第二十七章 相似 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十七章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 已知 b a = 3,则a +b a 的值是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若一个多边形的各边长分别为 2,3,4,5,6,另一个和它相似的 多边形的最长边长为 24,则另一个多边形的最短边长为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 下列结论中,错误的有(　 　 ) ①所有的菱形都相似;②放大镜下的图形与原图形不一定相似; ③等边三角形都相似;④有一个角为 110 度的两个等腰三角形 相似;⑤所有的矩形不一定相似. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 若 P 是 Rt△ABC 斜边 BC 上异于 B,C 的一点,过点 P 作直线截 △ABC,截得的三角形与原△ABC 相似,满足这样条件的直线有 (　 　 )条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 文化情境·数学文化 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成 书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长 一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何? 意即: 有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺, 同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1 丈 = 10 尺,1 尺= 10 寸),如下图所示,竹竿的长为(　 　 ) A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 6. 如图,△OAB∽△OCD,△OAB 与△OCD 的面积分别是 S1 与 S2, 周长分别是 C1 与 C2 且 C1 ∶C2 = 5 ∶3,则下列说法正确的是(　 　 ) A. AB CD = 5 3 B. S1 S2 = 5 3 C. OB CD = 5 3 D. OA OD = 5 3 7. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,且 DE∥BC. 若 AD= 20cm,BD= 12cm,CE= 9cm,那么 AE 的长是(　 　 ) A. 13cm B. 15cm C. 16cm D. 18cm 8. 如图,已知△ABC 和△EDC 是以点 C 为位似中心的位似图形, 且△ABC 和△EDC 的周长之比为 1 ∶2,点 C 的坐标为( -2,0), 若点 A 的坐标为( -4,3),则点 E 的坐标为(　 　 ) A. ( 5 2 ,-6) B. (4,-6) C. (2,-6) D. ( 3 2 ,-6) 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 动点探究问题 如图,在△ABC 中,AB = AC = 8,BC = 6,点 P 从点 B 出发以 1 个单位 / s 的速度向点 A 运动,同时点 Q 从点 C 出发 以 2 个单位 / s 的速度向点 B 运动. 当以 B,P,Q 为顶点的三角形 与△ABC 相似时,运动时间为(　 　 ) A. 24 11 s B. 9 5 s C. 24 11 s 或 9 5 s D. 以上均不对 10. 如图,在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,E 为 AB 上一点,过点 E 作 EF∥AD,与 AC、DC 分别交于点 G,F,H 为 CG 的中点,连 接 DE、EH、DH、FH. 下列结论:①EG = DF;②△EHF≌△DHC; ③∠AEH+∠ADH= 180°;④若AE AB = 2 3 ,则 S△DHC S△EDH = 3 13 . 其中结论正 确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 在△ABC 和△DEF 中,若AB DE =BC EF = CA FD = 1 3 ,且△ABC 的周长等 于 6,则△DEF 的周长等于　 　 　 　 . 12. 如图,在等边△ABC 中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点, 且∠ADE= 60°,BD= 3,CE= 2,则 AB 的长为　 　 　 　 . 13. 如图,A、B、C、D 都是格点(小正方形的顶点),动点 E 在线段 AC 上,若点 A 的坐标是(1,1),则当△ADE 与△ABC 相似时, 动点 E 的坐标是　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 14. 设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点,若 ∠BAD+∠ACB= 180°,且 BC= 3,AD= 4,AC= 5,AB= 6, 则 DO OB = 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在矩形 ABCD 中,AD= 2,CD= 1,连接 AC,以对角线 AC 为 边,按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C1C,再连接 AC1,以对角线 AC1 为边作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1, …,按此规律继续下去,则矩形 ABnCnCn-1 的面积为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分 别为 A( -2,1),B( -1,4),C( -3,3) . (1)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到的△A1BC1; (2)以原点 O 为位似中心,位似比为 2 ∶1,在 y 轴的左侧,画出 将△ABC 放大后的△A2B2C2,并写出点 A2 的坐标. ·92· 17. (8 分)如果一个矩形的宽长之比为( 5 -1) ∶2时,则称这个矩 形是黄金矩形,如图所示,四边形 ABCD 是黄金矩形且AD AB = 5 -1 2 ,将矩形 ABCD 剪裁掉一个正方形 ADEF 后,剩余的四边 形 BCEF 是否是黄金矩形? 请说明理由. 18. 动手探究 (9 分)如图,小华和同伴秋游时,发现在某地小山坡 的点 E 处有一棵小树,他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小 树到山脚下的距离(即 DE 的长度),小华站在点 B 处,让同伴移 动平面镜至点 C 处,此时小华在平面镜内可以看到点 E. 且测得 BC= 6 米,CD = 22 米,∠CDE = 135°. 已知小华的身高 AB = 1. 6 米,请根据以上数据,求 DE 的长度. (结果保留根号) 19. (9 分)如图,在△ABC 中,EF∥CD,DE∥BC. (1)求证:AF ∶FD=AD ∶DB; (2)若 AB= 15,AD ∶BD= 2 ∶1,求 DF 的长. 20. (9 分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8cm,BC = 6cm,点 P 从点 A 沿 AC 向 C 以 2cm / s 的速度移动,到 C 即停,点 Q 从点 C 沿 CB 向 B 以 1cm / s 的速度移动,到 B 就停. (1)若 P、Q 同时出发,经过几秒钟 S△PCQ = 2cm2; (2)若点 Q 从 C 点出发 2s 后点 P 从点 A 出发,再经过几秒 △PCQ 与△ACB 相似. 21. (10 分)如图,在△CFE 中,CF= 6,CE= 12,∠FCE= 45°,以点 C 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交 CF、CE 于点 A、D,再分 别以点 A 和点 D 为圆心,大于 1 2 AD 长为半径作弧,交 EF 于点 B,AB∥CD. (1)求证:四边形 ACDB 为菱形; (2)求四边形 ACDB 的面积. 22. (11 分)如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形,点 C、 F、G 在一条直线上,连接 AF 并延长交边 CD 于点 M. (1)求证:△MFC∽△MCA. (2)若 DM= 1,CM= 2,求正方形 AEFG 的面积. (3)直接写出CF BE 的值. 23. (11 分)如图,O 是△ABC 的边 BC 上一点,过点 O 的直线分别 交射线 AB,线段 AC 于点 M,N,且AB AM =m,AC AN =n. (1)BM AM = 　 　 　 　 (用含 m 的代数式表示);CN AN = 　 　 　 　 (用 含 n 的代数式表示) . (2)若 O 是线段 BC 的中点. 求证:m+n= 2; (3)若CO OB = k( k≠0),求 m,n 之间的关系(用含 k 的代数式表 示) . ·03· 和 △OCF 中, ∠OBE= ∠OCF OB=OC ∠BOE= ∠COF { , ∴ △OBE ≌ △OCF (ASA),所以 ① 正确;∴ OE = OF. ∵ ∠EOF = 90°,∴ △OEF 为等腰直角三角形,∴ ∠OFE = 45°,∴ ∠GOF = ∠FOC,∠OFG = ∠OCF,∴ △OGF∽△OFC;所以②正 确;∵ △OBE≌△OCF,∴ BE = CF,而 CB = CD,∴ CE = DF,∴ BE2 +DF2 =CF2 +CE2 =EF2 . ∵ △OEF 为等腰直角 三角形,∴ EF2 = OE2 +OF2 = 2OF2 . ∵ △OGF∽△OFC, ∴ OF2 =OG·OC,∴ BE2 +DF2 = 2OG·OC. 所以③正确. 故选 D. 11. 195cm　 12. 24　 13. 1. 5 或 2. 4 14. 8 3 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,AB=BC= 12. ∵ PC= 8,∴ BP = 4. ∵ ∠APC = ∠B+ ∠BAP = ∠APQ + ∠CPQ, ∠APQ = 60°, ∴ ∠BAP = ∠CPQ. 又∵ ∠B= ∠C= 60°,∴ △ABP∽△PCQ,∴ AB PC = BP CQ ,∴ 12 8 = 4 QC ,∴ QC= 8 3 . 15. 5 4 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行 四边形,∴ AD = BC = CE,AB∥CD,AC∥DE,∴ S▱ACED = S▱ABCD = 6,△BCP∽△BER,△ABP∽ △CQP∽ △DQR, ∴ △ABC 的面积= △CDE 的面积 = 3,CP ∶ER =BC ∶BE = 1 ∶2. ∵ 点 R 为 DE 的中点,∴ CP ∶DR = 1 ∶2,∴ CP ∶AC = CP ∶DE= 1 ∶4. ∵ S△ABC = 3,∴ S△ABP = 3 4 S△ABC = 9 4 . ∵ CP ∶ AP= 1 ∶ 3,∴ S△PCQ = 1 9 S△ABP = 1 4 . ∵ CP ∶ DR = 1 ∶ 2,∴ S△DQR = 4S△PCQ = 1,∴ S阴影 =S△PCQ+S△DQR = 5 4 . 16. 解:(1)如图所示:△A1B1C1 ,即为所求; (3 分) (2)如图所示:△A2B2C2 ,即为所求; (6 分) (3)△A2B2C2 的面积为:4×8- 1 2 ×2×4- 1 2 ×2×6- 1 2 ×2 ×8 = 14. (9 分) 17. 解:∵ AD 是中线,BC = 8,∴ CD = 4,在△CBA 和△CAD 中,∵ ∠B= ∠DAC,∠C= ∠C,∴ △CBA∽△CAD. (4 分) ∴ AC BC =CD AC ,∴ AC2 =CD·BC= 4×8 = 32,∴ AC= 4 2 . (8 分) 18. 解:∵ A′C⊥AB,B′D⊥AB,∴ ∠OCA′ = ∠ODB′ = 90°. 又 ∵ ∠COA′= ∠DOB′,∴ △OCA′∽△ODB′. (5 分) ∴ B′D A′C =B′O A′O ,即B′D 9 = 1. 1 12 ,∴ B′D = 0. 825(米),故短臂 端点垂直下降了 0. 825 米. (9 分) 19. 解:∵ AB⊥BE,DE⊥BE,∴ ∠ABE= ∠CED= 90°, (3 分) ∵ ∠ACB= ∠DCE,∴ △ABC∽△DEC, (6 分) ∴ AB DE =BC CE ,∴ AB 1. 5 = 14. 4 1. 35 ,∴ AB = 16,故书店水上部分 AB 的高度为 16m. (9 分) 20. 证明:(1)连接 OC. ∵ 直线 PC 切半圆 O 于点 C,∴ OC ⊥PC. ∵ AP⊥PC,∴ OC∥AP,∴ ∠PAC= ∠OCA. (3 分) ∵ OC=OA,∴ ∠CAB= ∠OCA,∴ ∠PAC= ∠CAB;(5 分) (2)∵ AB 为半圆 O 的直径,∴ ∠ACB= 90°. (6 分) ∵ AP⊥PC,∴ ∠P = ∠ACB = 90°. 由( 1) 可知∠PAC = ∠CAB,∴ △PAC∽△CAB, (8 分) ∴ AC AB =AP AC ,∴ AC2 =AP·AB. (9 分) 21. (1)证明:∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE. ∵ DE∥ BC,∴ ∠DEB= ∠CBE,∴ ∠ABE= ∠DEB,∴ BD=DE. (3 分) ∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ AE AC =DE BC ,∴ AE AC =BD BC ,∴ AE·BC=BD·AC; (5 分) (2) 解: ∵ S△ADE = 4, S四边形BCED = 5, ∴ S△ABC = S△ADE + S四边形BCED = 4+5 = 9. (7 分) ∵ △ADE∽△ABC,∴ S△ADE S△ABC = (DE BC ) 2 ,∴ 4 9 = ( 6 BC ) 2 ,∴ BC= 9. (10 分) 22. 解:(1)∵ AE ∶ EB= 2 ∶ 3,∴ AE AB = 2 5 ,∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ BA∥CD,AB = CD,∴ AE AB = AE CD = 2 5 . ∵ AB ∥CD,∴ △AEF∽△CDF,∴ △AEF 的周长 △CDF 的周长 = AE CD = 2 5 ; (5 分) (2) ∵ △CDF 的面积为 20, △ADF 的面积为 8, ∴ △ADC 的面积= △CDF 的面积+△ADF 的面积 = 28. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB = CD, ∴ △ADC 与△ABC 是等底等高的三角形,∴ △ADC 的面 积= △ABC 的面积= 28. 由(1)知:△AEF∽△CDF, (8 分) ∴ S△AEF S△DFC = (AE CD ) 2 = 4 25 ,∴ S△AEF = 20× 4 25 = 16 5 ,∴ S四边形BEFC =S△ABC-S△AEF = 28- 16 5 = 124 5 . (10 分) 23. 解:(1)27 (2 分) (2)证明:∵ 四边形 ABCD,AEFG 是正方形,∴ AD AC =AG AF . (4 分) ∵ ∠DAG + ∠GAC = ∠FAC + ∠GAC = 45°, ∴ ∠DAG = ∠CAF,∴ △AFC∽△AGD; (6 分) (3)∵ BF FC = 1 2 ,设 BF = k,CF = 2k,则 AB =BC = 3k,∴ AF = AB2 +BF2 = (3k) 2 +k2 = 10 k,AC = AB2 +BC2 = 3 2 k. (8 分) ∵ 四边形 ABCD,AEFG 是正方形, ∴ ∠AFH = ∠ACF, ∠FAH= ∠CAF,∴ △AFH∽△ACF,∴ AF AC = FH CF . ∴ FC FH = 3 2 10 = 3 5 5 . (11 分) 第二十七章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B C B A B C C D 1. B　 2. B　 3. B　 4. C 5. B 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 18 页 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】同一时刻,同一地点,在阳光下,投影在水平 平面内影子的长度与这一部分物体的实际高度成比例. 6. A　 7. B　 8. C　 【解析】由题意知△ABC 和△EDC 的位似比为 1 ∶2, 把 C 点向右平移 2 个单位到原点,则 A 点向右平移 2 个 单位的对应点的坐标为(-2,3),点(-2,3)以原点为位 似中心的对应点的坐标为(4,-6),把点(4,-6)向左平 移 2 个单位得到(2,-6),∴ E 点坐标为(2,-6) . 故选 C. 9. C　 【解析】设运动时间为 t 秒. BP = t,CQ = 2t,BQ =BC- CQ= 6-2t,当△BAC∽△BPQ 时,BP AB =BQ BC ,即 t 8 = 6-2t 6 ,解 得 t = 24 11 ;当△BCA∽△BPQ 时,BP BC =BQ AB ,即 t 6 = 6-2t 8 ,解 得 t = 9 5 ;综上所述,当以 B,P,Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似时,运动时间为24 11 s 或 9 5 s. 故选 C. 10. D　 【解析】①∵ 四边形 ABCD 为正方形,EF∥AD,∴ EF =AD=CD,∠ACD = 45°,∠GFC = 90°,∴ △CFG 为等腰 直角三角形,∴ GF=FC. ∵ EG=EF-GF,DF=CD-FC,∴ EG=DF,故①正确;②∵ △CFG 为等腰直角三角形,H 为 CG 的中点,∴ FH = CH,∠GFH = 1 2 ∠GFC = 45° = ∠HCD,在 △EHF 和 △DHC 中, EF=CD ∠EFH= ∠DCH FH=CH { , ∴ △EHF≌ △DHC,故②正确;③ ∵ △EHF≌ △DHC,∴ ∠HEF= ∠HDC,∴ ∠AEH + ∠ADH = ∠AEF + ∠ADF = 180°,故③正确;④∵ AE AB = 2 3 ,∴ AE = 2BE. ∵ △CFG 为 等腰直角三角形,H 为 CG 的中点,∴ FH =GH,∠FHG = 90°. ∵ ∠EGH= ∠FHG+∠HFG = 90°+∠HFG = ∠HFD, 在△EGH 和 △DFH 中, EG=DF ∠EGH= ∠HFD GH=FH { ,∴ △EGH≌ △DFH,∴ ∠EHG = ∠DHF,EH = DH,∠DHE = ∠EHG+ ∠DHG= ∠DHF+∠DHG = ∠FHG = 90°,∴ △EHD 为等 腰直角三角形,过 H 点作 HM⊥CD 于点 M,设 HM = x, 则 DM= 5x,DH= 26 x,CD = 6x,则 S△DHC = 1 2 ×HM×CD = 3x2,S△EDH = 1 2 ×DH2 = 13x2,∴ S△DHC S△EDH = 3 13 ,故④正确; 故选 D. 11. 18　 12. 9　 13. (3,3)或( 5 4 , 5 4 ) 　 【解析】根据题意得:AD = 1,AB = 3, AC= 62+62 = 6 2 . ∵ ∠A= ∠A,∴ 若△ADE∽△ABC 时, AD AB =AE AC ,即 1 3 = AE 6 2 ,解得 AE = 2 2 . ∵ 点 A 的坐标是(1, 1),∴ E(3,3);若△ADE∽△ACB 时,AD AC =AE AB ,即 1 6 2 =AE 3 , 解得 AE= 2 4 ,∴ E( 5 4 , 5 4 ). 综上,动点 E 的坐标是(3,3) 或( 5 4 , 5 4 ). 14. 10 9 　 【解析】过点 O 作 OE∥AD,交 AB 于点 E. ∵ OE∥ AD,∴ ∠OEB = ∠DAB. ∵ ∠BAD + ∠ACB = 180°, ∴ ∠ACB+ ∠OEB = 180°, ∴ ∠ABC + ∠COE = 180°, 且 ∠AOE+ ∠COE = 180°,∴ ∠AOE = ∠ABC,且 ∠BAC = ∠OAE,∴ △AOE∽△ABC,∴ AE AC = OE BC = AO AB ,∴ 6 -BE 5 = OE 3 ,∴ OE = 18 -3BE 5 . ∵ OE∥AD,∴ △BOE∽△BDA,∴ OE AD =BE AB ,∴ BE= 54 19 ,∴ AE= 6-BE = 60 19 . ∵ OE∥AD,∴ DO BO = AE BE = 60 54 = 10 9 . 15. 5 n 22n-1 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD⊥DC,∴ AC= AD2 +CD2 = 22 +12 = 5 . ∴ 矩形 AB1C1C 的边 长和矩形 ABCD 的边长的比为 5 ∶2,∴ 矩形 AB1C1C 的 面积和矩形 ABCD 的面积的比为 5 ∶4. ∵ 矩形 ABCD 的 面积= 2×1 = 2,∴ 矩形 AB1C1C 的面积 = 5 2 ,依此类推, 矩形 AB2C2C1 的面积和矩形 AB1C1C 的面积的比为 5 ∶ 4,∴ 矩形 AB2C2C1 的面积= 52 23 ,∴ 矩形 AB3C3C2 的面积 = 5 3 25 ,按此规律,矩形 ABnCnCn-1 的面积为 5n 22n-1 . 16. 解:(1)如图,△A1BC1 为所作; (3 分) (2)如图,△A2B2C2 为所作, (6 分) 点 A2 的坐标(-4,2) . (8 分) 17. 解:四边形 BCEF 是黄金矩形. (1 分) 理由:设矩形 ABCD 的长为 x,∵ 四边形 ABCD 为黄金矩 形,∴ 宽 BC 为 5 -1 2 x,∵ 四边形 ADEF 是正方形,∴ BF = x- 5 -1 2 x= 3 - 5 2 x, (4 分) ∴ BF BC = 3- 5 2 x 5 -1 2 x = 5 -1 2 , (7 分) ∴ 剩下的矩形 BCEF 也是一个黄金矩形. (8 分) 18. 解:过 E 作 EF⊥BC 于点 F,∵ ∠CDE = 135°,∴ ∠EDF = 45°. (2 分) 设 EF 为 x 米,则 DF= x 米. ∵ ∠B= ∠EFC= 90°,∠ACB = ∠ECD,∴ △ABC∽△EFC, (6 分) ∴ AB EF =BC FC ,即1. 6 x = 6 22+x ,解得 x = 8,∴ DE = x2 +x2 = 8 2米. 故 DE 的长度为 8 2米. (9 分) 19. (1)证明:∵ EF∥CD,∴ AF FD = AE EC . (2 分) ∵ DE∥BC,∴ AD BD = AE EC ,∴ AF FD = AD BD ; (4 分) (2)解:∵ AD ∶BD= 2 ∶1,∴ BD = 1 2 AD. ∵ AB = 15,∴ AD+ 1 2 AD= 15,∴ AD= 10. (6 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 19 页 ∵ AF ∶FD=AD ∶DB= 2 ∶1,∴ AF= 2DF. (8 分) ∵ AF+DF= 10,∴ 2DF+DF= 10,∴ DF= 10 3 . (9 分) 20. 解:(1)设经过 ts. 则 AP = 2t,CQ = t,则 PC = 8- 2t,由题 意得 1 2 ×(8-2t)×t= 2, (2 分) 整理得 t2 -4t+2 = 0,解得 t= 2± 2 ,则 P、Q 同时出发,经 过(2± 2 )秒钟 S△PCQ = 2cm 2 ; (4 分) (2)设再经过 a 秒,△PCQ 与△ACB 相似,则由题意得, AP= 2a,CQ= 2+a,则 PC= 8-2a, (5 分) 当△PCQ∽△ACB 时,CP CA = CQ CB ,即8 -2a 8 = 2+a 6 ,解得 a = 1. 6; (7 分) 当△PCQ∽△BCA 时,CP CB = CQ CA ,即8 -2a 6 = 2+a 8 ,解得 a = 26 11 . 综上所述,点 Q 从 C 点出发 2s 后点 P 从点 A 出发, 再经过 1. 6 秒或26 11 秒△PCQ 与△ACB 相似. (9 分) 21. (1)证明:由作法得 CA = CD,BA = BD,CB 平分∠ACD, ∴ ∠ACB= ∠DCB, (2 分) ∵ AB∥CD,∴ ∠ABC= ∠DCB. ∴ ∠ACB= ∠ABC,∴ AC = AB,∴ AC=AB=DC=DB, (4 分) ∴ 四边形 ACDB 为菱形; (5 分) (2)解:设菱形的边长为 x,则 CA =CD = AB = x,AF = 6- x. ∵ AB∥CE,∴ △FAB∽△FCE, (7 分) ∴ FA ∶FC=AB ∶CE,即(6-x) ∶6 = x ∶12,解得 x= 4,∴ CA= CD= 4,作 AH⊥CD 于点 H. ∵ ∠ACD= 45°,∴ AH= 2 2 , (9 分) ∴ S四边形ACDB =AH×CD= 2 2 ×4 = 8 2 . (10 分) 22. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形, ∴ ∠AFG= 45°,∠ACD= 45°. ∵ ∠MFC= ∠AFG= 45°,∴ ∠MFC = ∠ACM. ∵ ∠CMF = ∠AMC, ∴ △MFC ∽ △MCA; (3 分) (2)解:∵ DM = 1,CM = 2,∴ AD = CD = 1 + 2 = 3,在 Rt △ADM 中,AM= 32 +12 = 10 . ∵ △MFC∽△MCA,∴ MC ∶MF=MA ∶MC,即 2 ∶MF = 10 ∶2,∴ MF = 2 10 5 ,∴ AF=AM-FM= 3 10 5 . (6 分) ∵ AF 为正方形 AEFG 的对角线,∴ AG2 +GF2 = AF,即 AG= 3 5 5 ,∴ 正方形 AEFG 的面积=AG2 = (3 5 5 ) 2 = 9 5 . (9 分) (3)CF BE = 2 (11 分) 23. 解:(1)1-m　 n-1　 (2 分) (2)证明:设 AM=a,AN = b. ∵ AB AM =m,AC AN =n,∴ AB =am, AC=bn,∴ MB=MA-AB =a-am= (1-m)a,CN = AC-AN = bn-b= (n-1)b. 若点 O 是线段 BC 中点,过点 B 作 BH∥ AC 交 MN 于点 H, ∴ ∠OBH = ∠OCN. 在 △OBH 与 △OCN 中, ∠OBH= ∠OCN OB=OC ∠BOH= ∠CON{ , ∴ △OBH ≌ △OCN (ASA),∴ BH = CN = (n- 1) b. ∵ BH∥AN,∴ △BMH∽ △AMN,∴ BM AM =BH AN ,即(1 -m)a a = (n-1)b b ,∴ 1-m= n-1, ∴ m+n= 2; (7 分) (3)若CO OB = k(k≠0),过点 B 作 BG∥AC 交 MN 于点 G, ∴ ∠OBG = ∠OCN. ∵ ∠BOG = ∠CON, ∴ △OBG ∽ △OCN,∴ BG CN =OB OC . 由(2)得 MB= (1-m)a,CN = (n-1) b,∴ BG (n-1)b = 1 k ,∴ BG = n -1 k b. ∵ BG∥AN,∴ △MBG∽ △MAN,∴ BM AM =BG AN ,即(1 -m)a a = (n-1) k b b ,∴ 1-m= n -1 k , ∴ n= k-km+1. (11 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C C A A B C C C 1. C　 2. C　 3. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CF, AB=CD,∴ △ABE∽△DFE,∴ DE AE = FD AB = 1 2 . ∵ DE = 3, DF= 4,∴ AE= 6,AB= 8,∴ AD = AE+DE = 6+3 = 9,∴ 平行 四边形 ABCD 的周长为(8+9)×2 = 34. 故选 C. 4. C　 5. A　 【解析】设点 M 的坐标为(a,b) . ∵ 点 M 在反比例函 数图象上,∴ ab = 4. ∴ S△MNP = 1 2 MN·( yP - yM ) = 1 2 × (-a)×(-b)= 1 2 ab= 2. 故选 A. 6. A　 7. B　 【解析】∵ AC⊥x 轴,BE⊥x 轴,∴ S△AOC =S△BOE = 1 2 ×4 = 2,∴ S△OCD = 2- 4 3 = 2 3 . ∵ CD∥BE,∴ △OCD∽△OEB, ∴ S△OCD S△OEB =(CD EB ) 2 = 1 3 ,∴ CD EB = 3 3 . 故选 B. 8. C　 【解析】∵ △BCD∽△BAC,∴ ∠BCD = ∠A = 46°. ∵ △ACD 是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,∴ ∠ADC>∠A,即 AC≠CD,①当 AC = AD 时,∠ACD = ∠ADC = 1 2 ×(180°- 46°)= 67°,∴ ∠ACB= 67°+46° = 113°,②当 DA =DC 时, ∠ACD= ∠A= 46°,∴ ∠ACB= 46°+46° = 92°. 故选 C. 9. C　 【解析】设经过 t 秒时,△QBP 与△ABC 相似,则 AP= 2t( cm), BP = ( 8 - 2t) cm, BQ = 4t ( cm), ∵ ∠PBQ = ∠ABC,∴ 当BP BA =BQ BC 时,△BPQ∽△BAC,即8 -2t 8 = 4t 16 ,解 得 t= 2,当BP BC =BQ BA 时,△BPQ∽△BCA,即8 -2t 16 = 4t 8 ,解得 t= 0. 8,综上所述,经过 0. 8s 或 2s 时,△QBP 与△ABC 相 似. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】 利用相似三角形的性质进行分类讨论: △BPQ∽△BAC 与△BPQ∽△BCA 从而求解. 10. C　 【解析】过点 D 作 DG⊥BC 的延长线于点 G,由作图 可知,CF 为∠BCD 的平分线,∴ ∠BCF = ∠DCF. ∵ 四 边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD,DC = AB = 4,∴ ∠BCF = ∠DFC,∠DCG = ∠ABC = 60°,∴ ∠DFC = ∠DCF,∴ DF = DC = 4. 在 Rt△DCG 中,∠DCG = 60°, ∴ ∠CDG = 30°,∴ CG = 1 2 DC = 2,DG = DC2 -CG2 = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 20 页