,D、E 分别为 AB、BC 边上的点,AD =BE,AE 与 CD 交于点 F,AG⊥CD 于点 G,若 AG = 2,则 AF 的 值是(　 　 ) A. 5 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3 3 8. 如图所示,点 A( t,3)在第一象限,射线 OA 与 x 轴所夹的锐角为 α,sinα= 3 4 ,则 t 的值为(　 　 ) A. 7 B. 3 C. 4 D. 5 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,点 D 沿 BC 自 B 向 C 运 动(点 D 与点 B、C 不重合),作 BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 于点 F,则 BE+CF 的值(　 　 ) A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小 10. 如图,小刚家在甲楼,他想利用最近所学知识测量对面乙楼的 高度,小刚在甲楼楼底 B 点测得乙楼楼顶 C 点的仰角为 45°, 当他爬上楼顶,在 A 点处测得乙楼 D 点的仰角为 30°. 若 AB = 10m,CD= 6m,则乙楼的高度 CE 为(　 　 )m. (参考数据: 2 ≈ 1. 41, 3 ≈1. 73,精确到 0. 1m. ) A. 21. 8 B. 37. 6 C. 37. 8 D. 38. 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 正方形网格中,∠AOB 如图放置,则 tan∠AOB 的值为　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 　 第 13 题图 12. 已知 α 是锐角,sin(α+15°)= 3 2 ,则 cosα= 　 　 　 　 . 13. 社会发展情境·三门峡大坝 位于河南省三门峡市的三门峡大坝 诞生于 1957 年,被誉为“万里黄河第一坝” . 它的建成不仅为黄 河流域的灌溉和发电提供了重要的保障,也为国家的经济发展 和生态环境保护做出了贡献.如图,大坝的横截面为梯形 ABCD, 迎水坡 BC 的坡角为 α,坡度(tanα)约为 12 ∶7,坝面宽 AB= 10 m, 坝高 AD 约为 180 m,则坝底 CD 的长约为　 　 　 　 . 14. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= ∠D= 90°,AB= 3,BC= 2,tanA= 4 3 ,则 CD= 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在△ABC 中,AB=AC,sinB= 4 5 ,延长 BC 至点 D, 使 CD ∶AC= 1 ∶2,则 tan∠CAD= 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1) 2 (2cos45°-sin60°) + 24 4 ; (2)sin30°- 2 2 cos45°+ 1 3 tan230°. 17. (8 分)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°. (1)已知 c= 25,b= 15,求 a; (2)已知 a= 6 ,∠A= 60°,求 b、c. 18. (9 分)一副直角三角板如图放置,点 A 在 ED 上,∠F = ∠ACB = 90°,∠E= 30°,∠B= 45°,AC= 12,试求 BD 的长. ·33· 19. (9 分)一艘货船在一段笔直的河道上由西向东匀速航行,小明 和小亮想测得该货船的速度. 如图,他们分别站在与河道平行 的公路上的 A 点和 B 点. 当货船经过河道上的点 C 时,站在点 A 处的小明测得货船位于他的正北方向上,站在点 B 的小亮测 得货船位于他的北偏西 31°方向上;10min 后,货船到达河道上 的点 D 处,小亮在点 B 处测得货船位于他的北偏东 45°方向 上. 已知小明和小亮的距离 AB = 1km,求货船的速度. (结果精 确到 1km / h. 参考数据:sin31°≈0. 52,cos31°≈0. 86,tan31°≈ 0. 60, 2 = 1. 41) 20. (10 分)如图,AD 是△ABC 的中线,tanB = 1 5 ,cosC = 2 2 ,AC = 2 . 求: (1)BC 的长; (2)∠ADC 的正弦值. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,cosA= 3 5 ,BC= 12,D 是 AB 的中点,过点 B 作直线 CD 的垂线,垂足为点 E. 求:(1)线段 CD 的长; (2)cos∠ABE 的值. 22. (10 分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27°+sin283°≈0. 122 +0. 992 = 0. 9945, sin222°+sin268°≈0. 372 +0. 932 = 1. 0018, sin229°+sin261°≈0. 482 +0. 872 = 0. 9873, sin237°+sin253°≈0. 602 +0. 802 = 1. 0000, sin245°+sin245°= ( 2 2 ) 2 +( 2 2 ) 2 = 1. 据此,小明猜想:对于任意锐角 α,均有 sin2α+sin2(90°-α)= 1. (1)当 α= 30°时,验证 sin2α+sin2(90°-α)= 1 是否成立; (2)小明的猜想是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请 举出一个反例. 23. 生活情境·手机平板支架 (11 分)如图 1 是一种手机平板支架, 由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图 2 是其侧面 结构示意图. 量得托板长 AB= 120mm,支撑板长 CD= 80mm,底 座长 DE = 90mm. 托板 AB 固定在支撑板顶端点 C 处,且 CB = 40mm,托板 AB 可绕点 C 转动,支撑板 CD 可绕点 D 转动. (结 果保留小数点后一位) (1)若∠DCB= 80°,∠CDE= 60°,求点 A 到直线 DE 的距离; (2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把 AB 绕点 C 逆时针旋转 10°后,再将 CD 绕点 D 顺时针旋转,使点 B 落在直线 DE 上即 可,求 CD 旋转的角度. ( 参考数据:sin40°≈0. 643,cos40°≈ 0. 766, tan40°≈0. 839, sin26. 6°≈0. 448, cos26. 6°≈0. 894, tan26. 6°≈0. 500, 3 ≈1. 732) ·43· 1,即 AF=BC= 2k. (5 分) ∵ AF∥BD,∴ △APF∽△DPB,∴ AP PD = AF BD = 2k 3k = 2 3 . (8 分) (3)6 (10 分) 第二十八章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A A A A D A C C 1. A　 2. B　 3. A　 4. A　 【解析】在 Rt△ABC 中,设 AC= 3x,则 BC= 2x,∴ AB= (3x) 2 +(2x) 2 = 13 x. ∴ sinA= 2x 13 x = 2 13 13 . 故选 A. 5. A　 6. A　 7. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ACB = ∠ABC = 60°,AB= BC = AC. 又∵ AD = BE,∴ BD = CE,在△ACE 和 △CBD 中, AC=CB ∠ACE=∠CBD= 60° CE=BD { ,∴ △ACE≌ △CBD,∴ ∠CAE= ∠BCD. 又∵ ∠AFG = ∠CAF + ∠ACF = ∠BCD + ∠ACF= 60°,∴ 在 Rt△AFG 中,sin∠AFG =AG AF ,即 sin60° = 2 AF ,解得 AF= 4 3 3 . 故选 D. 8. A　 9. C　 【解析】∵ BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 于点 F,∴ CF∥ BE,∴ ∠DCF= ∠DBE. 设∠DCF = ∠DBE = α,∴ CF = DC ·cosα,BE = DB·cosα,∴ BE+CF = (DB+DC)cosα = BC ·cosα. ∵ ∠ABC= 90°,∴ 0°<α<90°,当点 D 从 B 向 C 运 动时,α 是逐渐增大的,∴ cosα 的值是逐渐减小的,∴ BE +CF=BC·cosα 的值是逐渐减小的. 故选 C. 10. C　 【解析】过点 A 作 AF⊥CE 于点 F,根据题意可知: AF=BE,EF = AB = 10,在 Rt△CBE 中,∠CBE = 45°,∴ BE=CE=CD+DF+FE = 16+DF. 在 Rt△ADF 中,∠DAF = 30°,∴ DF= AF·tan30° = (16+DF) × 3 3 ,解得 DF = 8 ( 3 +1),∴ CE= 16+DF= 24+8 3 ≈37. 8(m) . 故选 C. 11. 2　 12. 2 2 　 13. 115m 14. 6 5 　 【解析】延长 AD 和 BC 交于点 E. ∵ 在直角△ABE 中,tanA=BE AB = 4 3 ,AB= 3,∴ BE= 4,∴ EC=BE-BC = 4-2 = 2. ∵ 在△ABE 和△CDE 中,∠B = ∠EDC = 90°,∠E = ∠E,∴ ∠DCE= ∠A,∴ 在 Rt△CDE 中,tan∠DCE= tanA =DE DC = 4 3 . 设 DE = 4x,则 DC = 3x,在Rt△CDE 中,EC2 = DE2 +DC2,∴ 4 = 16x2 + 9x2,解得 x = 2 5 (负值舍去),则 CD= 6 5 . 15. 4 13 　 【解析】过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E,过点 D 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 F,∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB= ∠DCF,BE=CE. 设 AE = 4x,则 AB = AC = 5x,∴ BE=CE= 3x. ∵ CD ∶AC= 1 ∶2,∴ CD = 5 2 x. ∵ sin∠DCF = sinB= 4 5 ,∴ DF = sin∠DCF·CD = 4 5 × 5 2 x = 2x,CF = CD2 -DF2 = 3 2 x,∴ AF = 5x+ 3 2 x = 13 2 x,∴ tan∠CAD = DF AF = 4 13 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】求一个锐角的三角函数值必定要把这个角 放到一个直角三角形中,先观察这个角是否在一个现有 的直角三角形中,如果在,那就直接求三角函数值,如果 没有现有的直角三角形,有两种方法可供选择:一是通 过添加辅助线构造直角三角形;二是通过找等角,所找 角要与所求角相等且其三角函数值易求出. 16. 解:(1)原式= 2 ×(2× 2 2 - 3 2 )+2 6 4 (2 分) = 2- 6 2 + 6 2 = 2; (4 分) (2)原式= 1 2 - 2 2 × 2 2 + 1 3 ×( 3 3 ) 2 (6 分) = 1 2 - 1 2 + 1 3 × 1 3 = 1 9 . (8 分) 17. 解:(1)根据勾股定理可得:a= 252 -152 = 20; (4 分) (2)在 Rt△ABC 中,∠A= 60°,∴ ∠B= 30°,∴ c= 2b, (6 分) tan60° = a b = 6 b = 3 ,b= 2 ,则 c= 2 2 . (8 分) 18. 解:∵ 在 Rt△ABC 中,∠B= 45°,∴ BC=AC= 12. (3 分) 在 Rt△ACD 中,∠ADC= 90°-∠E= 60°,∴ CD = AC tan60° = 4 3 . (7 分) ∴ BD=BC-DC= 12-4 3 . (9 分) 19. 解:过点 B 作 BE⊥CD,垂足为点 E. 由题意知∠CAB = ∠ACE= ∠BEC= 90°,∴ 四边形 ABEC 是矩形,∴ CE = AB= 1km. (3 分) 在 Rt△BEC 中,BE= CE tan31° ≈ 5 3 km. (5 分) 在 Rt△BED 中,∵ ∠EBD= 45°,∴ ED =BE,∴ CD =CE+ ED≈(1+ 5 3 )km, (7 分) ∴ 货船的速度约为(1+ 5 3 ) ÷ 10 60 = 16( km / h) . 故货船的 速度约为 16km / h. (9 分) 20. 解:(1)作 AH⊥BC 于点 H. 在 Rt△ACH 中,∵ cosC = 2 2 =CH AC ,AC= 2 ,∴ CH= 1, (2 分) AH= AC2 -CH2 = 1. 在 Rt△ABH 中,∵ tanB = AH BH = 1 5 , ∴ BH= 5, (4 分) ∴ BC=BH+CH= 6; (5 分) (2)∵ BD=CD,∴ CD= 3. (6 分) 在 Rt△ADH 中,DH= 2,AD= AH2 +DH2 = 5 . (8 分) sin∠ADH=AH AD = 5 5 . 故∠ADC 的正弦值为 5 5 . (10 分) 21. 解:(1)在△ABC 中,∵ ∠ACB= 90°,∴ cosA=AC AB = 3 5 . 假 设 AC= 3k,AB= 5k,则 BC= 4k,而 BC = 12,∴ k = 3,∴ AB = 15. (3 分) ∵ D 是 AB 的中点,∴ CD= 1 2 AB= 15 2 ; (5 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 22 页 (2)∵ D 是 AB 中点,∴ S△BDC = S△ADC = 1 2 S△ABC,即 1 2 CD ·BE= 1 2 · 1 2 AC·BC,∴ BE= 36 5 . (8 分) 在 Rt△BDE 中,cos∠ABE = BE BD = 24 25 ,即cos∠ABE 的值 为 24 25 . (10 分) 22. 解:( 1) 当 α = 30°时, sin2α + sin2 ( 90° - α) = sin230° + sin260° = ( 1 2 ) 2 + ( 3 2 ) 2 = 1 4 + 3 4 = 1,故当 α = 30°时, sin2α+sin2(90°-α)= 1 成立; (5 分) (2) 小明的猜想成立,证明如下:在△ABC 中, ∠C = 90°, 设∠A = α,则 ∠B = 90° - α, ∴ sin2α + sin2 ( 90° - α) = (BC AB ) 2 +(AC AB ) 2 =BC 2 +AC2 AB2 =AB 2 AB2 = 1. (10 分) 23. 解:(1)过点 A 作 AM⊥DE,交 ED 的延长线于点 M,过 点 C 作 CF⊥AM,CN⊥DE 于点 F、N. 在 Rt△CDN 中, CN=CD·sin∠CDE= 80× 3 2 = 40 3 (mm)= FM, (2 分) ∠DCN= 90° - 60° = 30°. 又∵ ∠DCB = 80°,∴ ∠BCN = 80°-30° = 50°. ∵ AM⊥DE,CN⊥DE,∴ AM∥CN,∴ ∠A = ∠BCN = 50°,∴ ∠ACF = 90° - 50° = 40°. 在 Rt△AFC 中,AF=AC·sin40° = (120-40)×0. 643≈51. 44(mm), (4 分) ∴ AM=AF+FM= 51. 44+40 3 ≈120. 7( mm) . 故点 A 到 直线 DE 的距离约为 120. 7(mm) . (6 分) (2)旋转后,根据题意可知∠DCB=80°+10°=90°, (8 分) 在 Rt△BCD 中,CD= 80mm,BC = 40mm,∴ tanD =BC CD = 40 80 = 0. 5,∴ ∠D≈26. 6°, (10 分) 因此旋转的角度约为 60°-26. 6° = 33. 4°,故 CD 旋转的 角度约为 33. 4°. (11 分) 第二十九章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B D B A B B D D 1. C 2. C　 【解析】将矩形木板立起与地面垂直放置时,形成的 影子为线段;将矩形木板与地面平行放置时,形成的影 子为矩形;将木板倾斜放置形成的影子为平行四边形; 由物体同一时刻物高与影长成比例,且矩形对边相等, 梯形两底不相等,所以得到投影不可能是等腰梯形. 故 选 C. 3. B 4. D　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】在画从不同方向看到的几何体的形状图时, 一定要将物体的轮廓线、顶点都体现出来. 看时,看得见 的部分的轮廓线画实线,看不见的部分的轮廓线画虚 线. 5. B　 【解析】易得第一层有 4 个正方体,第二层最多有 3 个 正方体,最少有 2 个正方体,第三层最多有 2 个正方体,最 少有 1 个正方体,m= 4+3+2= 9,n= 4+2+1= 7,所以 m+n= 9+7= 16. 故选 B. 6. A　 7. B　 8. B　 9. D　 10. D　 【解析】∵ AB∥OP,∴ △CAB∽△COP,∴ CB CP = AB OP , ∴ 3 4. 5+3 = 2 OP ,∴ OP= 5(m) . 故选 D. 11. 中心投影　 12. 48　 13. ②③　 14. 8m 15. 7. 5 　 【解析】当旋转到达地面时,为最短影长,等于 AB,∴ AB = 3m. ∵ 影长最大时,木杆与光线垂直,即 AC = 5m,∠ABC= 90°,∴ BC = 4m,又可得△CAB∽△CFE, ∴ BC EC = AB EF . ∵ AE= 5m,∴ 4 5+5 = 3 EF ,解得 EF= 7. 5m. 16. 解:如图所示: (一个 4 分,共 8 分) 17. 解:如图所示: (一个 3 分,共 9 分) 18. 解:(1)这个立体图形是三棱柱; (4 分) (2)侧面积为:15×3+15×4+15×5 = 180(cm2 ) . (9 分) 19. 解:(1)如图所示, (4 分) (2)∵ △ABC∽△DEF,∴ AB DE = AC DF ,即 AB 1. 5 = 1. 6 1 , 解得 AB= 2. 4m. 故甲木杆的高度是 2. 4m. (9 分) 20. 解:(1)因为球在灯光的正下方,所以阴影是圆形; (3 分) (2)白炽灯向上移时,阴影会逐渐变小; (6 分) (3)设球在地面上阴影的半径为 x 米,则 1 3 = 0. 2 x ,解得 x= 0. 6, (8 分) 则 S阴影 = π·0. 6 2 = 0. 36π(平方米) . (9 分) 21. 解:( 1) 该几何体中小正方体的个数为 9 + 4 + 1 = 14 (个); (3 分) (2) (6 分) (3)12+8+4+9 = 33(个)小面. 所以,涂上颜色部分的总 面积是 1×1×33 = 33(cm2 ) . (10 分) 22. 解:作射线MA、NC,设它们相交于点 O,连接 OE 并延长 交 MF 于点 G. 过点 O 作 OH⊥MG 于点 H,设 DH = x,由 AB∥CD∥OH,得MB MH = ND NH ,即 1. 6 3. 6+x = 0. 6 0. 6+x ,解得 x = 1. 2m. (5 分) 设 FG = y,同理得 FG HG = ND NH , 即 y 0. 8+y = 0. 6 1. 8 , 解得 y = 0. 4m. (9 分) 即 EF 的影长为 0. 4m. (10 分) 23. 解:(1)设 Rt△PMN 斜边上的高为 h,BC=MN,FG=h. (1 分) ∵ sin∠PMN= PN MN = 4 5 ,PN = 4,∴ MN = 5,PM = 3,∴ BC = 5. (2 分) ∵ 1 2 PM·PN= 1 2 h·MN,∴ h= 12 5 . ∴ FG= 12 5 ; (4 分) (2)∵ 矩形 ABCD 与矩形 EFGH 相似,且 AB =EF,∴ AB FG =BC EF ,∴ AB= 2 3 ; (7 分) (3)直三棱柱的表面积: 1 2 ×3×4×2+5×2 3 +3×2 3 +4× 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 23 页