第二十七章 相似 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十七章追梦阶段测试卷(二) 相似三角形的性质、相似三角形应用举例及位似 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 已知△ABC∽△A′B′C′, AB A′B′ = 3 4 ,则△ABC 与△A′B′C′的面积之 比为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 4 B. 4 3 C. 9 16 D. 16 9 2. 如图,线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6,6),B(8,2),以原点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 1 2 后得到 线段 CD,则端点 D 的坐标为(　 　 ) A. (3,3) B. (4,3) C. (3,1) D. ( 4,1) 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,△OAB∽△OCD,OA ∶OC = 3 ∶2,∠A =α,∠C = β,△OAB 与 △OCD 的面积分别是 S1 和 S2,△OAB 与△OCD 的周长分别是 C1 和 C2,则下列等式一定成立的是(　 　 ) A. OB CD = 3 2 B. α β = 3 2 C. S1 S2 = 3 2 D. C1 C2 = 3 2 4. 如图,以点 O 为位似中心,把△ABC 放大到原来的 2 倍得到 △A′B′C′. 以下说法中错误的是(　 　 ) A. △ABC∽△A′B′C′ B. 点 C,O,C′三点在同一条直线上 C. AO ∶AA′= 1 ∶2 D. AB∥A′B′ 5. 跨学科试题·物理 凸透镜成像的原理如图所示,AG∥l∥HC,若 缩小的实像是物体的 2 3 ,则物体到焦点 F1 的距离与焦点 F2 到 凸透镜的中心线 GH 的距离之比为(焦点 F1 和 F2 关于 O 点对 称)(　 　 ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 D. 1 2 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,点 A(0,2),在 x 轴上取一点 B,连接 AB,以 A 为圆心,任意 长为半径画弧,分别交 OA、AB 于点 M、N,再以 M、N 为圆心,大 于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接 AD 并延长交 x 轴 于点 P. 若△OPA 与△OAB 相似,则点 P 的坐标为(　 　 ) A. (1,0) B. ( 3 ,0) C. ( 2 3 3 ,0) D. (2 3 ,0) 7. 如图,在▱ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点,连 接 AE 并延长交 DC 于点 F,则 S△DEF:S△AOB 的值为(　 　 ) A. 1 ∶3 B. 1 ∶5 C. 1 ∶6 D. 1 ∶11 第 7 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 8. 两个相似多边形周长之比为 2 ∶2,其面积差为 6,则两个多边形 的面积分别为(　 　 ) A. 6 和 12 B. 6 2 -6 和 6 2 C. 2 和 8 D. 6 2 +6 和 6 2 +12 9. 如图,函数 y= - 1 x (x<0)的图象经过 Rt△ABO 斜边 OB 的中点 D,与直角边 AB 相交于点 C,连接 AD. 若 AD = 3,则△ABO 的周 长为(　 　 ) A. 12 B. 6+ 38 C. 6+2 10 D. 6+2 11 10. 如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,将一个三角板 的直角顶点与点 O 重合,两直角边分别与 BC,CD 交于点 E,F, 连接 EF 交 OC 于点 G,下列 3 个结论:①△OBE≌△OCF;② △OGF∽ △OFC; ③BE2 +DF2 = 2OG·OC. 其中正确的结论 有(　 　 ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.在△ABC 中,AB = 15cm,BC = 20cm,AC = 30cm,另一个与它相似 的△A′B′C′的最短边长为 45cm,则△A′B′C′的周长为　 　 　 　 . 12.在某一时刻,测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m,同时测得一 栋建筑物的影长为 12m,那么这栋建筑物的高度为　 　 　 　 m. 13. 如图,矩形 ABCD 的边长 AB= 3cm,AC = 3 5 cm,动点 M 从点 A 出发,沿 AB 以 1cm / s 的速度向点 B 匀速运动,同时动点 N 从 点 D 出发,沿 DA 以 2cm / s 的速度向点 A 匀速运动. 若△AMN 与△ACD 相似,则运动的时间 t 为　 　 　 　 s. 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图,在等边△ABC 中,AB= 12,P、Q 分别是边 BC、AC 上 的 点, 且 ∠APQ = 60°, PC = 8, 则 QC 的 长 是　 　 　 　 . 15. 如图,四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分别交 AC,CD 于点 P,Q. 平行四边形 ABCD 的 面积为 6,则图中阴影部分的面积为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (9 分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A (2,-4),B(3,-2),C(6,-3) . (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1; (2)以 M 点为位似中心,在网格中画出△A1B1C1 的位似图形 △A2B2C2,使△A2B2C2 与△A1B1C1 的相似比为 2 ∶1; (3)若每一个方格的面积为 1,求△A2B2C2 的面积. ·72· 17. (8 分)如图,在△ABC 中,AD 是中线,BC = 8,∠B = ∠DAC,求 线段 AC 的长. 18. 生活情境·停车场 (9 分)随着生活水平的提高,家用轿车已经 成为很多人们出行的交通工具,为此修建了很多停车场. 如图, 已知某停车场入口处的栏杆的长臂 AO 长是 12 米,短臂 BO 长 是 1. 1 米,当长臂端点垂直升高 A′C= 9 米时,短臂端点垂直下 降了多少米? (栏杆宽度忽略不计) 19. 生活情境·书店 (9 分)坐落于天府新区兴隆湖的湖畔书店被 喻为成都最美水下书店,像一本从天上掉下的书,书店由水下 和水上两个部分组成. 阳阳想要测出水上部分的高度,则在书 店水上部分的底端 B 的同水平面 C 处放置了一面镜子,当他 站在离镜子 C 处 1. 35m 的 E 处时,看到书店顶端 A 在镜子中 的像与标记 C 重合. 已知 B,C,E 在同一直线上,阳阳的眼睛离 地面的高度 DE = 1. 5m,BC = 14. 4m,求书店水上部分 AB 的 高度. 20. (9 分)如图,AB 为半圆 O 的直径,直线 PC 切半圆 O 于点 C, AP⊥PC,P 为垂足. 求证:(1)∠PAC= ∠CAB; (2)AC2 =AP·AB. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,过点 E 作 ED∥BC 交 AB 于点 D. (1)求证:AE·BC=BD·AC; (2)S△ADE = 4,S四边形BCED = 5,DE= 6,求 BC 的长. 22. (10 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 边上,AE ∶EB = 2 ∶3,DE 交 AC 于点 F. (1)求△AEF 与△CDF 周长之比; (2)如果△CDF 的面积为 20,△ADF 的面积为 8,求四边形 BE- FC 的面积. 23. (11 分)如图,正方形 ABCD 中,点 F 是 BC 边上一点,连接 AF, 以 AF 为对角线作正方形 AEFG,边 FG 与正方形 ABCD 的对角 线 AC 相交于点 H,连接 DG. (1)填空:若∠BAF= 18°,则∠DAG= 　 　 　 　 °; (2)证明:△AFC∽△AGD; (3)若BF FC = 1 2 ,请求出FC FH 的值. ·82· 设 AE= x,则 AD=BC= 2x,∴ x 1 = 1 2x , (4 分) x2 = 1 2 ,x= ± 2 2 . ∵ AE>0,∴ AE= 2 2 . ∴ BC= 2x = 2× 2 2 = 2 , (6 分) ∴ S矩形ABCD =BC×AB= 2 ×1 = 2 . (8 分) 18. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ BC∥AD,CD∥AB,AB = DA=BC=CD, (3 分) ∴ BP AB =CP QC = DA DQ = 1 2 . (7 分) ∵ AB=AD,∴ DQ AB = 2,∴ DQ= 2AB. (9 分) 19. 解:(1)64 (3 分) (2)∵ E 是 AB ( 的中点,∴ AE ( =BE ( ,∴ ∠EAG= ∠ADE. (6 分) ∵ ∠AEG= ∠DEA,∴ △EDA∽△EAG. (9 分) 20. 解:(1)∵ EF∥BD,∴ AF FB = AE ED = 3 2 . (2 分) ∵ FG∥AC,∴ BG CG =BF AF = 2 3 . (4 分) ∵ BG= 4,∴ CG= 6; (5 分) (2)∵ CD= 2,CG= 6,∴ DG=CG-CD= 4. (6 分) ∵ BG= 4,∴ BD=BG+DG= 8. ∵ AF BF = 3 2 ,∴ AF AB = 3 5 . (8 分) ∵ EF∥BD,∴ EF BD =AF AB ,∴ EF 8 = 3 5 ,∴ EF= 24 5 . (10 分) 21. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠FAE= ∠AEB. ∵ EF∥AB,∴ 四边形 ABEF 是平行四边 形. (2 分) ∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠FAE= ∠BAE,∴ ∠BAE= ∠AEB, (3 分) ∴ AB=EB,∴ 四边形 ABEF 是菱形,∴ BF 平分∠ABC; (5 分) (2)解:∵ 四边形 ABEF 为菱形,∴ BE=AB=CD= 6. (6 分) ∵ 四边形 ABCD∽四边形 CEFD,∴ AB CE =BC CD , (8 分) 即 6 BC-6 =BC 6 ,解得 BC= 3±3 5 (负值舍去),∴ BC = 3+ 3 5 . (10 分) 22. 解:(1)设 xs 后,可使△PCQ 的面积为 8cm2 . 由题意得, AP= xcm,PC= (6-x)cm,CQ= 2xcm, (1 分) 则 1 2 (6-x)·2x= 8,整理得 x2 -6x+8 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 4. (3 分) 所以 P、Q 同时出发,2s 或 4s 后可使△PCQ 的面积为 8cm2 . (4 分) (2)设 t 秒后以 P、C、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则 PC= (6-t)cm,CQ= 2tcm. 当△PCQ∽△ACB 时,PC AC = QC BC ,即6 -t 6 = 2t 8 ,解得 t= 12 5 ; (7 分) 当△PCQ∽△BCA 时,PC BC = QC AC ,即6 -t 8 = 2t 6 ,解得 t = 18 11 . 综上所述,经过12 5 秒或 18 11 秒时,以 P、C、Q 为顶点的三 角形与△ABC 相似. (10 分) 23. 解: ( 1) 证明: ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB = BC, ∠ABD = ∠BCE, 在 △ABD 与 △BCE 中 AB=BC ∠ABC= ∠C= 60° BD=CE { ,∴ △ABD≌△BCE; (4 分) (2)证明:由(1)得:∠BAD = ∠CBE. ∵ ∠ABC = ∠BAC, ∴ ∠ABE = ∠EAF. 又 ∵ ∠BEA = ∠AEF, ∴ △ABE ∽ △FAE; (7 分) (3) ∵ ∠BAD = ∠CBE, ∠BDA = ∠FDB, ∴ △ABD ∽ △BFD, (9 分) ∴ AD BD =BD DF ,∴ BD2 =AD·DF= (AF+DF)·DF = 8,∴ BD = 2 2 . (11 分) 第二十七章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D C A C C A D D 1. C　 2. D 3. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】相似三角形对应线段的比等于相似比,周长 的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 4. C　 5. A　 【解析】∵ l∥HC,CD⊥l,OH⊥l,∴ 四边形 OHCD 是矩 形,∴ OH=CD. ∵ AB∥OH,∴ △ABF1 ∽△HOF1,∴ BF1 OF1 = AB OH = 3 2 . ∵ OF1 =OF2,∴ BF1 OF2 = 3 2 . 故选 A. 6. C　 【解析】由点 D 的画法可知 AD 平分∠OAB. ∵ △OPA ∽ △OAB, ∴ ∠OAP = ∠OBA = 1 2 ∠OAB. ∵ ∠OAB + ∠OBA= 90°,∴ ∠OAB = 60°,∠OAP = 30°,∴ AP = 2OP. 在 Rt△OAP 中,∠AOP= 90°,∴ OA = 2 = AP2 -OP2 = 3 OP,∴ OP= 2 3 3 ,∴ 点 P 的坐标为(2 3 3 ,0) . 故选 C. 7. C　 【解析】∵ O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,∴ DO=BO. 又∵ E 为 OD 的中点,∴ DE= 1 4 DB,∴ DE ∶EB = 1 ∶3. 又∵ AB∥DC,∴ △DFE∽△BAE,∴ S△DEF S△BAE = ( 1 3 ) 2 = 1 9 ,∴ S△DEF = 1 9 S△BAE . ∵ S△AOB S△ABE = 2 3 ,∴ S△AOB = 2 3 S△BAE,∴ S△DEF:S△AOB = 1 9 S△BAE 2 3 S△BAE = 1 ∶6. 故选 C. 8. A　 9. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥AO 于 E,∵ 点 D 是 BO 的中 点,∴ AD=BD=DO= 3,∴ BO = 6. ∵ DE⊥AO,AB⊥AO,∴ AB∥DE,∴ DO BO = DE AB = EO AO = 1 2 ,∴ AB = 2DE,AO = 2EO. ∵ S△DEO = 1 2 DE×EO = 1 2 ,∴ S△ABO = 1 2 AB×AO = 2. ∵ AB2 + AO2 =OB2 = 36,∴ (AB+AO) 2 = 36+ 8 = 44,∴ AB+AO = 2 11,∴ △ABO 的周长=AO+BO+AB= 6+2 11 . 故选 D. 10. D 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ OB = OC, ∠OBC= ∠OCD= 45°,∠BOC= 90°. ∵ ∠BOE+∠EOC = 90°,∠EOC+∠COF= 90°,∴ ∠BOE = ∠COF. 在△OBE 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 17 页 和 △OCF 中, ∠OBE= ∠OCF OB=OC ∠BOE= ∠COF { , ∴ △OBE ≌ △OCF (ASA),所以 ① 正确;∴ OE = OF. ∵ ∠EOF = 90°,∴ △OEF 为等腰直角三角形,∴ ∠OFE = 45°,∴ ∠GOF = ∠FOC,∠OFG = ∠OCF,∴ △OGF∽△OFC;所以②正 确;∵ △OBE≌△OCF,∴ BE = CF,而 CB = CD,∴ CE = DF,∴ BE2 +DF2 =CF2 +CE2 =EF2 . ∵ △OEF 为等腰直角 三角形,∴ EF2 = OE2 +OF2 = 2OF2 . ∵ △OGF∽△OFC, ∴ OF2 =OG·OC,∴ BE2 +DF2 = 2OG·OC. 所以③正确. 故选 D. 11. 195cm　 12. 24　 13. 1. 5 或 2. 4 14. 8 3 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,AB=BC= 12. ∵ PC= 8,∴ BP = 4. ∵ ∠APC = ∠B+ ∠BAP = ∠APQ + ∠CPQ, ∠APQ = 60°, ∴ ∠BAP = ∠CPQ. 又∵ ∠B= ∠C= 60°,∴ △ABP∽△PCQ,∴ AB PC = BP CQ ,∴ 12 8 = 4 QC ,∴ QC= 8 3 . 15. 5 4 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行 四边形,∴ AD = BC = CE,AB∥CD,AC∥DE,∴ S▱ACED = S▱ABCD = 6,△BCP∽△BER,△ABP∽ △CQP∽ △DQR, ∴ △ABC 的面积= △CDE 的面积 = 3,CP ∶ER =BC ∶BE = 1 ∶2. ∵ 点 R 为 DE 的中点,∴ CP ∶DR = 1 ∶2,∴ CP ∶AC = CP ∶DE= 1 ∶4. ∵ S△ABC = 3,∴ S△ABP = 3 4 S△ABC = 9 4 . ∵ CP ∶ AP= 1 ∶ 3,∴ S△PCQ = 1 9 S△ABP = 1 4 . ∵ CP ∶ DR = 1 ∶ 2,∴ S△DQR = 4S△PCQ = 1,∴ S阴影 =S△PCQ+S△DQR = 5 4 . 16. 解:(1)如图所示:△A1B1C1 ,即为所求; (3 分) (2)如图所示:△A2B2C2 ,即为所求; (6 分) (3)△A2B2C2 的面积为:4×8- 1 2 ×2×4- 1 2 ×2×6- 1 2 ×2 ×8 = 14. (9 分) 17. 解:∵ AD 是中线,BC = 8,∴ CD = 4,在△CBA 和△CAD 中,∵ ∠B= ∠DAC,∠C= ∠C,∴ △CBA∽△CAD. (4 分) ∴ AC BC =CD AC ,∴ AC2 =CD·BC= 4×8 = 32,∴ AC= 4 2 . (8 分) 18. 解:∵ A′C⊥AB,B′D⊥AB,∴ ∠OCA′ = ∠ODB′ = 90°. 又 ∵ ∠COA′= ∠DOB′,∴ △OCA′∽△ODB′. (5 分) ∴ B′D A′C =B′O A′O ,即B′D 9 = 1. 1 12 ,∴ B′D = 0. 825(米),故短臂 端点垂直下降了 0. 825 米. (9 分) 19. 解:∵ AB⊥BE,DE⊥BE,∴ ∠ABE= ∠CED= 90°, (3 分) ∵ ∠ACB= ∠DCE,∴ △ABC∽△DEC, (6 分) ∴ AB DE =BC CE ,∴ AB 1. 5 = 14. 4 1. 35 ,∴ AB = 16,故书店水上部分 AB 的高度为 16m. (9 分) 20. 证明:(1)连接 OC. ∵ 直线 PC 切半圆 O 于点 C,∴ OC ⊥PC. ∵ AP⊥PC,∴ OC∥AP,∴ ∠PAC= ∠OCA. (3 分) ∵ OC=OA,∴ ∠CAB= ∠OCA,∴ ∠PAC= ∠CAB;(5 分) (2)∵ AB 为半圆 O 的直径,∴ ∠ACB= 90°. (6 分) ∵ AP⊥PC,∴ ∠P = ∠ACB = 90°. 由( 1) 可知∠PAC = ∠CAB,∴ △PAC∽△CAB, (8 分) ∴ AC AB =AP AC ,∴ AC2 =AP·AB. (9 分) 21. (1)证明:∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE. ∵ DE∥ BC,∴ ∠DEB= ∠CBE,∴ ∠ABE= ∠DEB,∴ BD=DE. (3 分) ∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ AE AC =DE BC ,∴ AE AC =BD BC ,∴ AE·BC=BD·AC; (5 分) (2) 解: ∵ S△ADE = 4, S四边形BCED = 5, ∴ S△ABC = S△ADE + S四边形BCED = 4+5 = 9. (7 分) ∵ △ADE∽△ABC,∴ S△ADE S△ABC = (DE BC ) 2 ,∴ 4 9 = ( 6 BC ) 2 ,∴ BC= 9. (10 分) 22. 解:(1)∵ AE ∶ EB= 2 ∶ 3,∴ AE AB = 2 5 ,∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ BA∥CD,AB = CD,∴ AE AB = AE CD = 2 5 . ∵ AB ∥CD,∴ △AEF∽△CDF,∴ △AEF 的周长 △CDF 的周长 = AE CD = 2 5 ; (5 分) (2) ∵ △CDF 的面积为 20, △ADF 的面积为 8, ∴ △ADC 的面积= △CDF 的面积+△ADF 的面积 = 28. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB = CD, ∴ △ADC 与△ABC 是等底等高的三角形,∴ △ADC 的面 积= △ABC 的面积= 28. 由(1)知:△AEF∽△CDF, (8 分) ∴ S△AEF S△DFC = (AE CD ) 2 = 4 25 ,∴ S△AEF = 20× 4 25 = 16 5 ,∴ S四边形BEFC =S△ABC-S△AEF = 28- 16 5 = 124 5 . (10 分) 23. 解:(1)27 (2 分) (2)证明:∵ 四边形 ABCD,AEFG 是正方形,∴ AD AC =AG AF . (4 分) ∵ ∠DAG + ∠GAC = ∠FAC + ∠GAC = 45°, ∴ ∠DAG = ∠CAF,∴ △AFC∽△AGD; (6 分) (3)∵ BF FC = 1 2 ,设 BF = k,CF = 2k,则 AB =BC = 3k,∴ AF = AB2 +BF2 = (3k) 2 +k2 = 10 k,AC = AB2 +BC2 = 3 2 k. (8 分) ∵ 四边形 ABCD,AEFG 是正方形, ∴ ∠AFH = ∠ACF, ∠FAH= ∠CAF,∴ △AFH∽△ACF,∴ AF AC = FH CF . ∴ FC FH = 3 2 10 = 3 5 5 . (11 分) 第二十七章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B C B A B C C D 1. B　 2. B　 3. B　 4. C 5. B 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 18 页